2015届四川省成都实验外国语学校高(高三)数学12月理科月考试题及答案.pdf

成都市实验外国语学校高2012 级（高三） 12 月月考数学试题 理科 命题人：赵光明 一、选择题：本大题共10 小题 ，每小题5 分，共 50 分. 1、复数z为纯虚数，若 iazi)2( (i为虚数单位 )，则实数 a 的值为 (D) A 2 1 B 2C2D 2 1 2、在锐角ABC中，角ABC、 、所对应的边分别为, ,a b c，若2 sinbaB，则角A等 于 ( A ) A.30 o B. 45 o C. 60 o D.75 o 3、已知等差数列 n a 中， 20132,a a 是方程 022 2 xx 的两根，则 2014 S （ D ） A 2014 B 1007 C1007 D2014 4、若某程序框图如右图所示, 则该程序运行后输出的B等于（ A ） A63 B31 C127 D15 5、若圆 C1：x 2y21 与圆 C 2：x 2y26x8ym0 外切， 则 m(C) A21 B 19 C9 D 11 6、 已知正四面体ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与 BD 所成角的余弦值为(B ) A. 1 6 B. 3 6 C.1 3 D. 3 3 7、已知函数( ) sin()f xAxxR，（其中00 22 A，） ，其部 分图 像如下图所示，将( )f x的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2 倍，再向右平移1 个单位 得到( )g x的图像，则函数( )g x的解析式为（B ） A.( )sin(1) 2 g xxB.( )sin(1) 8 g xx C.( )sin(1) 2 g xxD.( )sin(1) 8 g xx 8、已知圆C：(xa) 2(yb)21，平面区域 ： xy70， xy30， y0. 若圆心 C ，且圆 C 与 x 轴相切，则a 2b2 的最大值为 (C) A5 B 29 C37 D 49 9、已知 P 是以 F1， F2为焦点的椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 上的任意一点，若PF1F2= ， PF2F1= ，且 cos = 5 5 ，sin( + )= 3 5 ，则此椭圆的离心率为（D ） A 4 3 B 3 3 C 4 2 D 5 7 10设函数 2 ( )21lnf xxxax有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx，则（D ） A 2 12ln 2 () 4 f xB 2 12ln 2 () 4 f xC 2 12ln 2 () 4 f xD 2 12ln 2 () 4 f x 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，满分25 分 . 11、已知集合 2 |20Ax xx， 集合B为整数集，则AB2, 1 , 0, 1. 12、已知 cos3sin2 cos4sin3 .2tan则10 13、已知向量a(2,1)，向量)4, 3(b，则a在b方向上的投影为 _2_ 14、已知函数 12 14 )( x x xf，则) 2 0 1 5 2 0 14 () 2 0 1 5 2 01 3 (.) 2015 2 () 2015 1 (ffff_4028_. 15、已知下列五个命题： 若一个圆锥的底面半径缩小到原来的 2 1 ，其体积缩小到原来的 4 1 ； 若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等； 直线01yx与圆 2 1 22 yx相切； “ ba 1010”是“balglg”的充分不必要条件. 过 M（2,0）的直线l 与椭圆 2 2 1 2 x y交于 P1P2两点，线段 P1P2中点为 P，设直线l 的斜率为k1（k10） ，直线 OP 的斜率为k2，则 k1k2等于 1 2 其中真命题的序号是：1，3，5 三、解答题：大题共6 小题，共75 分. 解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤. 16、（本小题满分12 分）已知函数 21 ( )3sincoscos 2222 xxx f x，ABC三个内角,A B C 的对边分别为, ,a b c . （I ）求( )f x的单调递增区间及对称轴的方程； （）若()1,f BC3,1ab，求角C的大小 . 解： （I ）因为 2 1 ( )3sincoscos 2222 xxx f x 3cos1 sin 222 3 sincos 2 1 2 1 x x x x sin() 6 x 令 2 2 262 kxk解得 2 2 2 33 kxk 所以函数( )f x的单调增区间为 2 (2 ,2 ) 33 kk，()Zk 对称轴的方程 )( 3 Zkkx () 因为()1,f BC所以 sin()1 6 BC， 又(0, )BC， 7 (,) 666 BC 所以 , 623 BCBC， 所以 2 3 A 由正弦定理 sinsinBA ba 把3,1ab代入，得到 1 sin 2 B 又,ba BA，所以 6 B，所以 6 C 17、成都市海关对同时从A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区 进口此种商品的数量(单位：件 )如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 地区A B C 数量50150100 (1)求这 6 件样品中来自A，B，C 各地区商品的数量； （ 2)若在这 6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品中来自C 地区的样品数X 的分布列及数学期望。 解： (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 50150 100 1 50， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50× 1 501，150× 1 503， 100× 1 502. 所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2. （2） 由题意可知X 可为 0，1，2. 