【详解版】九年级中考总复习(华师大版)精练精析：二十一、四边形2(22页,考点+分析+点评).pdf

图形的性质 四边形 2 一选择题（共9 小题） 1如图，在 ?ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，延长BC 到点 F，使 CF：BC=1：2，连接 DF， EC若 AB=5 ，AD=8 ，sinB= ，则 DF 的长等于（） A B C D 2 2如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM=CN ，MN 与 AC 交于点 O， 连接 BO若 DAC=28 ° ，则 OBC 的度数为（） A28° B52° C62° D72° 3菱形的两条对角线长分别是6 和 8，则此菱形的边长是（） A10 B8 C6 D5 4如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，H 为 AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为 28，则 OH 的长等于（） A3.5 B4 C7 D14 5 如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点， 且 A= EDF=60 ° ， 有下列结论： AE=BF ； DEF 是等边三角形； BEF 是等腰三角形； ADE= BEF，其中结论正确的个 数是（） A3 B4 C1 D2 6如图，在菱形ABCD 中， AB=5 ，对角线 AC=6 若过点A 作 AE BC，垂足为E，则 AE 的长为（） A4 BCD5 7如图，已知AC 、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（） AABD 与ABC 的周长相等 BABD 与ABC 的面积相等 C菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 8 如图，菱形 ABCD 的对角线AC=4cm ， 把它沿着对角线AC 方向平移1cm 得到菱形EFGH， 则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN 的面积之比为（） A4：3 B3： 2 C14：9 D17： 9 9如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A 开始按 ABCDAEFGAB 的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的 位置是（） A点 F B点 E C点 A D 点 C 二填空题（共7 小题） 10如图，在边长为3 的菱形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点 F 为 BE 延长线与AD 延长 线的交点若DE=1 ，则 DF 的长为_ 11若菱形的周长为20cm，则它的边长是_cm 12如图， 在平面直角坐标系xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为 （ 3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴上，则点C 的坐标是_ 13如图，菱形ABCD 中， E、F 分别是 BC、 CD 的中点，过点E 作 EGAD 于 G，连接 GF若 A=80 ° ，则 DGF 的度数为_ 14如果菱形的两条对角线的长为a 和 b，且 a，b 满足（ a1） 2+ =0，那么菱形的 面积等于_ 15如图，在菱形ABCD 中， AB=4cm ，ADC=120 ° ，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分 别沿 AB、 CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止） ，点 E 的速度为1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒 DEF 为等边三角形，则t 的值为_ 16 如图，在边长为2 的菱形 ABCD 中， A=60 ° ，M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一 动点，将 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到A MN ，连接 A C，则 AC 长度的最小值是 _ 三解答题（共8 小题） 17已知：如图，在平行四边形ABCD 中，点 E、F 在 AC 上，且 AE=CF 求证：四边形BEDF 是平行四边形 18如图，在 ?ABCD 中，点 O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边 CD 的中点，点F 在 BC 的延长线上，且CF=BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形 19如图，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 为对角线AC 上两点，连接ED， EB，FD， FB 给出以下结论： BEDF； BE=DF ； AE=CF 请你从中选取一个条件，使 1=2 成立，并给出证明 20如图， BD 是ABC 的角平分线，点E，F 分别在 BC、AB 上，且 DEAB ，EFAC （1）求证： BE=AF ； （2）若 ABC=60 ° ，BD=6 ，求四边形ADEF 的面积 21如图，在平行四边形ABCD 中， C=60° ，M、N 分别是 AD 、BC 的中点， BC=2CD （1）求证：四边形MNCD 是平行四边形； （2）求证： BD=MN 22如图，四边形ABCD 是平行四边形，E、F 是对角线BD 上的点， 1=2 （1）求证： BE=DF ； （2）求证： AFCE 23如图，在矩形ABCD 中， E，F 分别为 AD ，BC 的中点，连结AF，DF，BE， CE，AF 与 BE 交于 G，DF 与 CE 交于 H求证：四边形EGFH 为菱形 24如图：在 ?ABCD 中， AC 为其对角线，过点D 作 AC 的平行线与BC 的延长线交于E （1）求证： ABC DCE； （2）若 AC=BC ，求证：四边形ACED 为菱形 图形的性质 四边形 2 参考答案与试题解析 一选择题（共9 小题） 1如图，在 ?ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，延长BC 到点 F，使 CF：BC=1：2，连接 DF， EC若 AB=5 ，AD=8 ，sinB= ，则 DF 的长等于（） ABCD2 考点 ：平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形 分析：由“ 平行四边形的对边平行且相等” 的性质推知AD BC，且 AD=BC ；然后 根据中点的定义、 结合已知条件推知四边形CFDE 的对边平行且相等 （DE=CF， 且 DECF） ， 即四边形 CFDE 是平行四边形 如图， 过点 C 作 CHAD 于点 H利用平行四边形的性质、 锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4 ，DH=3，则在直角 EHC 中利用勾股定理求得CE 的长度，即DF 的长度 解答：证明：如图，在?ABCD 中， B= ADC ， AB=CD=5 ， AD BC， 且 AD=BC=8 E 是 AD 的中点， DE=AD 又 CF：BC=1 ：2， DE=CF ，且 DECF， 四边形 CFDE 是平行四边形 CE=DF 过点 C 作 CHAD 于点 H 又 sinB=， sinCDH=， CH=4 在 RtCDH 中，由勾股定理得到：DH=3，则 EH=4 3=1， 在 RtCEH 中，由勾股定理得到：EC=， 则 DF=EC= 故选： C 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形凡是可以 用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性 质和判定去解决问题 2如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM=CN ，MN 与 AC 交于点 O， 连接 BO若 DAC=28 ° ，则 OBC 的度数为（） A28°B52°C62°D72° 考点 ：菱形的性质；全等三角形的判定与性质 分析：根据菱形的性质以及AM=CN ，利用 ASA 可得 AMO CNO，可得 AO=CO ，然后可得BOAC ，继而可求得OBC 的度数 解答：解：四边形ABCD 为菱形， AB CD，AB=BC ， MAO= NCO ， AMO= CNO， 在 AMO 和CNO 中， ， AMO CNO（ASA ） ， AO=CO ， AB=BC ， BOAC ， BOC=90 ° ， DAC=28 ° ， BCA= DAC=28 ° ， OBC=90 ° 28° =62° 故选： C 点评：本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行 以及对角线相互垂直的性质 3菱形的两条对角线长分别是6 和 8，则此菱形的边长是（） A10 B8 C6 D5 考点 ：菱形的性质；勾股定理 专题 ：计算题 分析：根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长 解答：解：四边形ABCD 是菱形， AC=8 ，BD=6 ， OB=OD=3 ，OA=OC=4 ，AC BD， 在 RtAOB 中， 由勾股定理得：AB=5， 即菱形 ABCD 的边长 AB=BC=CD=AD=5 故选： D 点评：本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB 的长，注意：菱 形的对角线互相平分且垂直 4如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，H 为 AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为 28，则 OH 的长等于（） A3.5 B4 C7 D14 考点 ：菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理 分析：根据菱形的四条边都相等求出AB ，菱形的对角线互相平分可得OB=OD ， 然后判断出OH 是ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边 的一半可得OH=AB 解答：解：菱形ABCD 的周长为28， AB=28 ÷ 4=7，OB=OD ， H 为 AD 边中点， OH 是 ABD 的中位线， OH=AB= × 7=3.5 故选： A 点评：本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并 且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键 5 如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点， 且 A= EDF=60 ° ， 有下列结论： AE=BF ； DEF 是等边三角形； BEF 是等腰三角形； ADE= BEF，其中结论正确的个 数是（） A3 B4 C1 D2 考点 ：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的 判定与性质 专题 ：几何图形问题 分析：首先连接BD，易证得 ADE BDF ，然后可证得DE=DF ，AE=BF ，即可 得 DEF 是等边三角形，然后可证得ADE= BEF 解答：解：连接BD，四边形ABCD 是菱形， AD=AB ， ADB= ADC ，AB CD， A=60° ， ADC=120 ° ， ADB=60 ° ， 同理： DBF=60 ° ， 即 A=DBF ， ABD 是等边三角形， AD=BD ， ADE+ BDE=60 ° ， BDE+ BDF= EDF=60 ° ， ADE= BDF ， 在 ADE 和 BDF 中， ， ADE BDF（ ASA ） ， DE=DF ，AE=BF ，故 正确； EDF=60 ° ， EDF 是等边三角形， 正确； DEF=60 ° ， AED+ BEF=120 ° ， AED+ ADE=180 ° A=120 ° ， ADE= BEF； 故 正确 ADE BDF， AE=BF ， 同理： BE=CF， 但 BE 不一定等于BF 故 错误 综上所述，结论正确的是 故选： A 点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与 性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用 6如图，在菱形ABCD 中， AB=5 ，对角线 AC=6 若过点A 作 AE BC，垂足为E，则 AE 的长为（） A4 BCD5 考点 ：菱形的性质 专题 ：几何图形问题 分析：连接 BD，根据菱形的性质可得AC BD，AO=AC ，然后根据勾股定理计算 出 BO 长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC?AE=AC ?BD 可得答案 解答：解：连接BD，交 AC 于 O 点， 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD=5， AC BD ，AO=AC ，BD=2BO ， AOB=90 ° ， AC=6 ， AO=3 ， B0=4， DB=8 ， 菱形 ABCD 的面积是 × AC?DB= × 6× 8=24， BC?AE=24 ， AE=， 故选： C 点评：此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角 线互相垂直且平分 7如图，已知AC 、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（） AABD 与 ABC 的周长相等 BABD 与 ABC 的面积相等 C菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 考点 ：菱形的性质 专题 ：几何图形问题 分析：分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可 解答：解： A、四边形ABCD 是菱形， AB=BC=AD ， AC BD ， ABD 与 ABC 的周长不相等，故此选项错误； B、 SABD=S平行四边形ABCD，SABC=S 平行四边形ABCD， ABD 与 ABC 的面积相等，故此选项正确； C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误； D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误； 故选： B 点评：此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键 8 如图，菱形 ABCD 的对角线AC=4cm ， 把它沿着对角线AC 方向平移1cm 得到菱形EFGH， 则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN 的面积之比为（） A4：3 B3：2 C14：9 D17：9 考点 ：菱形的性质；平移的性质 专题 ：计算题；压轴题 分析：首先得出 MEC DAC ，则=，进而得出=，即可得出答 案 解答：解： MEAD ， MEC DAC ， =， 菱形 ABCD 的对角线 AC=4cm ，把它沿着对角线AC 方向平移1cm 得到菱形EFGH， AE=1cm ，EC=3cm， =， =， 图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN 的面积之比为：= 故选： C 点评：此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出=是解题 关键 9如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A 开始按 ABCDAEFGAB 的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的 位置是（） A点 F B点 E C点 A D点 C 考点 ：菱形的性质；规律型：图形的变化类 专题 ：规律型 分析：观察图形不难发现，每移动8cm 为一个循环组依次循环，用2014 除以 8， 根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可 解答：解：两个菱形的边长都为1cm， 从 A 开始移动8cm 后回到点A， 2014÷ 8=251 余 6， 移动 2014cm 为第 252 个循环组的第6cm，在点 F 处 故选： A 点评：本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动8cm 为一个循环组依 次循环是解题的关键 二填空题（共7 小题） 10如图，在边长为3 的菱形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点 F 为 BE 延长线与AD 延长 线的交点若DE=1 ，则 DF 的长为 考点 ：菱形的性质；相似三角形的判定与性质 专题 ：几何图形问题 分析：求出 