【考前三个月】高考数学必考题型过关练：第40练(含答案).pdf
第 40 练概率的两类模型 题型一古典概型问题 例 1某班级的某一小组有6 位学生，其中4位男生， 2 位女生，现从中选取2 位学生参加班 级志愿者小组，求下列事件的概率： (1)选取的 2 位学生都是男生； (2)选取的 2 位学生一位是男生，另一位是女生 破题切入点先求出任取2 位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的 基本事件数，再利用古典概型概率公式求解 解(1)设 4 位男生的编号分别为1,2,3,4,2 位女生的编号分别为5,6.从 6 位学生中任取2 位学生 的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种 从 6 位学生中任取2 位学生，所取的2 位全是男生的方法数，即从4 位男生中任取2 个的方 法数，共有6 种，即 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) 所以选取的2 位学生全是男生的概率为P1 6 15 2 5. (2)从 6 位学生中任取2位，其中一位是男生， 而另一位是女生，其取法包括 (1,5)，(1,6)，(2,5)， (2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共 8 种 所以选取的2 位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2 8 15. 题型二几何概型问题 例 2(2013· 四川 )节日前夕， 小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相 互独立，且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 秒为间隔闪亮，那 么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率是 () A. 1 4 B. 1 2 C.3 4 D. 7 8 破题切入点由几何概型的特点，利用数形结合即可求解 答案C 解析 设在通电后的4 秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y 相互独立，由题 意可知 0 x4 0 y4 |xy| 2 ，如图所示 两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2 秒的概率为P(|x y| 2) S正方形2SABC S 正方形 4× 42× 1 2×2× 2 4×4 12 16 3 4. 题型三古典概型与几何概型的综合问题 例 3已知关于 x 的一元二次方程9x26axb240，a， bR. (1)若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求已知方程 有两个不相等实根的概率； (2)若 a 是从区间 0,3内任取的一个数，b 是从区间 0,2内任取的一个数，求已知方程有实数根 的概率 破题切入点本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件 问题 第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解 第(2)问将 a，b 满足的不等式转化为可行域 平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式 求解 解设事件 A 为“方程 9x 2 6axb240 有两个不相等的实数根 ”；事件 B 为“方程 9x 2 6axb 24 0 有实数根 ” (1)由题意，知基本事件共9 个，即 (1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值 由 36a 236(b24)36a236b236×40，得 a2b24. 事件 A 要求 a，b 满足条件 a2b24，可知包含 6 个基本事件： (1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)， 所以方程有两个不相同实根的概率P(A) 6 9 2 3. (2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分， 故所求概率为： P(B) 6 6 1 6. 总结提高(1)求解古典概型问题的三个步骤 判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A. 分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m. 利用古典概型的概率公式P(A) m n 求出事件A 的概率 若直接求解比较困难，则可以利用间 接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率 (2)几何概型并不限于向平面(或直线、 空间 )投点的试验， 如果一个随机试验有无限多个等可能 的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间 )中的一点来表示，而所有基本结果对应 于一个区域 ，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决 (3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题在转化中，面 积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区 域几何概型的试验中事件A 的概率 P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积 ) 有关，而与区域的位置和形状无关 1从标有1,2,3， 7 的 7 个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记 下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11 或者能被4 整除 的概率是 () A. 16 49 B. 15 49 C.2 7 D. 13 49 答案A 2已知实数a，b 满足 0a4， 0b4， x1，x2是关于 x 的方程 x 22xba3 0的两个实根， 则不等式00，f(1)0， b a285%. 方法二该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A 的事件概率大于85%. 理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、 生物成绩全不为A的事件有 1 种情况，即( W1， W2 ， W3 )，其概率为 1 8，则物理、 化学、 生物成绩至少一个为 A 的概率为P21 1 8 7 885%.