则 15 6 )0( 2 6 2 4 C C xP 2 6 1 2 1 4 )1( C CC xP 15 8 15 1 )2( 2 6 2 2 C C xP x 0 1 2 p 15 6 15 8 15 1 则 3 2 15 10 15 1 2 15 8 1 15 6 0Ex 18、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角 形，俯视图为直角梯形 （1）证明： BN平面 C1B1 N； （2）求二面角 ACNB 1 的正弦值 18. 解（ 1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. 则为直角内，易证，且在面 11111 BNBNABBNABBCB NABBBN 1111 面且面NABBCB,BNCB 11 4 4 4 8 侧视图 俯视图 正视图 A B C N B1 C1 11111 BCBNBNBBN，且又,NBCBN 11 面 (2) 以 B为原点， BA为 x 轴， BB1为 Y轴， BC为 Z 轴建立空间直角坐标系 可得二平面的法向量)2,0 ,2(),2, 1 , 1(nm。 2 3 cos nm nm 则所求值为 2 1 19、 已知数列 n a满足： 1 1a， 1 221,N nn aan. 数列 n b的前n项和为 n S， 2 1 9,N 3 n n Sn. （）求数列 n a， n b的通项公式； （）设 nnn bac ， Nn .求数列 n c 的前 n项和 n T . 解： （）由 1 221 nn aa得 1 1 ,N 2 nn aan，又 1 1a， 所以 n a是以 1 为首项， 1 2 为公差的等差数列， 则 1 1 (1) 2 n n aand，Nn. 当 1n 时， 1 2 11 1 96, 3 bS 当 2n 时， 3 1 1 9 3 n n S， 23 12 112 99 333 nn nnnn bSS， 又1n时 12 2 6 3 n b，所以 2 2 3 nn b，Nn. （） 由 （） 知 1 2 n n a， 2 2 3 nn b，Nn， 所以 2 1 (1),N 3 n nnn ca bnn. 所以 1012 1111 234(1) 3333 n n Tn,(1) 等式两边同乘以 1 3 得 0121 11111 234(1) 33333 n n Tn ,(2) (1)-(2)得 10121 1 1 211111 2( +1) 333333 1 1 13 =6+( +1) 1 3 1 3 nn n n n Tn n 所以 2 4525 1 ,N 443 n n n Tn . 20、 （本小题满分13 分） 已知椭圆C: )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 1 ，以原点 O 为圆 心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 06yx 相切 （）求椭圆C 的标准方程 （）若直线 L： mkxy与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且 2 2 a b kk OBOA 求证：AOB的面积为定值 解： （）由题意得， |006 | 3 2 b， 1 2 c a ，又 222 abc ， 联立解得 22 4,3ab，椭圆的方程为. （）设，则 A,B 的坐标满足 消去 y 化简得， ，得 =。 3 4 OAOB KK，即 即 =。O 到直线的距离 = =为定值 . 21、设函数 ( )ln(1),( )ln(1) 1 x f xaxg xxbx x . (1)若函数 ( )f x 在 0x 处有极值，求函数 ( )f x 的最大值； (2)是否存在实数 b，使得关于x的不等式 ( )0g x 在 0, 上恒成立？ 若存在，求出 b 的取值范围；若不存在，说明理由； (3)记 n n k k aaaa. 21 1 ，证明：不等式 2 1 1 1ln1,2, 12 n k k nn k 21解析：（ 1）由已知得： 2 1 ( ) 1 1 a fx x x ，且函数 ( )f x 在 0x 处有极值 2 1 (0)0 10 10 a f ，即 1a ( )ln(1), 1 x f xx x 22 11 ( ) 1 11 x fx x xx 当 1,0x 时， ( )0fx ， ( )f x 单调递增； 当 0,x 时， ( )0fx ， ( )f x 单调递减； 函数 ( )f x 的最大值为 (0)0f （2）由已知得： 1 ( ) 1 gxb x 若 1b ，则 0,x 时， 1 ( )0 1 g xb x ( )ln(1)g xxbx 在 0, 上为减函数， ( )ln(1)(0)0g xxbxg 在 0, 上恒成立； 若 0b ，则 0,x 时， 1 ( )0 1 gxb x ( )ln(1)g xxbx 在 0, 上为增函数， ( )ln(1)(0)0g xxbxg ，不能使 ( )0g x 在 0, 上恒成立； 若0 1b ，则 1 ( )0 1 g xb x时， 1 1x b， 当 1 0,1x b 时， ( )0gx ， ( )ln(1)g xxbx 在 1 0,1 b 上为增函数， 此时 ( )ln(1)(0)0g xxbxg ， 不能使 ( )0g x 在 0, 上恒成立； 综上所述， b的取值范围是 1,x (3) 由（ 1） 、 （2）得： ln(1)(0) 1 x xx x x 取 1 x n得： 111 ln(1) 1nnn 令 2 1 ln 1 n n k k xn k ， 则 1 1 2 x ， 122 2 111 ln 10 1111 nn nn xx nnnnnn . 因此 11 1 2 nn xxx . 又 1 21 1 lnlnln1ln1ln 1 nn kk nkk k ， 故 11 222 111 11 ln 1ln 1 111 nnn n kkk kkn x kkkkn 因此 11 1 2 nn xxx . 又 1 21 1 lnlnln1ln1ln 1 nn kk nkk k ， 故 11 222 111 11 ln 1ln 1 111 nnn n kkk kkn x kkkkn 111 2 2 111 1111 11 111 nnn kkk k kkkknkk