EC，根据菱形的性质得出AD BC，得出相似三角形，根据相似三角 形的性质得出比例式，代入求出即可 解答：解： DE=1，DC=3 ， EC=31=2， 四边形 ABCD 是菱形， AD BC， DEF CEB， =， =， DF= ， 故答案为： 点评：本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的对 边互相平行 11若菱形的周长为20cm，则它的边长是5cm 考点 ：菱形的性质 分析：由菱形 ABCD 的周长为20cm，根据菱形的四条边都相等，即可求得其边长 解答：解：四边形ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD， 菱形 ABCD 的周长为 20cm， 边长为： 20÷ 4=5（cm） 故答案为： 5 点评：此题考查了菱形的性质，注意掌握菱形四条边都相等定理的应用是解此题的 关键，比较容易解答 12如图， 在平面直角坐标系xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为 （ 3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴上，则点C 的坐标是（5，4） 考点 ：菱形的性质；坐标与图形性质 专题 ：几何图形问题 分析：利用菱形的性质以及勾股定理得出DO 的长，进而求出C 点坐标 解答：解：菱形ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴上， AB=5 ， DO=4 ， 点 C 的坐标是：（5，4） 故答案为：（ 5，4） 点评：此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出 DO 的长是解题关 键 13如图，菱形ABCD 中， E、F 分别是 BC、 CD 的中点，过点E 作 EGAD 于 G，连接 GF若 A=80 ° ，则 DGF 的度数为50° 考点 ：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 分析：延长 AD 、 EF 相交于点H，根据线段中点定义可得CF=DF，根据两直线平 行，内错角相等可得H=CEF，然后利用 “ 角角边 ” 证明 CEF 和 DHF 全等，根据全等 三角形对应边相等可得EF=FH，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 GF=FH ，根据等边对等角可得DGF= H，根据菱形的性质求出C= A， CE=CF，然后 根据等腰三角形两底角相等求出CEF，从而得解 解答：解：如图，延长AD 、EF 相交于点H， F 是 CD 的中点， CF=DF ， 菱形对边AD BC， H=CEF， 在 CEF 和DHF 中， ， CEF DHF（AAS ） ， EF=FH ， EGAD ， GF=FH ， DGF= H， 四边形 ABCD 是菱形， C=A=80 ° ， 菱形 ABCD 中， E、F 分别是 BC、CD 的中点， CE=CF， 在 CEF 中， CEF=（180° 80° ）=50° ， DGF= H=CEF=50° 故答案为： 50° 点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本 题的难点 14如果菱形的两条对角线的长为a 和 b，且 a，b 满足（ a1） 2+ =0，那么菱形的 面积等于2 考点 ：菱形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根 专题 ：代数几何综合题 分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半 列式计算即可得解 解答：解：由题意得，a1=0，b 4=0， 解得 a=1，b=4， 菱形的两条对角线的长为a 和 b， 菱形的面积 =× 1× 4=2 故答案为： 2 点评：本题考查了非负数的性质，菱形的性质， 主要利用了菱形的面积等于对角线 乘积的一半，需熟记 15如图，在菱形ABCD 中， AB=4cm ，ADC=120 ° ，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分 别沿 AB、 CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止） ，点 E 的速度为1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒 DEF 为等边三角形，则t 的值为 考点 ：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 专题 ：动点型 分析：延长 AB 至 M，使 BM=AE ，连接 FM ，证出 DAE EMF，得到 BMF 是 等边三角形，再利用菱形的边长为4 求出时间t 的值 解答： 解：延长 AB 至 M ，使 BM=AE ，连接 FM， 四边形 ABCD 是菱形， ADC=120 ° AB=AD ， A=60 ° ， BM=AE ， AD=ME ， DEF 为等边三角形， DAE= DFE=60 ° ，DE=EF=FD ， MEF+ DEA 120° ， ADE+ DEA=180 ° A=120 ° ， MEF= ADE ， 在 DAE 和 EMF 中， DAE EMF（ SAS） ， AE=MF ， M=A=60 ° ， 又 BM=AE ， BMF 是等边三角形， BF=AE ， AE=t ，CF=2t， BC=CF+BF=2t+t=3t ， BC=4 ， 3t=4， t= 故答案为： 点评：本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质 等知识，解题的关键是运用三角形全等得出BMF 是等边三角形 16如图，在边长为2 的菱形 ABCD 中， A=60 ° ，M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一 动点，将 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到A MN， 连接 A C， 则 A C 长度的最小值是 1 考点 ：菱形的性质；翻折变换（折叠问题） 分析：根据题意得出A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出AC 的长即可 解答：解：如图所示：MA 是定值， AC 长度取最小值时，即A在 MC 上时， 过点 M 作 MFDC 于点 F， 在边长为2 的菱形 ABCD 中， A=60° ，M 为 AD 中点， 2MD=AD=CD=2， FDM=60 ° ， FMD=30 ° ， FD=MD= ， FM=DM × cos30° =， MC=， A C=MC MA =1 故答案为：1 点评：此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出 A点位置是 解题关键 三解答题（共8 小题） 17已知：如图，在平行四边形ABCD 中，点 E、F 在 AC 上，且 AE=CF 求证：四边形BEDF 是平行四边形 考点 ：平行四边形的判定与性质 专题 ：证明题 分析：根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边 形式平行四边形，可得证明结论 解答：证明：如图，连接BD 设对角线交于点O 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC ， OB=OD AE=DF ，OA AE=OC DF， OE=OF 四边形 BEDF 是平行四边形 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平 分，对角线互相平分的四边形是平行四边形 18如图，在 ?ABCD 中，点 O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边 CD 的中点，点F 在 BC 的延长线上，且CF=BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形 考点 ：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理 专题 ：证明题 分析：利用三角形中位线定理判定OEBC，且 OE=BC 结合已知条件CF=BC ， 则 OECF，由 “ 有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形” 证得结论 解答：证明：如图，四边形ABCD 是平行四边形， 点 O 是 BD 的中点 又点 E 是边 CD 的中点， OE 是 BCD 的中位线， OEBC，且 OE=BC 又 CF=BC， OE=CF 又点 F 在 BC 的延长线上， OECF， 四边形 OCFE 是平行四边形 点评：本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理此题利用了“ 平行四边 形的对角线互相平分” 的性质和 “ 有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形” 的判定定 理 19如图，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 为对角线AC 上两点，连接ED， EB，FD， FB 给出以下结论： BEDF； BE=DF ； AE=CF 请你从中选取一个条件，使 1=2 成立，并给出证明 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 专题 ：证明题 分析：欲证明 1=2，只需证得四边形EDFB 是平行四边形或ABF CDE 即 可 解答：解：方法一： 补充条件 BEDF 证明：如图，BEDF， BEC=DFA ， BEA= DFC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ，AB CD， BAE= DCF， 在 ABE 与CDF 中， ， ABE CDF（ASA ） ， BE=DF ， 四边形 BFDE 是平行四边形， EDBF， 1=2； 方法二： 补充条件 AE=CF 证明： AE=CF， AF=CE 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ，AB CD， BAF= DCE， 在 ABF 与CDE 中， ABF CDE（SAS） ， 1=2 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质全等三角 形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关 键是选择恰当的判定条件 20如图， BD 是ABC 的角平分线，点E，F 分别在 BC、AB 上，且 DEAB ，EFAC （1）求证： BE=AF ； （2）若 ABC=60 ° ，BD=6 ，求四边形ADEF 的面积 考点 ：平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 专题 ：几何图形问题 分析：（1）由 DEAB ，EFAC ，可证得四边形ADEF 是平行四边形， ABD= BDE ，又由 BD 是ABC 的角平分线，易得BDE 是等腰三角形，即可证得结 论； （2）首先过点D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，易求得DG 与 DE 的长， 继而求得答案 解答：（1）证明： DEAB ，EFAC ， 四边形 ADEF 是平行四边形，ABD= BDE ， AF=DE ， BD 是 ABC 