《一元二次方程》总复习教案.pdf

本章复习 【知识与技能】 1.一元二次方程的相关概念； 2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况； 4.能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题； 5.构造一元二次方程解决简单的实际问题； 【过程与方法】 通过灵活运用解方程的方法， 体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练 地根据方程特征找出最优解法. 【情感态度】 通过实际问题的解决， 进一步熟练地运用方程解决实际问题，体会方程思想 在解决问题中的作用 . 【教学重点】 运用知识、技能解决问题 . 【教学难点】 解题分析能力的提高 . 一、知识结构 【教学说明】 引导学生回顾本章知识点， 展示本章知识结构图， 使学生系统 地了解本章知识以及之间的关系 二、释疑解惑，加深理解 1.一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元）， 并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是： ax 2+bx+c=0(a、b、c 为常数，a0)，其中 ax2 是二次项， a是二次项系数， bx 是一次项， b 是一次项系数， c 是常数项 . 3.一元二次方程的解法：直接开方法；配方法；公式法；因式分解 法. 4.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)的根的判别式是 =b2-4ac，当0 时， 方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根；当0 时，方程有实数根 . 5.一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理） 当 =b2-4ac 0 时 ， 一 元二 次方 程ax 2+bx+c=0(a 0) 的 求 根 公 式 为 x= 2 4 2 bbac a ；若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)的两根为 x1、x2，则 x1+x2= b a ，x1·x2= c a . 若一元二次方程 x 2+px+q=0 的两根为 x 1、x2，则 x1+x2=-p， x1x2=q. 6.一元二次方程的应用 . 【教学说明】 学生独立完成， 通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做 好铺垫 . 三、典例精析，复习新知 1.（1）方程（ m+1）x m2-2m-1+7x-m=0 是一元二次方程，则 m 是多少？ 分析：首先根据一元二次方程的定义得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a0)的定义中 a0 这一条件得 m+10 来求 m 的值. 解：m=3. （2）若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x2+5x+m2-3m+2=0 的常数项为 0，则 m 等于（） A.1 B.2 C.1 或 2 D.0 解析：首先得出 m 2-3m+2=0；再由一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a0)的定义中 a0 这一条件得 m-10来求 m 的值. 解答： B 【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次 方程问题时，命题者常利用a0 设计陷阱 . 2.用适当的方法解一元二次方程： （1）x 2=3x； （2） （x-1）2=3； （3）x 2-2x-99=0； （4）2x2+5x-3=0. 分析：方程（ 1）选用因式分解法；方程（ 2）选用直接开平方法；方程（ 3） 选用配方法；方程（ 4）选用公式法 . 3.若（x 2+y2）2-4（x2+y2）-5=0， 则 x2+y2=_. 解析：用换元法设x2+y2=m 得 m2-4m-5=0，解得 m1=5，m2=-1. 对所求结果，还要结合“ x 2+y2”进行取舍，从而得到最后结果 . 解答： 5 【教学说明】一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法. 对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元 法. 4.若关于 x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值 范围是（） A.k-1 B.k-1 且 k0 C.k0 D.k0 且0 解析： b 2-4ac=（-2）2-4×（ -1）k=4k+40 得 k-1，再由一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的定义中 a0 这一条件得 k0. 解答： B 【教学说明】一元二次方程的判别式可以用来： （1）不解方程，判断根的情 况； （2）利用方程有无实数根，确定取值范围，解题时，务必分清“有实数根”、 “有两个实数根”、 “有两个相等的实数根” 、 “有两个不相等的实数根” 等关键性 字眼. 5.某商场将销售成本为30 元的台灯以 40 元的价格售出，平均每月销售600 个.