人教A版数学必修二教案：§4.1.1圆的标准方程.pdf

第四章圆与方程 本章教材分析 上一章 ,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方 程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结 合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标 系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间 直角坐标系 ,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥 曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法 解决几何问题的能力. 通过方程 ,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究 几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐 标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重 要思想 ,不怕反复 .用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、 圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“ 翻译 ” 成相应的几何结论.这就是坐标 法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时 可以推广到空间,解决立体几何问题. 本章教学时间约需9 课时 ,具体分配如下(仅供参考 ): 4.1.1 圆的标准方程1 课时 4.1.2 圆的一般方程1 课时 4.2.1 直线与圆的位置关系2 课时 4.2.2 圆与圆的位置关系2 课时 4.3.1 空间直角坐标系1 课时 4.3.2 空间两点间的距离公式1 课时 本章复习1 课时 §4.1 圆的方程 §4.1.1 圆的标准方程 一、教材分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进 一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时 ,由于圆也是特殊的 圆锥曲线 ,因此 ,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说 ,本 节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的 应用 .由于 “ 圆的方程 ” 一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“ 掌握 ”, 为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容 可采用 “ 引导探究 ” 型教学模式进行教学设计,所谓 “ 引导探究 ” 是教师把教学内容设计为若干 问题 ,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于 “ 引”,启发学生 “ 探”,把“ 引” 和“ 探 ” 有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一 种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题. 二、教学目标 1知识与技能 （1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程. （2）会用待定系数法求圆的标准方程. 2过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力. 3情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣. 三、教学重点与难点 教学重点： 圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点 :会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.课前准备： (用淀粉在一张白纸上画上海和山) 说明 :在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是日出 ,所以还缺少一个太阳,请学生帮助 在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳. 课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美 (点评 :其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点). 然后上升到数学层次： 不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程. 从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹. 那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆 的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程. 思路 2.同学们 ,我们知道直线可以用一个方程表示,那么 ,圆可以用一个方程表示吗？圆 的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程. （二）推进新课、新知探究、提出问题 已知两点A(2,-5),B(6,9), 如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y), 又如何求它们 之间的距离 ? 具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 图 1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的 什么特点？ 图 1 我们知道 ,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么 ,决 定圆的条件是什么? 如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程? 圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？ 讨论结果： 根据两点之间的距离公式 2 21 2 21 )()(yyxx,得 |AB|=212)59()62( 22 , |CD|= 22 )8()3(yx. 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心 ,定长是半径(教师在黑 板上画一个圆 ). 圆心 C 是定点 ,圆周上的点M 是动点 ,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别 确定了圆的位置和大小. 确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. 确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是 常数 ,r 0).设M(x,y) 为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列 出 )P=M|MA|=r,由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点M适 合 的 条 件 22 )()(byax=r. 