1、解析几何【例011点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM,相交于点M,且它们的斜率之积为2(1)求点M轨迹C的方程.(2)假设过点。(2,0)的直线/与中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在D、JF之间),试求AoDE与NODF面积之比的取值范围(O为坐标原点).解设点M的坐标为(x,y),TKMMBM=,，二二=工2XX2Y2整理，得爹+V=1(w),这就是动点M的轨迹方程.(2)方法一由题意知直线/的斜率存在，设/的方程为y=左(x2)(左士)842%1+%2=79242+184221221+1将代入万+y2=1,得(2/+1)-Sk2.+(8左22)=0,由A0,解得0g.
2、设EQ,%),F(x2,y2),那么令几=包些，那么X=回1,即bE=4B户，即七一2=；I(Xl2),且04l.SAoBFBF由得，(Xl-2)+(X2-2)=-7,乙K十1(x1-2)(X2_2)=x1x2-2(x1+x2)+4=f)=岛,Ka)?TA22+l11n,241r=,即Zr=r一一(1+)28(1+A)22C广1日4211b4110女一且化/.0一且7-24(1+2)222(1+2)224解得32；l3+2且；l!.0；ll,;.32iX),解得S?2.令=eSAOBF4s设E(XQI),S+22=TTi-022且2(2+1)26-2-l,14.BP22-62+l0M-.3解得
3、3223+2且；l!.O1,；.32X1且XL.33PT故AOBE与AOBF面积之比的取值范围是3-22,1【例02】在4ABC中，A点的坐标为(3,O),JBC边长为2,且BC在y轴上的区间-3,3上滑动.求aABC外心的轨迹方程.(2)设直线/：y=3x+方与(1)的轨迹交于E、尸两点，原点到直线/的距离为d,求名巴的最d大值并求出此时b的值.解设5点的坐标为(0,%),那么C点坐标为(O,y0+2)(-3y0ol,二2y=%+l2.故所求的aABC外心的轨迹方程为：/=6x-8(-2y2).(2)将y=3x+b代入/=6x8得9炉+6(6l)x+/+8=0.由=6x8及一2y0,/()=
4、9()2+6(-l)+2+80,-4-3/(2)=922+6(-l)2+2+80,4-6S-I)0,设线段MN的中点的横坐标是马，那么_x1+x2_t(t1-h)XL22(1+产)设线段物的中点的横坐标是4，那么=一，由题意得演=%，即有产+(1+丸+1=0,其中的42=(1+)2-40,.l或h-3；当z-3时有无+20,4后0不成立；因此hl,当Zz=I时代入方程产+(1+丸+1=0得=1,将=1/=1代入不等式1=16六+2(/2+2)/2+40成立，因此的最小值为L【例04抛物线C：=2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为一.-4(1)求P与m的值.(2)设抛物线C上一点P的
5、横坐标为“/0),过尸的直线交C于另一点。，交X轴于点M,过点。作PQ的垂线交C于另一点N.假设MN是C的切线，求才的最小值.解(I)由抛物线方程得其准线方程：y=-p-,根据抛物线定义2点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+言=*解得p=g抛物线方程为：/=y,将A(%4)代入抛物线方程，解得m=2(II)由题意知，过点Pc/)的直线PQ斜率存在且不为0,设其为人.C-kt_24-kt那么p0:y/=左(XT),当y=0,x=那么(二-,0).kk联立方程:k),整理得：X2-kx+t(k-t)Q犷=y即：x-t)x-k-t)=0,解得x=%,或X=左一，.Q(k-t,(k-t
6、)2),而QNJ_QP,二直线NQ斜率为工k整理得：+-x-(k-t)-(k-t)2=0,即：kjc+x-(k-t)k(k-t)+r=Okkkx+k(k-Z)+1x-0-0解得：X=一一I,或X=左一，k伙(J)+If.n(k(k-t)+k(k-t)+12心(k2-kt+1)22k(kT)2k,k,ki_nmk(k-t)+l-t2+ktk(t2-k2-V)kk而抛物线在点N处切线斜率：k切=yf以J网X=kMN是抛物线的切线，.(左;一左：1)2=-2k(kT)-2,整理得/+次+12/=ok(t2-k2-V)k7r)r)M=产-4)。，解得，耳(舍去)或屋【例05】双曲线(？：=4=l(0)
7、的离心率为6,右准线方程为X=且ab3(I)求双曲线C的方程.设直线/是圆O：必+y2=2上动点P(0,y0)(0y00)处的切线，/与双曲线C交于不同的两点A,3,证明ZAOB的大小为定值.【解法11此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力.(I)由题意，得C3,解得=l,c=6,b2c2-a22,所求双曲线C的方程为(Il)点尸(Xo,%)(%为0)在圆f+y2=2上,X-12x0x+y0y=2圆在点P(X0,%)处的切线方程为y-%=.(xX。)，化简得XOX+%y=2.及xj+y=2得(3尤j-4)%?4-X
