基本不等式完整版.pdf
一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若Rba,，则abba2 22 （2）若Rba,，则 2 22 ba ab 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 * ,Rba，则abba2 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 * ,Rba，则ab ba 2 （2）若 * ,Rba，则 2 2 ba ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中， 当且仅当ba时取“=” 4、求最值的条件： “一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x，则 1 2x x ( 当且仅当1x时取“ =” ） （2） 若0x， 则 1 2x x ( 当且仅当1x时取 “=” ） （3） 若 0ab ， 则 2 a b b a ( 当且仅当 ba 时取“=” ） （4）若Rba,，则 2 ) 2 ( 22 2baba ab （5）若 * ,Rba，则 22 11 1 22 baba ab ba 特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“ =” 6、柯西不等式 （1） 若, , ,a b c dR， 则 22222 ()()()abcdacbd （2）若 123123 ,a aab b bR，则有： 2222222 12311231 1223 3 ()()()aaabbba ba ba b （3）设 1212 , nn a aabb与b是两组实数，则有 222 12 ( n aaa) 222 12 ) n bbb( 2 1122 () nn a ba ba b 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设ba,均为正数，证明不等式:ab ba 11 2 2 、 已 知 cba, 为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ： cabcabcba 222 3、已知1abc，求证： 2221 3 abc 4、已知, ,a b cR ， 且1abc， 求 证 ： abccba8)1)(1)(1( 5、已知, ,a b cR ， 且1abc， 求 证 ： 111 1118 abc 6、（2013 年新课标卷数学（理）选修 45：不等式选讲 设均为正数 , 且, 证明 : ( ); (). 7、（2013 年江苏卷（数学）选修 45：不等式选讲 已知0ba，求证 :baabba 2233 22 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1） 2 2 2 1 3 x xy（2）)4(xxy （3）)0( 1 x x xy（4）)0( 1 x x xy 题型三：利用不等式求最值（一） （凑项） 1、已知2x，求函数 42 4 42 x xy的最小值； 变式 1：已知 2x ，求函数 42 4 2 x xy的最小值； 变式 2：已知 2x ，求函数 42 4 2 x xy的最大值； 练习：1、已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最小值； 2、已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最大值； 题型四：利用不等式求最值（二） （凑系数） 1、当时，求(82 )yxx的最大值； 变式 1：当时，求4 (82 )yxx的最大值； 变式 2：设 2 3 0x，求函数)23(4xxy的最大值。 2、若02x，求yxx()63的最大值； 变式 ：若 40x ，求)28(xxy的最大值； 3、求函数 ) 2 5 2 1 (2512xxxy的最大值； （提示：平方，利用基本不等式） 变式： 求函数 ) 4 11 4 3 (41134xxxy 的最大值； 题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题 1、已知12,0,baba，求t ab 11 的最小值； 法一： 法二： 变式 1： 已知22,0,baba， 求t ab 11 的最小值； 变式 2：已知 28 ,0,1x y xy ，求xy的最小值； 变式 3： 已知0, yx， 且 11 9 xy ， 求xy的最小值。 变式 4：已知0, yx，且 19 4 xy ，求xy的最小值； 变式 5： （1）若0, yx且12yx，求 11 xy 的最小值； （2） 若Ryxba, 且 1 y b x a ， 求yx的最小值； 变式 6：已知正项等比数列 n a 满足： 567 2aaa，若 存在两项 nm aa ,， 使得 1 4aaa nm ， 求 nm 41 的最小值； 题型六：分离换元法求最值（了解） 1、求函数)1( 1 107 2 x x xx y的值域； 变式： 求函数)1( 1 8 2 x x x y的值域； 2、求函数 52 2 x x y的最大值；（提示：换元法） 变式： 求函数 94 1 x x y的最大值； 题型七：基本不等式的综合应用 1、已知1loglog 22 ba，求 ba 93的最小值 2、 （2009 天津）已知0,ba，求 ab ba 2 11 的最小值； 变式 1： （2010 四川）如果0ba，求关于ba,的表达 式 )( 11 2 baaab a的最小值； 变式 2： （2012 湖北武汉诊断）已知，当1,0 aa时， 函数1)1(logxy a 的图像恒过定点A，若点A在直 线0nymx上，求 nm 24的最小值； 3、已知0, yx，822xyyx，求yx2最小值； 变式 1：已知0,ba，满足3baab，求ab范围； 变式 2： （2010 山东） 已知0, yx， 3 1 2 1 2 1 yx ， 求xy最大值；（提示：通分或三角换元） 变式 3： （2011 浙江） 已知0, yx，1 22 xyyx， 求xy最大值； 4 、（ 2013年 山 东 （ 理 ）设 正 实 数zyx,满 足 043 22 zyxyx, 则 当 z xy 取 得 最 大 值 时, zyx 212 的最大值为（） A0 B1 C 4 9 D3 （提示：代入换元, 利用基本不等式以及函数求最值） 变式： 设zyx,是正数，满足032zyx，求 xz y 2 的 最小值； 题型八：利用基本不等式求参数范围 1、 （2012 沈阳检测） 已知0, yx，且9) 1 )( y a x yx 恒成立，求正实数a的最小值； 2、已知0zyx且 zx n zyyx 11 恒成立， 如果 Nn，求n的最大值；（参考： 4） （提示：分离参数，换元法） 变式： 已知0,ba满则2 41 ba ，若 cba 恒成立， 求c的取值范围； 题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式 ),(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a Rdcba 若, , ,a b c dR，则 22222 ()()()abcdacbd 2、二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba 2222 ) 1( ),(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a Rdcba bdacdcba 2222 )2( ),(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a Rdcba 2 )()()(3(bdacdcba ),0,(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a dcba 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 ),0(等号成立时使或存在实数当且仅当kak 4、三维柯西不等式 若 123123 ,a aab b bR，则有： 2222222 12311231 12233 ()()()aaabbba ba ba b ),( 3 3 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 b a b a b a Rba ii 5、一般n维柯西不等式 设 1212 , nn a aabb与b是两组实数，则有: 222 12(naaa ) 222 12)nbbb( 2 1 122()nna ba ba b ),( 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 n n ii b a b a b a Rba 题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设, ,x y zR，若 222 4xyz，则zyx22的 最小值为时，),(zyx 析：2)2(1)()22( 2222222 zyxzyx 3694 zyx22最小值为6 此时 3 2 2)2(1 6 221 222 zyx 3 2 x， 3 4 y， 3 4 z 2、设, ,x y zR，226xyz，求 222 xyz的最 小值m，并求此时, ,x y z之值。 Ans：) 3 4 , 3 2 , 3 4 (),(;4zyxm 3、 设, ,x y zR，332zyx， 求 222 )1(zyx 之最小值为，此时y （析：0)1(32332zyxzyx） 4、（2013 年湖南卷（理） ）已知, ,236,a b cabc 则 222 49abc的最小值是 (12:Ans) 5 、（ 2013年 湖 北 卷 （ 理 ）设 , ,x y zR , 且 满 足: 222 1xyz,2314xyz, 求zyx的 值； 6、 求coscossincos3sin2的最大值与最 小值。 （Ans：最大值为22，最小值为22） 析：令 a(2sin， 3cos，cos) ，b(1， sin， cos)