将上式两边平方得(x-a) 2+(y-b)2=r2. 化简可得 (x-a) 2+(y-b)2=r2. 若点 M(x,y) 在圆上 ,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程 ,反之若点M 的坐标满足方 程,这就说明点M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C 的圆上 .方程 就是圆心为C(a,b), 半径长为r 的圆的方程 ,我们把它叫做圆的标准方程. 这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点 (a,b)、 r 分别表示 圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为 x2+y 2=r2. 提出问题 根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? 确定圆的方程的方法和步骤是什么? 坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断 ? 讨论结果： 圆的标准方程(xa)2 (yb)2=r 2 中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r 且 r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定 位条件 ,半径是圆的定形条件. 确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r 的方程组 ,求 a、b、r 或直接 求出圆心 (a,b)和半径 r,一般步骤为： 1° 根据题意 ,设所求的圆的标准方程(xa) 2(y b)2=r2； 2° 根据已知条件,建立关于a、b、r 的方程组； 3° 解方程组 ,求出 a、b、r 的值 ,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 点 M(x0,y0)与圆 (x-a) 2+(y-b)2=r2 的关系的判断方法： 当点 M(x 0,y0)在圆 (x-a) 2+(y-b)2=r2 上时 ,点 M 的坐标满足方程(x-a) 2+(y-b)2=r2. 当点 M(x 0,y0)不在圆 (x-a) 2+(y-b)2=r2 上时 ,点 M 的坐标不满足方程(x-a) 2+(y-b)2=r2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1° 点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a) 2+(y 0-b) 2r2,点在圆外 ; 2° 点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a) 2+(y 0-b) 2=r2,点在圆上 ; 3° 点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a) 2+(y 0-b) 2r2,点在圆内 . （三）应用示例 思路 1 例 1 写出下列各圆的标准方程： (1)圆心在原点 ,半径是 3； 圆心在点C(3,4), 半径是5; (3)经过点 P(5,1),圆心在点C(8,-3)； (4)圆心在点C(1, 3),并且和直线3x-4y-7=0 相切 . 解:(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0) 2+(y-0)2=32,即 x2+y2=9. (2) 由 于 圆 心 在 点C(3,4), 半 径 是5, 所 以 圆 的 标 准 方 程 是 (x-3) 2+(y-4)2 =(5) 2, 即 (x-3) 2+(y-4)2=5. (3)方法一 :圆的半径r=|CP|=25)31 ()85( 22 =5,因此所求圆的标准方程为 (x-8) 2+(y+3)2=25. 方 法 二 : 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x-8) 2+(y+3)2=r2, 因 为 圆 经 过 点 P(5,1), 所 以 (5-8) 2+(1+3)2 =r 2,r2=25,因此所求圆的标准方程为 (x-8) 2+(y+3)2=25. 这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种 方法都可 ,要视问题的方便而定. (4) 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x-1) 2+(y-3)2=r2, 由 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 ,所 以 r= 25 |16| 25 |7123| .因此所求圆的标准方程为(x-1) 2+(y-3)2= 25 256 . 点评： 要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例 2 写出圆心为A(2,-3), 半径长等于5 的圆的方程 ,并判断点M1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这 个圆上 . 解:圆心为 A(2,-3), 半径长等于5 的圆的标准方程是 (x-2) 2+(y+3)2=25, 把点 M1(5,-7),M2(- 5,-1)分别代入方程(x-2) 2+(y+3)2 =25, 则 M1的坐标满足方程,M1在圆上 .M2的坐标不满足方程,M2不在圆上 . 点评 :本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与 圆的关系 ,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程 从几何到代数；根据坐 标满足方程来看在不在圆上 从代数到几何. 例 3 ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8), 求它的外接圆的方程. 活动： 教师引导学生从圆的标准方程(x-a) 2+(y-b)2=r2 入手 ,要确定圆的标准方程,可用待 定系数法确定a、b、r 三个参数 .另外可利用直线AB 与 AC 的交点确定圆心,从而得半径 ,圆 的方程可求 ,师生总结、归纳、提炼方法. 解法一 :设所求的圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8) 都在圆上 , 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b) 2=r2,于是 )3(.)8()2( )2()3()7( )1(,)1 ()5( 222 222 222 rba rba rba 解此方程组得 .5 ,3 ,2 r b a 所以 ABC 的外接圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2=25. 解法二 :线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为 -2,所以线段AB的垂直平分线的方程为 y+1= 2 1 (x-6). 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5), 斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为 y+3.5=3(x-3.5). 解由组成的方程组得x=2,y=-3, 所以圆心坐标为(2,-3),半径 r= 22 )31()25(=5, 所以 ABC 的外接圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2 =25. 