2019年高考数学试题天津卷理科.pdf
2019·天津卷 (数学理 ) 1.A12019 ·天津卷 设集合 A=-1,1,2,3,5, B=2,3,4, C=x R|1 x0,b0)的两条渐近线分别交于点A 和 点 B,且|AB|= 4|OF|(O 为原点 ),则双曲线的离心率为() A. B. C.2 D. 5.D解析 因为抛物线方程为y2=4x,所以其焦点坐标为 (1,0), 准线 l 的方程为 x=-1,所以 |AB|= 4|OF|=4.由双曲线的对称性可 知,A,B 两点关于 x 轴对称 ,不妨取 A(-1,2), B(-1,-2),所以双曲线的渐近线方程为y=± 2x,即 =2,所以双曲线的离心率 e= =.故选 D. 6.B6,B7 2019 ·天津卷 已知 a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则 a,b,c 的大小关系为() A.a1,c=0.50.2= ,且 c=0.50.2ca. 7.C4 2019·天津卷 已知函数 f(x)=Asin( x+ )(A0,0,| |0,0,| |1,则 f(x)=x-aln x,f'(x)=1- ,因为 0 a 1,x1,所以 f'(x)=1- 0,所以 f(x)=x-aln x 在(1,+ )上单调递增 ,所以 f(x)1-aln 1=10. 所以当 0 a 1 时,f(x) 0 在 R 上恒成立 . 当 a1 时,若 x 1,则 f(x)=(x-a)2+2a-a 2 在(- ,1上单调递减 ,所以 f(x)min=f(1)=10.若 x1,则 f(x)=x-aln x,f'(x)=1- ,令 f'(x)=0,得 x=a.当 x (1,a)时,f'(x)0,所以 f(x)在(a,+ )上单调递增 .所以当 x1 时,f(x)min=f(a)=a-aln a,若 f(x) 0 恒成立 ,则 f(x)min=a-aln a 0,即 ln a 1,解得 10,y0,x+2y=5,则的最小值为. 13.4解析 因为 x0,y0,x+2y=5, 所以= =2 4, 当且仅当 x=3,y=1 或 x=2,y= 时等号成立 ,故的最小值为 4. 14.C8,F3 2019 ·天津卷 在四边形 ABCD 中,AD BC,AB=2,AD=5, A=30° ,点 E 在线段 CB 的延长线上 ,且 AE=BE ,则 · = . 14.-1解析 如图所示 ,因为 AD BC,所以EBA= BAD= 30° ,又 AE=BE ,所以 ABE 是底角为 30°的等腰三角形.过点 E 作 EH AB,交 AB 于点 H,则 AH= AB=,故 EH=1,AE=BE= 2,且 AEB= 120° . 过点 B 作 BF AE,交 AD 于点 F,则 BF=AE= 2,AF=BE= 2,所以 FD=3. 在 ABD 中,由余弦定理得 BD 2=AB2+AD2-2AB· ADcos 30° =12+25-2× 2 × 5× =7,所以 BD=. 在 BFD 中,由余弦定理得cos DBF= - = - =,所以· =-· =-× 2× =-1. 15.C2,C5,C6,C8 2019 ·天津卷 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 b+c= 2a,3csin B=4asin C. (1)求 cos B 的值; (2)求 sin的值 . 15.解:(1)在 ABC 中,由正弦定理=,得 bsin C=csin B,又由 3csin B=4asin C,得 3bsin C=4asin C,即 3b=4a.又因为 b+c= 2a,得到 b= a,c= a.由余弦定理可得cos B= - = - =- . (2)由(1)可得 sin B=-=,从而 sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2 B=cos 2B-sin2B=- ,故 sin =sin 2Bcos +cos 2Bsin =-× - ×=-. 16.K4,K5,K6,K8 2019 ·天津卷 设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30 之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况 互不影响 ,且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中7:30 之前到校的天数 ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 ; (2)设 M 为事件“上学期间的三天中 ,甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在7:30 之前到校的天数恰好多2” ,求事件 M 发 生的概率 . 16.解:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30 之前到校的概率均为,故 XB,从而 P(X=k)= - ,k= 0,1,2,3 . 所以,随机变量 X 的分布列为 X0123 P 随机变量 X 的数学期望 E(X)=3×=2. (2)设乙同学上学期间的三天中7:30 之前到校的天数为Y,则 YB,且 M=X=3,Y=1 X=2,Y=0.由题意知事件 X=3,Y=1 与X=2,Y=0互斥,且事件 X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立 ,从而由 (1)知 P(M)=P(X=3,Y=1 X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=×+ × =. 