【考前三个月】高考数学必考题型过关练：专题8第41练(含答案).pdf

第 41 练推理与证明、复数 题型一利用归纳推理求解相关问题 例 1如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1 个图形用了3 根火柴，第 2 个图形用了9 根火柴，第 3 个图形用了18 根火柴，则第 2 014 个图形用的火柴根数为() A2 012×2 015 B2 013×2 014 C2 013×2 015 D3 021×2 015 破题切入点观察图形的规律，写成代数式归纳可得 答案D 解析由题意，第1 个图形需要火柴的根数为3×1； 第 2 个图形需要火柴的根数为3×(12)； 第 3 个图形需要火柴的根数为3×(123)； 由此，可以推出，第n 个图形需要火柴的根数为3×(123 n) 所以第 2 014 个图形所需火柴的根数为3×(123 2 014) 3× 2 014× 12 014 2 3 021×2 015，故选 D. 题型二利用类比推理求解相关问题 例 2如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是 一个直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空间中的正方体，用一平面去 截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个 两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S 3，截面面积为 S，类比平面中的 结论有 _ 破题切入点由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比 答案S2S2 1S 2 2 S 2 3 解析建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性 质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类 比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质所以三 角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S 2S2 1 S 2 2S 2 3. 题型三复数的运算 例 3计算： (1) 3 1i 2 i1 _； (2)( 1i 1i ) 623i 32i _. 破题切入点复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算 答案(1)33i(2)1i 解析(1) 3 1i 2 i1 3×2i i1 6i i1 6i i1 2 3i(i 1)3 3i. (2)原式 1i 2 2 6 23i32i 3 2 2 2 i 6 62i3i6 5 1i. 总结提高(1)归纳推理的三个特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超 越了前提所包含的范围； 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验， 因此归纳推理不能作为数学证明的工具； 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起 点，帮助发现问题和提出问题 (2)类比推理的一般步骤 定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自 己的观察、归纳、类比能力 (3)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的 共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式 记住以下结论，可提高运算速度， a(1 ± i) 2± 2i；b.1 i 1 ii；c. 1i 1i i；d.abi i bai； e.i 4n 1，i4n1 i，i4n2 1，i4n3 i(nN) 1已知 x0，观察不等式x 1 x 2x· 1 x 2，x 4 x 2 x 2 x 2 4 x 23 3 x 2· x 2· 4 x 23，由此可得 一般结论： x a x nn1(n N * )，则 a 的值为 () An n B n 2 C3nD2n 答案A 解析根据已知，续写一个不等式： x 3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 3 x 34 4 x 3· x 3· x 3· 3 3 x 34，由此可得an n.故选 A. 2在平面内点O 是直线 AB 外一点，点C 在直线AB 上，若 OC OA OB ，则 1； 类似地，如果点O 是空间内任一点，点A，B， C，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同 一平面内，若DO xOA yOB zOC ，则 xyz等于 () A0 B 1 C1 D± 1 答案B 解析在平面内，由三角形法则，得AB OB OA ，BC OC OB . 因为 A，B，C 三点共线， 所以存在实数t，使 AB tBC ， 即OB OA t(OC OB )， 所以 OC 1 t OA (1 t 1)OB . 因为 OC OA OB ， 所以 1 t ， 1 t 1， 所以 1. 类似地，在空间内可得OD OA OB OC ， 1. 因为 DO OD ，所以 xyz 1.故选 B. 3i 是虚数单位，则 i i 1 i 的模为 () A. 1 2 B. 2 2 C.2 D2 答案B 解析 i i 1 i 1 1i 1 2 1 2i，故其模为 2 2 . 