8、qX+8_2莅=0Y切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0焉2,3xj-40,且A=16*4(3片4)(82片)0,设A、B两点的坐标分别为(内,%),(%2，%)，那么石+%2=t,石入2=8/,434VcosZAOB=OAOBOAOB且OA-OB=x1x2+yxy2=x1X2+(2-x0x1)(2-x0x2),4-2x(x+-2=7+I4一17+小学J-zVqJ人0I。VqJ人0J人.IQ_9v2Q_9V2=_Xb=0.ZAoB的大小为90.3片一43%4【解法2】（I）同解法L（II）点尸（%,%）（40%）在圆必+V=2上，圆在点P（XO，%）处的切线方程为炉匕=1化简得XoX+%
9、y=2.由2及；+y：=2得x0x+y0y=2（3Xd-4）x4XqX+8-2%q=O（3尤jy8%x8+2x=O切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0%2,3x-40,设4、3两点的坐标分别为（ApyI）,（w，%），Q_222Y2-R那么七马=2Te，%=；，OA-OB=x1x2+yly2,NAe出的大小为90.3043%o4（,.君+常=2且/%/0,；.0%；2,0常b0）过M（2,2）,N（,1）两点，。为坐标原点.ab（1）求椭圆E的方程.（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,并且OALOB?假设存在，写出该圆的方程，并求IABI的取值
10、范围，假设不存在说明理由.解:（1）因为椭圆E:=+T=ab.4211-T+7=1=所以5,解得？611+=lF=abVb（2）假设存在圆心在原点的圆,设该圆的切线方程为1(以方0)过M(2,2),N(6,1)两点，_TC2_O22?所以，椭圆E的方程为土+匕=1J_b2=4844使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且。4,OB,y=kx+my=Ax+加解方程组O,即Sk2-m2+404km2m2-8X1X2=Z-k2(2m2-8)4k2m2121+2左2y1y2=(kX+m)(kx2+ni)=k2xlx2+km(xl+%2)+m2=2f112XZT/2Rk?OALOB,需使XI
11、X2+%=O，即r+-=O所以3/8左28=0,所以1+2k1+2kk23m-80X82-m2+40,所以,m223射8,所以/号，即机侦或Z侦，因为直线y=Ax+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为3r2m2m2=|,r=当,所求的圆为d+y2=,此时圆的切线y=Ax+m都满8足加短或加一哀1,而当切线的斜率不存在时切线为=宜|与椭圆工+工=1的两个交33jt2626点为，n)或(一一Q满足。4,08,综上，存在圆心在原点的圆d+V=2,-3使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且O.因为4km所以(Xl)2=(Xl+)2-4x1x2=(-)2-4JL十乙KIABI=J(
12、XI-)2+(%-%3=(l+F)(x1-)23244+52+1T4k4+4k2+l132HT1+k24/+4F+14kmX1+X2=T121+2/2t-8X1X2=1-1+2/2m2-88(82-m2+4)1+242(1+242)2当左0时IABl=3211111；因为4左2H-+48所以O,34F+3+4k4V+-y+48k2k2所以卫卫1+3-12,所以3指|43区26当且仅当左=受时取=”.334F+3+432k2 当左=O时，A5=生色. 当A3的斜率不存在时，两个交点为(半,半)或(一半,土半)，所以此时IABI=半,综上，A5I的取值范围为刍指443区23即：IABle耳指,26
13、命题立意】：此题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程确实定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.【例07】设mR,在平面直角坐标系中，向量=(mx,y+l),向量=(X,y-1),aLb,动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状.(2)m=-,证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点4,4B9且Q4,03(。为坐标原点)，并求出该圆的方程.(3)m=-,设直线/与圆。尤2+卜2=*()且?Hl时，方程表示的是椭圆当机0,Skt即4
