等差数列的前n项和(习题课).pdf

第二章数列 2.3 等差数列的前 n 项和 第 2 课时等差数列的前 n 项和(习题课 ) A 级基础巩固 一、选择题 1一个等差数列共有2n1 项，其奇数项的和为512，偶数项 的和为 480，则中间项为 () A30 B31 C32 D33 解析： 中间项为 an1. S奇 （a1a2n1） 2 · (n1)(n1)an1512. S偶 a2a2n 2 · nn· an1480. 所以 an1S奇S偶51248032. 答案： C 2等差数列 an的公差 d 1 2 且 S100145，则 a1a3a5 a99的值为 () A52.5 B72.5 C60 D85 解析： 设 a1a3a5a99x，a2a4a100y，则 x yS100145，yx50d25.解得 x60，y85. 答案： C 3设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 S3 S6 1 3，则 S6 S12为( ) A. 3 10 B.1 3 C.1 8 D.1 9 解析： S3，S6S3，S9S 6，S12S9，构成一个新的等差数列， 因为 S31，S6S3312，所以 S9S63，S12S94. 所以 S12S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)123410. 所以 S6 S12 3 10. 答案： A 4 若数列 an的前 n项和是 Snn24n2， 则|a1|a2| |a10| 等于() A15 B35 C66 D100 解析： 易得 an 1，n1， 2n5，n2. |a1|1，|a2|1，|a3|1， 令 an0 则 2n50，所以 n3. 所以|a1|a2|a10| (a1a2)a3a10 2(S10S2) 2(10 24×102)(224×22) 66. 答案： C 5把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，其 中每组都比它的前一组多一个数，设 Sn表示第 n 组中所有各数的和， 那么 S21等于() A1 113 B4 641 C5 082 D53 361 解析： 因为第 n 组有 n 个数，所以前 20 组一共有 123 20210 个数，于是第 21 组的第一个数为211，这组一共有 21 个 数，S2121×211 21×20 2 ×14 641. 答案： B 二、填空题 6已知数列 an满足 a12a23a3 nann2， 则数列 an的通项公式为 _ 解析： a12a23a3nann 2， 当 n2 时，a12a23a3(n1) ·an1(n1) 2， 所以 nan2n1，所以 an 2n1 n . 当 n1 时，a11，符合上式， 所以数列 an的通项公式为 an 2n1 n . 答案： an 2n1 n 7设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 a41，S510，则当 Sn取得最大值时， n 的值为 _ 解析： 由 a4a13d1， S55a15×4 2 d10， 解得 a14， d1. 所以 a5a14d0， 所以 S4S5同时最大 所以 n4 或 5. 答案： 4 或 5 8若等差数列 an的前 n 项和为 Sn(nN * )，若 a2a352， 则 S3S5_ 解析： S3 S5 3（a1a3） 5（a1a5） 3a 2 5a3 3 5 × 5 2 3 2. 答案： 32 三、解答题 9设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，且 S120， S130. (1)求公差 d的范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由 解：(1)因为 a312，所以 a1122d， 因为 S120，S130， 所以 12a166d0， 13a178d0， 即 247d0， 3d0， 所以 24 7 d3. (2)因为 S120，S130， 所以 a1a120， a1a130. 所以 a6a70， a70. 所以 a60，又由 (1)知 d0. 所以数列前 6 项为正，从第 7 项起为负 所以数列前 6 项和最大 10在数列 an中，a11，an 2S 2 n 2Sn1(n2)，求数列 an的通 项公式 解：因为 anSnS n1， 所以 SnSn1 2S 2 n 2Sn1， 即(SnSn1)(2Sn1)2S 2 n， 即 Sn1Sn2SnSn1， 即 1 Sn 1 Sn12， 所以 1 Sn 为等差数列，且 1 S1 1 a11， 所以 1 Sn12(n1)，即 Sn 1 2n1 . 所 以an Sn Sn1 1 2n1 1 2n3 2 （2n1）（2n3） (n2)， 又 a11 2 （2×11）（2×13） ， 所以 an 1（n1）， 2 （2n1）（2n3） （n2）. B 级能力提升 1设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，Sm12，Sm0，Sm1 3，则 m 等于() A3 B4 C5 D6 解析： amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以公差d am1am1， 由 Sm m（a1am） 2 0，得 a12，所以 am2(m1) ·1 2，解得 m5. 答案： C 2若数列 an是等差数列，首项 a10，a2 003a2 0040，a2 003·a2 0040，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n是_ 解析： 由条件可知数列单调递减，故知 a2 0030，a2 0040， 故 S4 006 4 006（a1a4 006） 2 2 003·(a2 003a2 004)0， S4 007 4 007（a1a4 007） 2 4 007×a2 0040， 故使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数n 是 4 006. 答案： 4 006 3数列 an的各项都为正数，且满足Sn （an1） 2 4 (nN*)， 求数列的通项公式an. 解：法一(消 Sn)：由 Sn （an1） 2 4 (nN*)， 得 4an14(Sn1Sn)(an11) 2(a n1) 2 化简得 (an1an)(an1an2)0， 因为 an0，所以 an1an2， 又 4S14a1(a11) 2 得 a11， 故an是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列， 所以 an2n1. 法二(消 an)：由上可知 2 Snan1， 所以 2 SnSnSn11(n2)， 化简可得 ( Sn1) 2S n1， (SnSn11)( SnSn11)0， 又 S11，an的各项都为正数， 所以SnSn11. 所以Snn，从而 Snn 2， 所以 anSnSn12n1(n2)，a11 也适合， 故 an2n1.