2018全国卷1文科数学解析.pdf
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷） 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.BABA，则，已知集合2101-2- 20（） A. 0，2 B. 1，2 C. 0 D. 2， 1，0，1，2 【答案】 A 解析：求解集合的交集 2.|2 1 1 zi i i z，则设 A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 【答案】 C 【解析】ii i i z2 1 1 1z 选 C 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番， 为更好的了解该地区农村的经济 收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下拼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】 A 解析：统计图的分析 4.），的一个焦点为（：已知椭圆021 4 2 2 2 y a x C，则 C的离心率为 A. 3 1 B. 2 1 C. 2 2 D. 3 22 【答案】 C 解析：椭圆基本量的计算 5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为01，02，过直线 0102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正 方形，则该圆柱的表面积为 A.212B. 12C. 28D. 10 【答案】 B 解析：简单的空间几何体的计算 6.axxaxxf 23 )1()(设函数，），在点（为奇函数，则曲线若00)()(xfyxf处的切线方程为 A. y=2x B.y= x C. y=2x D. y=x 【答案】 D 【解析】 若fx为奇函数 xfxf，则 axxaxxaxax 2323 11 1a 13 2/ xxf，则10 / f，直线方程可求得 yx 因此选 D 7.在 ABC中， AD 为 BC边上的中线，E为 AD 的中点，则EB= A.CABA 4 1 4 3 B. CABA 4 3 4 1 C. CABA 4 1 4 3 D. CABA 4 3 4 1 【答案】 A 【解析】 根据中线可知ACABAD 2 1 2 1 ， 根据点 E为 AD的中点，ACABADAE 4 1 4 1 2 1 根据三角形法则可得 ACABAEABEB 4 1 4 3 选 A 8. 已知函数2sincos2)( 22 xxxf，则 A. F（x）的最小正周期为，最大值为3 B. F（x）的最小正周期为，最大值为4 C. F （x）的最小正周期为2，最大值为3 D. F（x）的最小正周期为2，最大值为4 【答案】 B 解析：三角函数的运算、最值、最小正周期的求解 9. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表 面上的点 N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 A.172B. 52C. 3 D. 2 【答案】 B 【解析】 还原圆柱体及点M和 N在圆柱中的位置，再展开圆柱的侧面根据线段最短可求 5242 22 MN N M N M 10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2 ，AC1与平面 BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为 A. 8 B. 26C. 28D. 38 【答案】 C 解析：线面角的相关计算 11. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A（ 1，a）， B（2，b），且 cos2 = 3 2 ，则 |a-b|= A. 5 1 B. 5 5 C. 5 52 D.1 【答案 B】 解析 ：根据三角函数定义：对照点A（1， a） cos = 2 a1 1 ,sin = 2 a1 a 又 cos2 =cos2 -sin2 = 2 2 a1 a-1 = 3 2 a 2= 5 1 对照点 B（2，b） cos = 2 b4 2 ，sin = 2 b4 b cos2 = 2 2 b4 b-4 = 3 2 ，b2= 5 4 又 a，b0 不妨取 a= 5 5 ，b= 5 52 |a-b|= 5 5 2 -x ，x0, 12.设函数 f （x）= 则满足 f （x+1）0, A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0) 答案 ：D 解析 ： 如图所示为f （x）图像 1° 2x0， A= 6 由 cosA= bc2 acb 222 = 2 3 , 得bc3=8 bc= 3 8 ，SABC= 2 1 bcsinA= 3 32 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 解（ 1）由题意得44 12 aa，2462 23 aa，12 3 a 1 11 ab，2 2 2 2 a b，4 3 3 3 a b （2）数列 n b为等比数列，证明如下： 将 nn nba， 11 )1( nn bna代入 nn anna)1(2 1 得： nn bnnbnn)1(2) 1( 1 即2 1 n n b b ，所以数列 n b为等比数列 （3）由数列 n b为等比数列，知 n 1 n b12，所以 n 1 nn anbn 2 18 .