【考前三个月】高考数学必考题型过关练：专题7第31练(含答案).pdf

第 31 练直线和圆锥曲线的位置关系问题 题型一直线和椭圆的位置关系 例 1如图所示，椭圆C1： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的离心率为 2 2 ，x 轴被曲线 C2：yx 2b 截得的线段长等于 C1的短轴长 C2与 y 轴的交点为M，过 坐标原点O 的直线l 与 C2相交于点A，B，直线 MA，MB 分别与 C1相 交于点 D，E. (1)求 C1，C2的方程； (2)求证： MAMB； (3)记 MAB， MDE 的面积分别为S1，S2，若 S1 S2 ，求 的取值范围 破题切入点(1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程 (2)设出直线 AB 和曲线 C2联立，利用坐标形式的向量证明 (3)将 S1和 S2分别表示出来，利用基本不等式求最值 (1)解由题意，知 c a 2 2 ， 所以 a22b2. 又 2b2b，得 b1. 所以曲线C2的方程： yx21，椭圆 C1的方程： x 2 2 y2 1. (2)证明设直线 AB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意，知M(0， 1) 则 ykx， yx 21 ? x 2kx1 0， MA · MB (x1，y11)·(x2，y21) (k 21)x 1x2k(x1x2) 1 (1k2) k2 10， 所以 MAMB. (3)解设直线 MA 的方程： yk1x1，直线 MB 的方程： yk2x1， 由(2)知 k1k2 1， M(0， 1)， 由 yk1x1， yx 21， 解得 x 0， y 1， 或 x k1， y k 2 1 1， 所以 A(k1，k 2 1 1) 同理，可得B(k2，k 2 21) 故 S1 1 2|MA| · |MB| 1 2 1k 2 1· 1k 2 2|k1|k2|. 由 yk1x1， x 2 2 y2 1， 解得 x0， y 1 或 x 4k1 12k 2 1， y2k 2 11 12k 2 1， 所以 D( 4k1 12k 2 1， 2k 2 1 1 1 2k 2 1) 同理，可得E( 4k2 12k 2 2， 2k 2 21 12k 2 2) 故 S2 1 2|MD| · |ME| 1 2 1k 2 1· 1k 2 2 |16k1k2| 12k 2 112k 2 2 ， S1 S2 1 2k 2 11 2k 2 2 16 52 1 k 2 1k 2 1 16 9 16， 则 的取值范围是 9 16， ) 题型二直线和双曲线的位置关系 例 2已知双曲线C：x2y21 及直线 l：ykx1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A，B 两点， O 是坐标原点，且AOB 的面积为2，求实数k 的值 破题切入点(1)联立方程组，利用 0 求出 k 的取值范围 (2)联立方程用根与系数的关系求解 解(1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点， 则方程组 x 2y21， y kx1 有两个不同的实数根， 整理得 (1k2)x2 2kx20. 1k 20， 4k 28 1k2 0， 解得2|x2|时， SOABSOADSOBD 1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|； 当 A，B 在双曲线的两支上且x1x2时， SOABSODASOBD 1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|. SOAB 1 2|x1 x2| 2， (x1x2)2(22)2， 即( 2k 1k 2) 2 8 1 k 2 8，解得 k 0或 k± 6 2 . 又20，b0)的上焦点为 F，上顶点为A，B 为虚轴的端点，离 心率 e2 3 3 ，且 SABF1 3 2 .抛物线 N 的顶点在坐标原点，焦点为F. (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程； (2)设动直线l 与抛物线 N 相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以 PQ 为直径的圆是否 恒过 y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由 破题切入点(1)根据双曲线的性质，用a，c 表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方 程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程 (2)设出点 P 的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q 的坐标，然后根据圆的 性质列出关于点P 的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决 解(1)在双曲线中，ca2b2， 由 e 2 3 3 ，得 a 2b2 a 23 3 ， 解得 a3b，故 c2b. 所以 SABF 1 2(ca)×b 1 2(2b 3b)×b 1 3 2 ，解得 b 1. 所以 a3， c2，其上焦点为F(0,2) 所以双曲线M 的方程为 y 2 3 x21， 抛物线 N 的方程为 x28y. (2)由(1)知抛物线 N 的方程为 y 1 8x 2， 故利用判别式法可得切线l 的斜率方程k 1 4x，抛物线的准线为 y 2. 设 P(x0，y0)，则 x00，y0 1 8x 2 0， 且直线 l 的方程为y1 8x 2 01 4x0(xx0)， 即 y 1 4x0x 1 8x 2 0. 由 y1 4x0x 1 8x 2 0， y 2， 得 x x 2 0 16 2x0 ， y 2. 