1、我的函数的基本性质教案I.函数的单调性(1)设Nqw0同为工七则(-S-2)(xi)-(2)OoWWOo外在1.上是增函数；XX2(-x,)Gvi)-(a)OA1.)二/区)0,则/(x)为增函数：假如Jx)f（2mcos811i）,即cps2G-32?CoS-4m,即cos（f-mcoa+2-20。设1.a）SOt则问题等价地转化为函数三3=f-mt+2m-2=（t-2尸一4+2k2在0,1上的值恒为正,乂转化为函数以力在0,1上的最小值为正。M.当50=m1.与成O不符；三当OWGW1.时，即0忘启2时,虱加=-T+2k20=4-2万水4+2无，：.4一2五底2.当G1.,即就2时,d）=
2、1.O=ak：.m2踪上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是加4-2废。另法(仅限i卬能够解出的状况)：8s-Res。+2R一20对于0G0,恒成立，等价于於(2es5,点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题例11.(2002全国理，21)设a为实数，函数f(幻二+|x川+1,XR(1)探讨/C)的奇偶性：(2求/(*)的最小值。解:(1)当斫0时.，函数F(一幻=(-)2+-+1=,(x),此时3为偶函数。当a#0时，f（八）=+1.,(-a)=+2a+1.,(-a)f（八）,(-a)-f（八）此时函数F(X)既不是奇函数，也不是偶函数。
3、13(2)当a时，函数r(x)=f-m1.=(X-2)41若aWE,则函数/Xx)在(-8,G上单调递减，从而，函数r(x)在(一8,a)上的最小值为f（八）=a2+1.0113若aQ,则函数F(X)在(-8,a上的最小值为F(G)=彳+小1且/(石)Wf（八）。13当a时，函数f(x)+*m1.=(+2)a+4.113若a-5,则函数r(x)在+8)上的最小值为(-Q)=4-1a,且f(-G)Wf（八）。1若-2,则函数f(x)在a,+8上单调递增，从而，函数f（八）在a,+上的最小值为r（八）=J+1。13综上，当aW一豆时，函数f(x)的最小值是711当一QVaWE时，函数f(*)的最小
4、值是才+1。13当时，函数f(x)的最小值是界展，点评：函数奇偶性的探讨问题是中学数学的基本问题，假如平常用意学问的积累，对解此题会有较大帮助.因为WRf(0)=+10,由此解除F(X)是奇函数的可能性,运用偶函数的定义分析可知，当犷0时，f(X)是偶函数，第2题主要考查学生的分类探讨思想、对称思想。例12.设用是实数，记伊(例m1,/(x)1.og1.(Ar1-4w+4f1.f+f1.r三-1.).(1)证明：当加RW时,f(*)对全部实数都有意义;反之，若八力对全部实数都有意义，则0思(2)当m，时，求函数人力的最小值；(3)求证：对每个mM函数f(x)的最小值都不小于U1证明:先将f(力
5、变形：)=1.ogj(%2w)z三-1,I当/“EV时，11i,(%f1.)+H-三-I0恒成立,故/X力的定义域为R反之，若/U)对全部实数X都有意义，则只须/一4万产4户小;10。1令4V0,即16/一4(4+m不T)VO,解得而1,故卬WM1解析：设，4卬户4序+外-1,Y尸IogW是增函数，当最小时,f(x)最小。而z=(-2zw)+-1._1_明显，当x=m时，”取最小值为研-1,1此时以2/)=108，(而-1)为最小值。1 1(3)证明：当切Ev时，7+三三1=(7-1)+三I+13,当且仅当m2时等号成立。1.og3(f1.-三-1.)1.ogt3=1.e点评：该题屈J函数最值
6、的综合性问题，考生须要结合对数函数以与二次函数的性质来进行处理。题型七：周期问题ab例13.若尸/(2力的图像关于直线X2和*2(0对称，则/(%)的一个周期为()ifrb-aA.2B.c.2.3o)a解：因为尸“2力关于对称，所以“92*)=(a-2x).所以f(2a-2*)=f界(a2x)=fa-(a-2x)=f(2*)。同理，(M2a)=(Z-2),所以f(2。-2*)=f(2x),所以f(2b-2a2x)=f2b-(2a-2j=f(2a-2x)=f(2x).所以f(2x)的一个周期为2b2a,故知F(X)的一个周期为4a),选项为以点评：考察函数的对称性以与周期性，类比三角函数中的周期
7、变换和对称性的解题规则处理即可。若函数尸f(x)的图像关于直线产a和齐对称(ab),则这个函数是周期函数，其周期为2(Zr-a).例14.已知函数二人功是定义在黛上的周期函数，周期T=5,函数y=(XT441)是奇函数b又知y=/(工)在01上是一次函数.在值可上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5。证明：O)0)=;求y=(m工H1.的解析式；求劝在H上的解析式。解：.(目是以5为冏期的周期函数，又.y=/(XXTnS是奇函数，当XHM时，由题意可设“X)=(1.琢-5(Q),由/(!”/(4)=0得闻一2)，5(42)，5=0,.y=UX-D是奇函数，又知y=U)在血”上是一次函数，
8、可设/CO=HO41),而/0)2ODT=-3,.t=-3.当O1.时，/(x)=,从而当-1.O时，W-(=故-IWKM1.时，/(r)-3xo.当44x6时,有-IWK-541,当6x9时，1.x-54,点评：该题属于般函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五.思维总结1 .推断函数的奇偶性，必需依据函数的奇偶性定义进行，为了便于推断，常应用定义的等价形式：A.O=f(x)f(x),r)=O;2 .对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在八r)=(x)和(-a)=-()这两个等式上，要明确对定义域内随意一个X,都有-a)=a),八x)=-f(x)的实质是：函数的
9、定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件,稍加推广，可得函数F(X)的图象关于直线a对称的充要条件是对定义域内的随意人都有6a)=5x)成立,函数的奇偶性是其相应图象的特别的对称性的反映；3 .若奇函数的定义域包含0,则F(O)=O,因此,“”)为奇函数”是(0)=0的非充分非必要条件；4 .奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于./轴对称，因此依据图象的对称性可以推断函数的奇偶性。5 .若存在常数T,使得八NT)=力对/J)定义域内随意X恒成立，则称T为函数f(x)的周期，般所说的周期是指函数的最小正周期,周期函数的定义域肯定是无限集。6 .单调性是函数学习中特别弱要的内容，应用特
10、别广泛，由于新教材增加J“导数”的内容，所以解决单调性问题的实力得到了很大的提高，因此解决详细函数的单调性问题，般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般须要用单调性定义解决。留意，关于更合函数的单调性的学问般用于简洁问题的分析，严格的解答还是应当运用定义或求导解决。3.常用的求值域的方法(1)化归法：(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法,（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法,（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平常数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。
11、然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就减弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了，手“硬”一手“软”，使学生对函数的驾驭时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于相互转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）.假如函数的值域是无限集的话，则求函数值域不总是简洁的，反器不等式的运算性质有时并不能奏效，还必需联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值状况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有忖比求定义域问题难，实践证明，假如加强了对值域求法的探讨和探讨，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的相识。