14、左2产+10,gpt24k2+l,且二一中4r2-42由y1y2=(fcv1+0(Ax2+/)=k2xlx2+ktxi+x2)+Z2=:J)142+=J，,.4产-4产42S/一4“24要使。仙西需使环+%=。，即B+=F=所以5产一4左24=0,即5产=4左2+4且产4/+1,即4/+42=1,设直线/的方程为y=fcc+t,因为直线/与圆C:44/+y2=R2(ir2=，是椭圆+,2=1的内接ABC的内切圆，其中A16为椭圆的左顶点.求圆G的半径r.(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于EE两点，证明：直线EF与圆G相切.办解设8(2+r,y0),过圆心G作GOJ_AB于。，BC交
15、长轴于,GDHB出由=得,DAH76+76-r而点B(2+r,%)在椭圆上，为2=1-与工1612-4r-r2BAE（一2）（r+1616由、式得15,+812=0,解得r=2或7=一9(舍去)(2)证明设过点M(0,l)与圆(x2)2+V=E相切的直线方程为：y-lkx(3),22+1,(4)那么三=二=,即32左2+36左+5=0317F将代入J+V=1得（16d+l）x2+32点=O,那么异于零的解为X=-一单一解得K=-9+严16-9161616+13232设/（XI，%内+1），E（x2,k2x2+）,那么=6.211&=6.22那么直线FE的斜率为：kEF=IiLl=Ph=3x2-
16、x11-16124于是直线FE的方程为:y+3誓一一l=-（x+-32+_）即丁=2%一N-16i2+1416+J433-7故结论成立.那么圆心(2,0)到直线FE的距离d=731户V16【例09】椭圆+=l(0O)的两个焦点分别为耳(c,0),工(c,O)(cO),过点E(0kbO)的左、右焦点分别为、凡，离心率e=X2,右准线方程为ab2x=2.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点冗的直线/与该椭圆交于V、N两点，且IgM+鸟N=2华，求直线/的方程.解(1)由得22,解得“=,c=l.h=yja2-c2=1所求椭圆的方程为+V=I.=2一()由(1)得甲1,0)、9(1,0)假设直线/的斜
17、率不存在，那么直线/的方程为=-1,由X=-IX22,+v设m(1,)、yv(1,-,.怛M+乙叫=(2,(4,0)|=4,与相矛盾.)+(-2,-假设直线/的斜率存在，设直线直线/的斜率为3那么直线/的方程为y=-x+1),设M(XI,凶)、N(X2,必)，联立，y=Z(X+1)f,消元得(1+2/)/+4左2彳+2左2-2=O+=122k2-2=K3=K2k9:Y+必=Mx、+%2+2)=+2.2又YF1M=(XI-1,),F2N=(X2T,y2)f2m+FK=(xl+x2-2,y,+y2)F2M+F2N7(xl+x2-2)2+(y1+y2)22y263化简得40-23/-17=0解得Z?
18、i或F=一二(舍去)40：.左=1.所求直线/的方程为y=x+l或y=x1.【例11】在平面直角坐标系Xoy中，点尸到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当尸点运动时，d恒等于点尸的横坐标与18之和.(1)求点尸的轨迹C(2)设过点厂的直线/与轨迹C相交于N两点，求线段MN长度的最大值.解(I)设点尸的坐标为(,y),那么d=4(-3)2-+3x-2由题设当x2时，由得J(3)2Z2=6-上再化简得+-=1.23627当x2时由得J(3+x+y2=3+,化简得2=i2x22故点尸的轨迹C是椭圆G：器+5=1在直线x=2的右侧局部与抛物线C2:y2=12x在直线x
19、2的左侧局部(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线，参见图1(11)如图2所示，易知直线x=2与G，G的交点都是A(2,26),B(2,-26),直线AF,B户的斜率分别为心F=-2#,f=26.当点尸在G上时，由知P/=6-gx.当点尸在G上时，由知IP耳=3+x假设直线/的斜率A存在，那么直线/的方程为y=-x-3)G)当狂女”，或kkBF即k92而时，直线/与轨迹C的两个交点M在Cl上，此时由知IMFl=6-LxINFl=6-LX222从而IMNl=MF+I2VFI=（6-X1）+（6-x）=12-（,+x）22222y=k(x-3)2y2得(3+4F)X224左2+36左2108=
20、0那么再，是这个方程的两根，所以再+=11362724421Uk2X=-*MAr=12-(x+x)=1223+Ak22123+4左2因为当上2&或k2时水224,W=12-空行=12-=I 13+4左2X411e当且仅当左=2而时，等号成立.当kAEkkAN,-2在k2网时,直线L与轨迹C的两个交点M(xl,y1),N(x2,y2)分别在C1,C2,不妨设点M在Cl上，点G上，那么知，W|=6NFl=3+设直线Ab与椭圆C1的另一交点为E(Xo,%),则玉)x1,x22.MF=6-xi6-x0=EF,NF=3+x23+2=AF所以IMVl=MF+NFEF+AF=IAEI.而点A,E都在C1上，