市场调查表明： 这种台灯的售价每上涨1 元，每月平均销售数量将减少10 个. 若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000 元，台灯的 售价应定为多少元？ 分析：如果这种台灯售价上涨x 元，那么每个月台灯获利（ 40+x-30）元， 每月平均销售数量为（ 600-10x）个，销售利润为（ 40+x-30）和（600-10x）的积. 用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个， 而实际问题的答案 常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择. 解：设这种台灯的售价上涨x 元，根据题意，得 （40+x-30） （600-10x）=10000 即 x2-50x+400=0 解得 x1=10，x2=40. 所以每个台灯的售价应定为50 元或 80 元. 当台灯售价定为 80 元，售价利润率为166.7%，高于 100%，不符合要求； 当台灯售价定为 50 元时，售价利润率为66.7%，低于 100%，符合要求 . 答：每个台灯售价应定为50 元. 【教学说明】 列方程解应用题注重考查能力问题，表面文字比较复杂， 但认 真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了. 四、复习训练，巩固提高 1.一元二次方程 x 2-2x-1=0 的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析： b2-4ac=（-2） 2-4×（-1）=80 解答： B 2.关于 x 的一元二次方程（ a-1）x 2+x+a-1=0 的一个根为 0，则实数 a 的 值为（） A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 解析：把 x=0 代入方程得： a-1=0，a=±1， a-10，a=-1. 解答： A 3.已知关于 x 的方程 x 2+（2k+1）x+k2-2=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为 _. 解析：设方程 x2+（2k+1）x+k 2-2=0 的两根为 x 1，x2，得 =（2k+1） 2-4×（k2-2）=4k+90， k 9 4 x1+x2=-（2k+1） ，x1·x2=k2-2， 又x12+x22=11， 即（x1+x2） 2-2x 1x2=11 （2k+1） 2-2（k2-2）=11， 解得 k=1 或-3 k 9 4 ，k=1 解答： 1 4.若关于 x 的一元二次方程x 2+2x+a=0 有实数根，则 a的取值范围是 _. 解析：关于 x 的一元二次方程有实根， =2 2-4a0，解得 a1 解答： a1 5.若关于 x 的一元二次方程x 2-4x+k-3=0 的两个实数根为 x1、x2，且满足 x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k 的值. 分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x1=3x2联立组成方程 组，解方程组即可 . 解：由根与系数的关系得：x1+x2=4 ，x1·x2=k-3 又x1=3x2 ，联立、，解方程组得 1 2 3 1 x x k=x1x2+3=3×1+3=6 故：方程组两根为x1=3，x2=1，k=6. 6.某汽车销售公司 6 月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价 与销售量有如下关系，若当每月仅售出1 辆汽车，则该汽车的进价为27 万元； 每多售出 1 辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1 万元/辆，月底厂家根据销售量 一次性返利给销售公司，销售量在10 辆以内（含 10 辆） ，每辆返利 0.5 万元， 销售量在 10 辆以上，每辆返利 1 万. （1）若该公司当月售出3 辆汽车，则每辆汽车的进价为_万元； （2）如果汽车的售价为28 万元/辆，该公司计划当月盈利12 万元，那么需 要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润 +返利） 分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程， 求解. 解： （1）27-（3-1）×0.1=26.8. （2）设销售汽车 x 辆，则汽车的进价为 27- （x-1）×0.1=（27.1-0.1x）万元， 若 x10，则（ 28-27.1+0.1x）x+0.5x=12 解得 x1=6，x2=-20（不符合题意，舍去） 若 x10，则（ 28-27.1+0.1x）x+x=12 解得 x3=5（与 x10 不符，舍去），x4=-24（不符合题意，舍去） 答：公司计划当月盈利12 万元，需要售出 6 辆汽车. 五、师生互动，课堂小结 1.回顾整理今日收获 . 2.你还有哪些困惑和疑问？ 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，可让学生相互交流.对学生存在的 疑惑进行解答 . 1.布置作业：教材“复习题”中第2、4、8题. 2.完成创优作业中本课时部分. 通过画知识结构图，完成一元二次方程的知识点的梳理，构建 知识体系；让学生对典型例题、 自身错题进行整理， 从而使学生抓住本章的 重点、突破学习的难点 .