所以 Q(x 2 0 16 2x0 ， 2) 假设存在点R(0，y1)，使得以 PQ 为直径的圆恒过该点， 也就是 RP · RQ 0 对于满足 y01 8x 2 0(x00)的 x0，y0恒成立 由于 RP (x0，y0y1)，RQ (x 2 0 16 2x0 ， 2y1)， 由RP · RQ 0， 得 x0· x 2 016 2x0 (y0y1)(2y1)0， 整理得 x 2 016 2 2y0y0y12y1y2 10， 即(y2 12y18)(2y1)y00，(*) 由于 (*) 式对满足y0 1 8x 2 0(x00)的 x0， y0恒成立， 所以 2y10， y 2 12y180， 解得 y12. 故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点，定点坐标为(0,2) 总结提高直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形 成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决重点掌握直线与椭圆的位置关系 1已知圆 C：(x1) 2y28，定点 A(1,0)，M 为圆上一动点， 点 P 在 AM 上，点 N 在 CM 上， 且满足 AM 2AP ，NP · AM 0，点 N 的轨迹为曲线E. (1)求曲线 E 的方程； (2)若直线 y kxk 2 1与(1)中所求点 N 的轨迹 E 交于不同的两点F，H，O 是坐标原点， 且 2 3OF · OH 3 4，求 k 2 的取值范围 解(1)如图所示，连接NA. 由AM 2AP ，NP · AM 0， 可知 NP 所在直线为线段AM 的垂直平分线， 所以 |NA|NM|， 所以 |NC|NA|NC|NM|2 22|CA|， 所以动点N 的轨迹是以C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆， 且长轴长为2a22，焦距 2c2，即 a2，c1，b1. 故曲线 E 的方程为 x 2 2 y21. (2)设 F(x1， y1)，H(x2，y2) 由 x 2 2 y2 1， ykxk 21， 消去 y， 得(2k21)x24kk21x2k20， 8k 20， 由根与系数的关系，得x1 x2 4kk 21 2k 21 ， x1x2 2k 2 2k 21， 所以 OF · OH x1x2y1y2 x1x2(kx1k21)(kx2k2 1) (k21)x1x2kk21(x1 x2)k21 k 21 · 2k2 2k 2 14k 2 k 21 2k 21k 21 k 21 2k 2 1. 由 2 3 OF · OH 3 4， 得 2 3 k 21 2k 21 3 4， 解得 1 2k 21. 2已知点 P 是圆 O：x 2 y2 9 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，动点 Q 满足 DQ 2 3 DP . (1)求动点 Q 的轨迹方程； (2)已知点 E(1,1)， 在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、 N， 使OE 1 2(OM ON )(O 是坐标原点 )，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由 解(1)设 P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，点 D 的坐标为D(x0， 0)， 所以 DQ (xx0，y)，DP (0，y0)， 又DQ 2 3DP ， 故 xx00， y2 3y 0， 即 x0x， y0 3 2y， 因为 P 在圆 O 上，故有x2 0y 2 09， 所以 x2 3y 2 29，即x 2 9 y 2 4 1， 所以点 Q 的轨迹方程为 x 2 9 y 2 4 1. (2)假设椭圆 x 2 9 y 2 4 1 上存在不重合的两点M(x1，y1)， N(x2，y2)满足 OE 1 2(OM ON )， 则 E(1,1)是线段 MN 的中点， 且有 x1x2 2 1， y1y2 2 1， 即 x1x22， y1y22. 又 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆 x 2 9 y 2 4 1 上， 所以 x 2 1 9 y 2 1 4 1， x 2 2 9 y 2 2 4 1， 两式相减，得 x1x2x1x2 9 y1y2y1y2 4 0， 所以 kMN y1y2 x1x2 4 9， 故直线 MN 的方程为4x 9y130. 所以椭圆上存在点M，N 满足 OE 1 2(OM ON )， 此时直线MN 的方程为4x9y130. 3(2013 ·浙江 )如图，点P(0， 1)是椭圆C1： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆 C2：x 2y24 的直径 l 1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于 A，B 两点， l2交椭圆 C1于另一点 D. (1)求椭圆 C1的方程； (2)求 ABD 面积取最大值时直线l1的方程 解(1)由题意得 b1， a2. 所以椭圆C1的方程为 x 2 4 y21. (2)设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0) 由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k， 则直线 l1的方程为ykx1. 又圆 C2： x2 y24， 故点 O 到直线 l1的距离 d 1 k 21， 所以 |AB|24d22 4k 23 k 2 1. 又 l2l1，故直线l2的方程为 xkyk0. 由 xkyk0， x 24y24. 消去 y，整理得 (4 k2)x28kx 0， 故 x0 8k 4k 2.所以 |PD| 8k 21 4k 2. 设ABD 的面积为 S， 则 S 1 2· |AB| · |PD | 84k 23 4k 2 ， 所以 S 32 4k 2 3 13 4k 23 32 24k 23· 13 4k 23 1613 13 ， 当且仅当k± 10 2 时取等号 所以所求直线l1的方程为y± 10 2 x 1. 