证明（ 1）CDABACM/,90 ACAB ，又 ADAB,AC AD A AB平面ACD又AB平面ABC 平面ACD平面 ABC （2）在AC上找一点N，使得 1 ANAC 3 ,则有QN/DC 平面ACD平面ABC平面ACD平面ABC=ACACDC DC平面ABC又QN/DCQN平面ABP 又 11 QNCDCN1 33 , 333 2 1 3 2 3 2 ABCABP SS 所以 Q ABPABP 11 VQNS131 33 19. (12 分) 某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：m 2）和使用节水龙头 50 天的日用水量数据， 得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日用水量0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.7) 频数1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日用水量0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6) 频数1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图 （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 2 的概率 （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按 365 天计算， 同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表 ) 19.（1）如图所示 （2）由题意得：P=0.02+0.1+0.26+0.1=0.48 （3）使用前50 天用量： 0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655=24 使用后 50 天用量： 0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555=17.5 一年节约用水量：36550（24-17.5）=47.45 20、设抛物线C： 2 2yx，点(2,0),( 2,0)AB,过点 A的直线l与 C交 M,N 两点， （1）当l与x轴垂直时，求直线 BM的方程 （2）证明：ABMABN 【解析】（ 1）当l x轴时，可得(2,2)M 或(2,2)M 当(2,2)M时，直线BM的方程为 1 (2) 2 yx即220xy 当(2,2)M时，直线BM的方程为 1 (2) 2 yx即220xy 综上可得直线BM的方程为220220xyxy或 (2)由分析的欲证ABMABN即证明0 BMBN KK 当直线l的斜率为 0 时，可知与抛物线只有一个交点，不合题意。 故设直线l的方程为2xmy，设 1122 (,),(,)M xyN xy 将 2 2 2 xmy yx 联立可得 2 240ymy， 22 164( 4)16160mm， 12 2yym， 12 4y y， 则 12121221 121211 (4)(4) 2244(4)(4) BMBN yyyyy myymy KK xxmymymymy 1211 222 1212 24()88 0 4 ()164816 my yyymm m y ym yymm ABMABN 21、（ 12 分） 已知函数( )ln1 x f xaex （1）设 2x 是( )f x的极值点，求a，并求出( )f x的单调区间； （2）证明：当 1 a e 时，( )0f x 【解析】（ 1） '1 ( ) x fxae x 2x是( )f x的极值点 ' ( 2 )0f可得 2 1 2 a e ' 2 1 ( ) 2 x e fx ex 令 2 1 ( ) 2 x e h x ex 则 ' 22 1 ( )0 2 x e h x ex 恒成立 '( ) fx为单调递增函数，且 '(2) 0f 当02x时 '( ) 0fx，当2x时， ' ( )0fx 由此可得( )f x在0,2上为递减区间，在2,上为递增区间 （3）欲证当 1 a e 时ln10 x aex，先证明 x eex 设( ) x g xeex ' ( ) x g xee 当1x时为递增取区间，当01x时为递减区间， ( )(1)0g xgee0 x ee x，不等式得证 当 1 a e 时， 11 ln1ln1ln1ln1 xx aexexexxxx ee 故要证明ln10 x aex只需要证明ln10xx 令( )ln1H xxx '11 ( )1 x Hx xx 可得 ( )H x在0,1上递减，在1,上递增，可得( )(1)0H xH 即得 ln10xx 由此即可得ln10 x aex 请考生在第（22）、（ 23）题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分10 分）选修4- 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为2yk x.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2cos30. （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程 . 解析：（ 1）C2的直角坐标方程为:x2+y 2+2x-3=0,(x+1)2+y 2=4 (2) 由题得： y=kx+2与圆相切 圆心（ -1,0 ）到此直线距离为 2 k2 2 k1 ，解得 k=0( 舍）或 k=- 3 4 y=- 3 4 x+2 23.（本小题满分10 分）选修4- 5：不等式选讲 已知11fxxax. （1）当1a时，求不等式1fx的解集； （2）若0,1x时不等式fxx成立，求a的取值范围 . 解： a=1 （1） f(x)= 1x - 1x x -1 f(x)=-x-1-(1-x)=2 -11 x1 由得： x 2 1 (3)0,1x时不等式fxx成立 1x-1axxx+1-1axx 1ax1 在（ 0,1）恒成立 -1 ax-1 1 0ax2 恒成立 a x 2 恒成立当 x=1，a 最大为 2 0a2