的角平分线， ABD= DBE， DBE= BDE ， BE=DE ， BE=AF ； （2）解：过点D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H， ABC=60 ° ，BD 是 ABC 的平分线， ABD= EBD=30 ° ， DG=BD= × 6=3， BE=DE ， BH=DH=BD=3 ， BE=2， DE=BE=2， 四边形 ADEF 的面积为： DE?DG=6 点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函 数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 21如图，在平行四边形ABCD 中， C=60° ，M、N 分别是 AD 、BC 的中点， BC=2CD （1）求证：四边形MNCD 是平行四边形； （2）求证： BD=MN 考点 ：平行四边形的判定与性质 专题 ：证明题 分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AD 与 BC 的关系，根据MD 与 NC 的 关系，可得证明结论； （2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得DNC 的度数，根据三角形外角的性质，可 得 DBC 的度数，根据正切函数，可得答案 解答：证明： （1） ABCD 是平行四边形， AD=BC ，AD BC， M、 N 分别是 AD 、BC 的中点， MD=NC ，MD NC， MNCD 是平行四边形； （2）如图：连接ND， MNCD 是平行四边形， MN=DC N 是 BC 的中点， BN=CN ， BC=2CD ， C=60° ， NCD 是等边三角形 ND=NC ， DNC=60 ° DNC 是 BND 的外角， NBD+ NDB= DNC， DN=NC=NB ， DBN= BDN= DNC=30 ° ， BDC=90 ° tan， DB=DC=MN 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数 22如图，四边形ABCD 是平行四边形，E、F 是对角线BD 上的点， 1=2 （1）求证： BE=DF ； （2）求证： AFCE 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 专题 ：证明题 分析：（1）利用平行四边形的性质得出5=3，AEB= 4，进而利用全等三角 形的判定得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出AE=CF ，进而得出四边形AECF 是平行四边形，即可得出 答案 解答：证明： （1）四边形ABCD 是平行四边形， AB=CD ，AB CD， 5=3， 1=2， AEB= 4， 在 ABE 和CDF 中， ， ABE CDF（AAS ） ， BE=DF ； （2）由（ 1）得 ABE CDF， AE=CF ， 1=2， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， AFCE 点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等 知识，得出 ABE CDF 是解题关键 23如图，在矩形ABCD 中， E，F 分别为 AD ，BC 的中点，连结AF，DF，BE， CE，AF 与 BE 交于 G，DF 与 CE 交于 H求证：四边形EGFH 为菱形 考点 ：菱形的判定；矩形的性质 专题 ：证明题 分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、 BEDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF 与 EH、EG 与 FH 的关系，根据平 行四边形的判定，可得EGFH 的形状，根据三角形全等，可得EG 与 FG 的关系，根据菱形 的定义，可得证明结论 解答：证明：在矩形ABCD 中 AD=BC ，且 E、F 分别是 AD 、BC 的中点， AE=DE=BF=CF 又 AD BC， 四边形 AECF 、BEDF 是平行四边形 GFEH、EGFH 四边形 EGFH 是平行四边形 在 AEG 和 FBG 中， ， AEG FBG （AAS ） EG=GB ，AG=GF ， 在 ABE 和BAF 中 ， ABE BAF （SAS） ， AF=BE ， EG=GB=BE ，AG=GF=AF ， EG=GF， 四边形 EGFH 是菱形 点评：考查了菱形的判定， 牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大 24如图：在 ?ABCD 中， AC 为其对角线，过点D 作 AC 的平行线与BC 的延长线交于E （1）求证： ABC DCE； （2）若 AC=BC ，求证：四边形ACED 为菱形 考点 ：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题 ：证明题 分析：（1）利用 AAS 判定两三角形全等即可； （2）首先证得四边形ACED 为平行四边形，然后证得AC=AD ，利用邻边相等的平行四边 形是菱形判定即可 解答：证明： （1）四边形ABCD 为平行四边形， AB CD，AB=CD ， B=1， 又 DEAC 2=E， 在 ABC 与 DCE 中， ， ABC DCE； （2）平行四边形ABCD 中， AD BC， 即 AD CE， 由 DEAC ， ACED 为平行四边形， AC=BC ， B=CAB ， 由 ABCD， CAB= ACD ， 又 B=ADC ， ADC= ACD ， AC=AD ， 四边形 ACED 为菱形 点评：本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难 度不大