17.G4,G10,G11 2019 ·天津卷 如图 1-2,AE平面ABCD ,CF AE,AD BC,AD AB,AB=AD= 1,AE=BC= 2. (1)求证:BF平面ADE; (2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值 ; (3)若二面角 E-BD-F 的余弦值为,求线段 CF 的长. 图 1-2 17.解:依题意 ,可以建立以 A 为原点 ,分别以,的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,2,0), D(0,1,0), E(0,0,2) .设 CF=h(h0),则 F(1,2,h). (1)证明:依题意 ,=(1,0,0) 是平面 ADE 的法向量 ,又=(0,2,h),可得· =0,又因为直线 BF?平面 ADE ,所以 BF平面 ADE. (2)依题意 ,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2). 设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量 ,则即 - - 不妨令 z=1,可得 n=(2,2,1) .因此有 cos =- . 所以,直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为. (3)设 m=(x,y,z)为平面 BDF 的法向量 ,则即 - 不妨令 y=1,可得 m=- . 由题意 ,有|cos|= - = ,解得 h= .经检验 ,符合题意 . 所以,线段 CF 的长为 . 18.H1,H5,H8 2019 ·天津卷 设椭圆+=1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为. (1)求椭圆的方程 ; (2)设点 P 在椭圆上 ,且异于椭圆的上、下顶点,点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点 ,点 N 在 y 轴的负半轴上 .若|ON|=|OF| (O 为原 点),且 OP MN ,求直线 PB 的斜率 . 18.解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意 ,2b=4, = ,又 a 2=b2+c2,可得 a= ,b=2,c=1. 所以,椭圆的方程为+=1. (2)由题意 ,设 P(xP ,y P )(x P 0),M(xM,0).设直线 PB 的斜率为 k(k 0),又 B(0,2), 则直线 PB 的方程为 y=kx+ 2,与椭圆方程联立 整理得 (4+5k2)x2+20kx= 0,可得 xP=-,代入 y=kx+2 得 yP= - ,进而得直线 OP 的斜率为= - - .在 y=kx+ 2 中,令 y=0,得 xM=- .由题意得 N(0,-1),所以直线 MN 的斜率为 - .由 OP MN,得 - - ·-=-1,化简得 k 2= ,从而 k=±, 所以,直线 PB 的斜率为 或- . 19.D2,D3,D4 2019 ·天津卷 设an是等差数列 ,bn是等比数列 ,已知 a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4. (1)求an和bn的通项公式 . (2)设数列 cn满足 c1=1,cn=其中 k N*. (i)求数列-的通项公式 ; (ii)求aici(n N* ). 19.解:(1)设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q,依题意得 解得 故 a n=4+(n- 1)× 3=3n+1,bn=6× 2n-1=3× 2n. 所以,an的通项公式为an=3n+1,bn的通项公式为 bn=3× 2n. (2)(i)(-1)=(bn-1)=(3× 2n+1)(3 × 2n-1)=9× 4n-1. 所以,数列(-1)的通项公式为(-1)=9× 4n-1. (ii)aici=ai+ai(ci-1)=ai+(-1) = - +(9× 4i-1) =(3× 22n-1+5× 2n-1 )+9× - - -n =27× 22n-1+5× 2n- 1-n-12(n N *). 20.E7,B11,B12 2019·天津卷 设函数 f(x)=excos x,g(x)为 f(x)的导函数 . (1)求 f(x)的单调区间 ; (2)当 x时,证明 f(x)+g(x)- 0; (3)设 xn为函数 u(x)=f(x)-1 在区间 内的零点 ,其中 n N,证明 2n + -xncos x,得 f'(x)0,则 f(x)单调递增 . 所以,f(x)的单调递增区间为-(k Z),f(x)的单调递减区间为(k Z). (2)证明:记 h(x)=f(x)+g(x)-.依题意及 (1),有 g(x)=ex(cos x-sin x),从而 g'(x)=-2e xsin x,当 x 时,g'(x)0,故 h'(x)=f'(x)+g'(x) -g(x)=g'(x)-0. 因此,h(x)在区间上单调递减 ,进而 h(x) h=f=0. 所以,当 x时,f(x)+g(x)- 0. (3)证明:依题意 ,u(xn)=f(xn)-1=0,即 cos xn=1.记 yn=xn-2n ,则 yn ,且 f(yn)=cos yn= - cos(xn -2n )=e-2 n (n N). 由 f(yn)=e-2n 1=f(y0)及(1),得 yn y0.由(2)知,当 x时,g'(x)0,所以 g(x)在上为减函数 ,因此 g(yn) g(y0)g=0.又由 (2)知,f(yn)+g(yn)- 0,故 -yn -=- - - - = - - - - . 所以,2n + -xn - - .