点评 :ABC 外接圆的圆心是ABC 的外心 ,它是 ABC 三边的垂直平分线的交点,它到 三顶点的距离相等,就是圆的半径 ,利用这些几何知识,可丰富解题思路. 思路 2 例 1 图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m, 拱高 OP=4 m, 在建造时每 隔 4 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2的长度 (精确到 0.01 m). 图 2 解:建立坐标系如图,圆心在 y 轴上 ,由题意得 P(0,4),B(10, 0). 设圆的方程为x2+(y-b) 2=r2,因为点 P(0,4)和 B(10,0)在圆上 , 所以 .)0(10 ,)4(0 222 222 rb rb 解得 ,5.14 ,5.10 22 r b 所以这个圆的方程是x 2+(y+10.5)2=14.52. 设点 P2(-2,y0),由题意 y00,代入圆方程得(-2) 2+(y 0+10.5) 2 =14.5 2, 解得 y0= 22 25 .14-10.5 14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱 A2P2的长度约为3.86 m. 例 2 求与圆 x 2+y2-2x=0 外切 ,且与直线 x+3y=0 相切于点 (3,-3)的圆的方程 . 活动 :学生审题 ,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解 题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方 程组 ,求出参数 ,得到所求的圆的方程. 解:设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2.圆 x2+y2-2x=0 的圆心为 (1,0),半径为 1.因为两圆外 切, 所以圆心距等于两圆半径之和, 即 22 )0()1(ba =r+1, 由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得 )3(. )3(1 |3| )2(, 1) 3 1 ( 3 3 2 r ba a b 解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-43,r=6. 故所求圆的方程为(x-4) 2+y2=4 或 x2+(y+4 3) 2 =36. 点评 :一般情况下 ,如果已知圆心(或易于求出 )或圆心到某一直线的距离(或易于求出 ),可 用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径. 变式训练 一圆过原点O 和点 P(1,3),圆心在直线y=x+2 上,求此圆的方程. 解法一： 因为圆心在直线y=x+2 上,所以设圆心坐标为(a,a+2). 则圆的方程为(x-a) 2+(y-a-2)2=r2 . 因为点 O(0,0)和 P(1,3)在圆上 , 所以 ,)23()1 ( ,)20()0( 222 222 raa raa 解得 . 8 25 , 4 1 2 r a 所以所求的圆的方程为(x+ 4 1 ) 2+(y- 4 7 ) 2= 8 25 . 解法二： 由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为 ( 2 1 , 2 3 ), 所以弦 OP 的垂直平分线方程为y- 2 3 =- 3 1 (x- 2 1 ),即 x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2 上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上, 所以由 ,053 ,2 yx xy 解得 , 4 7 , 4 1 y x ,即圆心坐标为C(- 4 1 , 4 7 ). 又因为圆的半径r=|OC|= 8 25 ) 4 7 () 4 1 ( 22 , 所以所求的圆的方程为(x+ 4 1 ) 2+(y- 4 7 ) 2= 8 25 . 点评 :(1)圆的标准方程中有a、b、r 三个量 ,要求圆的标准方程即要求a、b、r 三个量 ,有 时可用待定系数法. (2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用. 例 3 求下列圆的方程: (1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点 (2,-1). (2)圆心在点 (2,-1),且截直线y=x-1 所得弦长为22. 解 :(1) 设 圆 心 坐 标 为 (a,-2a), 由 题 意 知 圆 与 直 线y=1-x相 切 于 点 (2,-1), 所 以 22 22 ) 12()2( 11 |12| aa aa , 解 得a=1. 所 以 所 求 圆 心 坐 标 为 (1,-2), 半 径 r= 22 )12()21( =2.所以所求圆的标准方程为(x-1) 2+(y+2)2=2. (2) 设 圆 的 方 程 为 (x-2) 2+(y+1)2=r2(r 0), 由 题 意 知 圆 心 到 直 线 y=x-1的 距 离 为 d= 22 11 |112| =2.又直线 y=x-1 被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d2=2,即 r=2.所 以所求圆的标准方程为(x-2) 2+(y+1)2=4. 点评 :本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此 外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质 的应用 ,从确定圆的圆心和半径入手来解决. （四）知能训练 课本本节练习1、2. （一）拓展提升 1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程. 活动 :学生思考交流,教师提示引导 ,求圆的方程 ,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同 探讨解题方法 . 解:首先两平行线的距离d= 22 21 BA CC =2,所以半径为r= 2 d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0, 由 平行线间的距离公式d= 22 21 | BA CC ,得 2222 34 |3| 43 |7|kk ,即 k=-2, 所以直线方程为 3x+4y-2=0. 解 3x+4y-2=0 与 y=2x 组成的方程组 ,2 ,0243 xy yx 得 , 11 4 , 11 2 y x ,因此圆心坐标 为( 11 2 , 11 4 ).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x- 11 2 ) 2 +(y- 11 4 ) 2=1. 方法二： 解方程组 . 11 3 , 11 6 11 7 , 11 14 ,2 , 0343 ,2 ,0743 x y x y xy yx xy yx 和得与因此 圆心坐标为 ( 11 2 , 11 4 ).又半径 r=1,所以所求圆的方程为(x- 11 2 ) 2+(y- 11 4 ) 2=1. 点评 :要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理. （六）课堂小结 圆的标准方程. 点与圆的位置关系的判断方法. 根据已知条件求圆的标准方程的方法. 利用圆的平面几何的知识构建方程. 直径端点是A(x 1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. （七）作业 1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容. 2.预习有关圆的切线方程的求法. 3.课本习题4.1 A 组第 2、3 题.