1、高中数学高中数学高中数学 必修必修必修5 5 5 在三角形中在三角形中,已知两角及一边已知两角及一边,或已或已知两边及其中一边的对角知两边及其中一边的对角,可以利用正可以利用正弦定理求其他的边和角弦定理求其他的边和角,那么那么,已知两边已知两边及其夹角及其夹角,怎么求出此角的对边呢怎么求出此角的对边呢?已知已知三边三边,又怎么求出它的三个角呢又怎么求出它的三个角呢?导入：导入：余弦定理是什么？怎样证明？余弦定理是什么？怎样证明？集体探究学习活动一：集体探究学习活动一：RTX讨论一：讨论一：在正弦定理的向量证法中，在正弦定理的向量证法中，我们是如何将一个向量数量化的我们是如何将一个向量数量化的？
2、还有什么方法将一个向量数量？还有什么方法将一个向量数量化吗？化吗？即即同理可证同理可证如图所示，根据向量的数量积，可以得到如图所示，根据向量的数量积，可以得到cabBAC数学建构数学建构 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理余弦定理数学建构数学建构RTX讨论二：讨论二：回顾正弦定理的证明你还有回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明余弦定理的方法没有其它的证明余弦定理的方法？（1）坐标法）坐标法（2）直角三角形的边角关系）直角三角形的边角关系（3）正弦定理（三角变换）正
3、弦定理（三角变换）证证 明明 方方 法法RTX讨论三：讨论三：已知三角形三边，由余弦已知三角形三边，由余弦 定定理能求三个角吗？请给出余弦定理能求三个角吗？请给出余弦定理的变形式。理的变形式。余弦定理变形式：余弦定理变形式：数学建构数学建构1.利用余弦定理可以解决哪两类解斜三利用余弦定理可以解决哪两类解斜三 角形的问题？角形的问题？2.“已知两边及其中一边对角已知两边及其中一边对角”能用能用 余弦定理求解吗？余弦定理求解吗？集体探究学习活动二：集体探究学习活动二：RTX讨论四：讨论四：利用余弦定理可以解决哪两利用余弦定理可以解决哪两类解斜三类解斜三 角形的问题？角形的问题？数学建构数学建构总结
4、总结：利用余弦定理，可以解决以下两利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：类解斜三角形的问题：(1)(1)已知已知三边三边，求三个角，求三个角(2)(2)已知已知两边和它们的夹角两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角求第三边和其它两个角例例1.如图，在如图，在ABC中，已知中，已知a=5，b=4，C=120，求，求c.解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得因此因此数学应用：数学应用：已知在ABC中，根据下列条件解三角形。变式训练：变式训练：变式训练：变式训练：已知在ABC中，根据下列条件解三角形。RTX讨论五：讨论五：“已知两边及其中一边对角已知两边及其中一边对角”能用余弦定理求解吗
5、其中蕴能用余弦定理求解吗？其中蕴含什么数学思想？含什么数学思想？已知在ABC中，根据下列条件解三角形。变式训练：变式训练：解解课堂练习课堂练习课本第课本第15页练习第页练习第1、3题题探究：余弦定理有哪些方面的应用？探究：余弦定理有哪些方面的应用？集体探究学习活动三：集体探究学习活动三：例例2.利用余弦定理证明，在ABC中，数学应用：数学应用：例例3.如图所示，有两条直线如图所示，有两条直线AB和和CD 相交成相交成80 角，交点是角，交点是O，甲、乙两人同时从点，甲、乙两人同时从点O分别沿分别沿OA，OC方向出发，速度分方向出发，速度分别是别是4km/h，4.5km/h。3时后两人相距多远
6、精确到时后两人相距多远（精确到0.1km）？）？ODAQCBP80解解 经过经过3时后，甲到达点时后，甲到达点P，OP=43=12（km），乙到达点），乙到达点Q，OQ=4.53=13.5（km）。依余弦定理，知）。依余弦定理，知PQ数学应用：数学应用：例例4.在长江某渡口处，江水以在长江某渡口处，江水以km/h的速度的速度向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定要在要在0.1h后到达江北岸码头，设为正北后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距并与码头相距1.2km该渡船应按什么方向该渡船应按什么方向
7、航行？速度是多少千米小时？（角度精确到航行？速度是多少千米小时？（角度精确到0.1 ，速度精确到，速度精确到0.1km/h）ACDBN数学应用：数学应用：解：如图，取方向为水流方向，以为解：如图，取方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，一边、为对角线作平行四边形，其中其中1.2(km),AC=50.1=0.5(km),船按方向开出船按方向开出ACDBN数学应用：数学应用：在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得所以所以（km)因此，船的航行速度为因此，船的航行速度为1.170.1=11.7(km/h)在在中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得所以所以所以所以 答：渡船按北偏西答：渡船按
8、北偏西 的的方向，并以方向，并以km/h的的速度航行速度航行ACDBN数学应用：数学应用：思考：思考：想想看有无其它的方法？想想看有无其它的方法？数学应用：数学应用：变式训练：变式训练：在在ABC中，若中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状。试判断三角形的形状。解：解：由正弦定理，由正弦定理，R为为ABC的外接圆半径，将原式化为的外接圆半径，将原式化为4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC，所以所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC，因为因为sinBsinC0，所
9、以所以sinBsinC=cosBcosC，即即cos(B+C)=0，从而从而B+C=90，A=90，故故ABC为直角三角形。为直角三角形。解解2：将已知等式变形为：将已知等式变形为b2(1cos2C)+c2(1cos2B)=2bccosBcosC，由余弦定理得由余弦定理得变式训练：变式训练：在在ABC中，若中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状。试判断三角形的形状。即得，即得，得得b2+c2=a2，故故ABC是直角三角形。是直角三角形。变式训练：变式训练：在在ABC中，若中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状。
10、试判断三角形的形状。例例6.如图，是三角形中边上如图，是三角形中边上的中线，求证：的中线，求证：证：证：设设ABM ，则，则AMC 在在ABM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得在在ACM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得因为因为cos(180 ）cos,BM=MC=1/2BC,所以所以因此，因此，数学应用：数学应用：RTX讨论六：讨论六：余弦定理的应用体现在哪些方面余弦定理的应用体现在哪些方面？本节课我有什么收获？本节课我有什么收获？RTX探讨七：探讨七：对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：教师课堂总结教师课堂总结三角形中的边角关系余弦定理定理内容定
11、理证明定理应用课堂总结课堂总结(1 1)已已知知三三边边，求求三三个个角角(2 2)已已知知两两边边和和它它们们的的夹夹角角，求求第第三三边边和和其其它它两两个个角角。课堂作业：课堂作业：1.第第16-17页习题页习题1、4、5、6、7题题;2.学习与评价第学习与评价第5、7页。页。拓展思维作业拓展思维作业在在ABC中，中，（1）若）若 求求A；（2若若 求最大的内角。求最大的内角。解：（解：（1）由正弦定理得）由正弦定理得a2=b2+c2+bc，即即b2+c2a2=bc，所以，所以故故A=120；解：（解：（2）因为，）因为，所以所以C为最大角，为最大角，设设a=(1)k，b=(+1)k，c=10k，故最大内角故最大内角C为为120.拓展思维作业拓展思维作业 创新型作业或异想天开，提出新问题与方法创新型作业或异想天开，提出新问题与方法 请给出用三角形三边表示三角形面积请给出用三角形三边表示三角形面积一个公式，并用正弦或余弦定理证明。一个公式，并用正弦或余弦定理证明。