4已知双曲线E： x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的焦距为 4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和 直线 xy60 相切 (1)求双曲线 E 的方程； (2)已知点 F 为双曲线E 的左焦点， 试问在 x 轴上是否存在一定点M，过点 M 任意作一条直线 交双曲线E 于 P，Q 两点 (P 在 Q 点左侧 )，使 FP · FQ 为定值？若存在，求出此定值和所有的定 点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 解(1)由题意知 | 6| 1 2 12a， a3. 又2c4，c2， bc2a21. 双曲线 E 的方程为 x 2 3 y21. (2)当直线为y 0 时， 则 P(3，0)，Q(3，0)，F(2,0)， FP · FQ (32,0) ·(3 2,0)1. 当直线不为y0 时， 可设 l：xtym(t± 3)代入 E：x 2 3 y21， 整理得 (t 23)y22mtym230(t± 3)(*) 由 0 得 m2t23. 设方程 (*) 的两个根为y1， y2， 满足 y1y2 2mt t 23，y1y2 m 23 t 23， FP · FQ (ty1m2，y1) · (ty2m2，y2) (t 21)y 1y2t(m2)(y1y2)(m2) 2 t 22m212m15 t 23. 当且仅当2m212m153 时， FP · FQ 为定值， 解得 m1 33，m2 33(舍去 ) 综上， 过定点 M(33，0)任意作一条直线交双曲线E 于 P，Q 两点， 使FP · FQ 1 为定值 5(2013 ·天津 )设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左焦点为 F，离心率为 3 3 ，过点 F 且与 x 轴垂直的 直线被椭圆截得的线段长为 4 3 3 . (1)求椭圆的方程； (2)设 A、 B 分别为椭圆的左、 右顶点，过点 F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C， D 两点若AC · DB AD · CB 8，求 k的值 解(1)设 F(c,0)，由 c a 3 3 ，知 a3c. 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x c， 代入椭圆方程有 c 2 a 2 y 2 b 21，解得 y± 6b 3 ， 于是 2 6b 3 4 3 3 ，解得 b2， 又 a2c2b2，从而 a3，c1， 所以椭圆的方程为 x 2 3 y 2 2 1. (2)设点C(x1， y1) ， D(x2， y2)，由F( 1,0)得直线CD 的方程为y k(x 1)，由方程组 yk x 1 ， x 2 3 y 2 2 1 消去 y，整理得 (2 3k2)x2 6k2x3k260. 求解可得x1 x2 6k 2 2 3k 2，x1x2 3k 26 23k 2. 因为 A(3，0)，B(3，0)，所以 AC · DB AD · CB (x13，y1) · (3x2， y2)(x2 3，y2) · (3 x1， y1) 6 2x1x22y1y2 62x1x22k2(x11)(x21) 6 (22k 2)x 1x2 2k 2(x 1x2)2k 2 6 2k 212 2 3k 2. 由已知得6 2k 212 23k 28，解得 k± 2. 6(2014 ·辽宁 )圆 x 2y24 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一 个三角形， 当该三角形面积最小时，切点为 P(如图 )双曲线 C1： x 2 a 2 y 2 b 21 过点 P 且离心率为 3. (1)求 C1的方程； (2)椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点，直线 l 过 C2的右焦点且与C2交于 A，B 两点，若以 线段 AB 为直径的圆过点P，求 l 的方程 解(1)设切点 P 的坐标为 (x0，y0)(x00，y00)， 则切线斜率为 x0 y0，切线方程为 y y0 x0 y0(x x 0)， 即 x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S 1 2· 4 x0· 4 y0 8 x0y0. 由 x2 0y 2 042x0y0知当且仅当 x0 y02时， x0y0有最大值，即S有最小值， 因此点 P 的坐标为 (2，2) 由题意知 2 a 2 2 b 21， a 2b23a2， 解得 a 21， b 22， 故 C1的方程为 x2y 2 2 1. (2)由(1)知 C2的焦点坐标为 ( 3，0)，(3，0)， 由此设 C2的方程为 x 2 3b 2 1 y 2 b 2 11，其中 b 10. 由 P(2，2)在 C2上，得 2 3 b 2 1 2 b 2 11， 解得 b2 13，因此 C2的方程为 x 2 6 y 2 3 1. 显然， l 不是直线y0. 设 l 的方程为xmy3，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 xmy3， x 2 6 y 2 3 1， 得(m 22)y2 2 3my30， 又设 y1，y2是方程的根， 因此 y1y2 23m m 22， y1y2 3 m 2 2， 由 x1my13，x2my23，得 x1x2m y1y223 4 3 m 22， x1x2m 2 y1y2 3m y1y23 66m 2 m 22. 因为 AP (2 x1，2y1)，BP (2x2，2 y2)， 由题意知 AP · BP 0， 所以 x1x22(x1x2) y1y22(y1y2)40， 将 代入 整理得 2m2 2 6m 4 6110， 解得 m 36 2 1 或 m 6 2 1. 因此直线l 的方程为x(3 6 2 1)y30 或 x( 6 2 1)y3 0.