4观察下列各式：ab1， a 2b23，a3 b34，a4 b4 7，a5b511，则 a10b10 等于 () A28 B76 C123 D199 答案C 解析记 a nbnf(n)，则 f(3)f(1)f(2) 134； f(4) f(2)f(3)34 7；f(5)f(3)f(4)11； f(6) f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29； f(8) f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76； f(10)f(8)f(9)123，即 a 10 b10123. 5已知正三角形内切圆的半径是其高的 1 3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 () A正四面体的内切球的半径是其高的 1 2 B正四面体的内切球的半径是其高的 1 3 C正四面体的内切球的半径是其高的 1 4 D正四面体的内切球的半径是其高的 1 5 答案C 解析设正四面体的每个面的面积是S，高是 h，内切球半径为R， 由体积分割可得： 1 3SR×4 1 3Sh， 所以 R 1 4h.故选 C. 6 已知复数z11i， z2 1 1 i在复平面内对应的点分别为 P1， P2， O 为坐标原点， 则向量 OP1 ， OP2 所成的角为 () A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案D 解析因为 z2 1 1 i 1i 2 ，OP1 (1,1)， OP2 1 2， 1 2 ，所以 OP1 · OP2 0， 故OP1 ，OP2 的夹角为 2. 7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所 得开立方除之，即立圆径 “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d 的一个近 似公式 d 3 16 9 V.人们还用过一些类似的近似公式根据 3.14159判断，下列近似公式 中最精确的一个是() Ad 3 16 9 VBd 3 2V Cd 3 300 157V Dd 3 21 11V 答案D 解析由 V4 3 ( d 2) 3，得 d 3 6V ， 设选项中常数为 a b ，则 6b a ； A 中代入得 6×9 16 3.375， B 中代入得 6×1 2 3， C 中代入得 6×157 300 3.14， D 中代入得 6×11 21 3.142857， 由于 D 中值最接近 的真实值 8 (2013 ·湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10， ， 第 n 个三角形数为 n n 1 2 1 2n 21 2n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了 部分 k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数N(n,3) 1 2n 21 2n， 正方形数N(n,4) n 2， 五边形数N(n,5) 3 2n 21 2n， 六边形数N(n,6) 2n2n 可以推测N(n， k)的表达式，由此计算N(10,24)_. 答案1 000 解析由 N(n,4)n2，N(n,6)2n2 n，可以推测：当k 为偶数时， N(n，k) k 2 2 n 24k 2 n， N(10,24)242 2 ×100 424 2 ×101 1001001 000. 9两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin( )0；三点等分单位圆时，有相应 正确关系为sin sin( 2 3 )sin( 4 3 )0.由此可以推知： 四点等分单位圆时的相应正确关 系为 _ 答案sin sin( 2)sin( )sin( 3 2 )0 解析由类比推理可知，四点等分单位圆时，与 的终边互为 反向延长线， 2 与 3 2 的终边互为反向延长线，如图 10(2013 ·陕西 )观察下列等式 1 21， 1 222 3， 1 222326， 1 2223242 10， 照此规律，第n 个等式可为 _ 答案1 22232 42 (1)n1 n 2(1)n1·n n1 2 解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、 负相间，所以等式左边的通项为(1)n 1n2.等式右边的值的符号也是正、 负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21， .设此数列为 an ，则 a2a12，a3a23，a4 a34， a5a45， ，anan1n，各式相加得 ana123 4 n，即an123 n n n 1 2 .所以第 n 个等式为1 222 32 42( 1)n1n2( 1)n1n n 1 2 . 11如图 1 是一个边长为1 的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4 个三角形 (如图 2)，再分别连接图2 中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7 个 三角形 (如图 3)，依此类推设第n 个图中原三角形被剖分成an个三角形，则第4 个图中 最小三角形的边长为_；a100_. 答案 1 8 298 解析由三角形的生成规律得，后面的每一个图形中小三角形的边长均等于前一个图形中小 三角形边长的 1 2，即最小三角形的边长是以 1 为首项， 1 2为公比的等比数列，则第 4 个图中最 小三角形的边长等于1× 1 2 3 1 8，由 a 2a1a3 a2 anan13 可得，数列 an是首项为 1，公差为3 的等差数列，则a100a199× 31297298. 12二维空间中圆的一维测度(周长 )l2 r，二维测度 (面积 )S r 2，观察发现 S l；三维空 间中球的二维测度(表面积 )S4 r2，三维测度 (体积 )V 4 3 r 3，观察发现 V S.则四维空间中 “超球”的四维测度W2 r4，猜想其三维测度V_. 答案8 r 3 解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函 数类比上述结论，“超球 ”的三维测度是四维测度的导函数，即VW(2 r 4)8 r3.