21、且心=-2有知MEl=詈,所以IMNl詈假设直线/的斜率不存在，那么再=4=3,此时PWl=I2；(为+%)=9,117z/1116A-42-8k114k设Sa,%),那么(-2),X1=Eh得XI=W从而%=W?一“2Al即S(E，入P又即,。)由y=一：(X-2)4k10X=一310%=T入io1NF又上0,.MNl=呸+233ky=3k山一16左1故M11=+33k当且仅当出=上，即左=L时等号成立.M=工时，线段肱V的长度取最小值号33k443(IlI)由(II)可知，当MN取最小值时，k=-此时BS的方程为4644+y2=0,s(-,),.,.BSI=-要使椭圆C上存在点T,使得AZ
22、SB的面积等于工，只须T到直线BS的距离等于正，所以T54在平行于BS且与BS距离等于它的直线/上.设直线/:x+y+l=O由EM=也,解得1=424222【例13给定椭圆C:二+=l（ab0）,称圆心在原点。，半径为Y+定的圆是椭圆。的“准ah圆”.假设椭圆C的一个焦点为F（2,0）,其短轴上的一个端点到尸的距离为3.（1）求椭圆。的方程和其“准圆”方程.（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点尸作直线/“4,使得4与椭圆C都只有一个交点，且44分别交其“准圆”于点M、N.当P为“准圆”与）,轴正半轴的交点时，求I1J2的方程.求证IMNl为定值.解：（/）因为c=I=百，所以人=12
23、分所以椭圆的方程为一+9=1,准圆的方程为/+9=4.3（W）（1）因为准圆Y+V=4与轴正半轴的交点为尸（0,2）,5分设过点P（0,2）,且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,y=kx+2=1消去y,得到（l+3%2）2+2Zr+9=0,因为椭圆与y=Ax+2只有一个公共点，所以A=144%2-49（l+3%2）=0,7分解得左=1.8分所以44方程为y=x+2,y=-x+2.9分（2）当ll,I2中有一条无斜率时，不妨设4无斜率,因为4与椭圆只有一个公共点，那么其方程为X=6或x=-后,当1方程为=有时，此时4与准圆交于点（百,1）,此时经过点（6,1）（或（3,-l）且与椭圆只有一
24、个公共点的直线是=1（或丁=一1）,即L为y=l（或y=-l）,显然直线垂直;同理可证4方程为X=时，直线44垂直.10分当,，2都有斜率时，设点P(XO,%)，其中j+为2=4,设经过点P(Xo,为)与椭圆只有一个公共点的直线为j=r(%-x0)+%,y=+(%o)那么，2,消去)，得到/+3(+(比一/)2一3=0,+y-=113 J(1+3t)x+6(y0x0)X+3(y0txl)30,=6z(y0-rx0)2-4(l+3z2)3(y0-rx0)2-3=0,经过化简得到：(3-)r2+2xoyor+l-=O,因为+y02=4,(3一2)产+2x0yat+(-3)=O,设ll,I2的斜率分
25、别为。名，因为44与椭圆都只有一个公共点，所以f?满足上述方程(3j)2+2xo%f+(o2-3)=0,所以仆,2=T,即/垂直.12分综合知：因为经过点P(XO，%)，又分别交其准圆于点M,N,且44垂直，所以线段MN为准圆f+y2=4的直径，所以IMNI=4.13分【例14设曲线C+2=1Q为正常数)与G：W=2(x+而在X轴上方公有一个公共点P.a(1)实数m的取值范围(用表示).(2)0为原点，假设G与X轴的负半轴交于点A,当(),时，试求/OAP的面积的最大值(用2表示).X2,2=114 .解：(1)由一消去y得：X2+2a2x+la2m-a2=0y2=2(x+m)f(x)=X2+
26、2a2X+2a2m-a2,问题(1)化为方程在x(-,。)上有唯一解或等根.只需讨论以下三种情况：1。2=0得：m=a9此时XP=-M,当且仅当-av./ca,即OVaVl时适合；2of（八）f(-a)0,当且仅当v7zv;3of()=0得m=a9此时xp=a-2a29当且仅当即OVaVl时适合.f（八）=0得n=-a9此时xp=-a-2a29由于22l时，-ama.10分2(2)4OAP的面积S=La%V0a,故-avmfl时,0-a2+aya2+1-2m0,从而j=-2取值最大，此时为=2一力,:S=aya-a2.当In=时，xp=-a29yp=y-a29此时S=-ay-a2.22下面比拟
27、Jaa?与LQJl-Cl2的大小：令adaa?=-ayl-a2,得Q=L223故当0a时,aya-a2l-a2.322当一V。Ciyl-c9此时Sciyu.-c20分3 22【例15】一张纸上画有半径为R的圆。和圆内一定点A且。A=.拆叠纸片使得圆周上某一点*刚好与A点重合，这样的每一种拆法都留下一条直线折痕，当1取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为X轴建立直角坐标系，那么有A(o,0).设折叠时，。上点H(R8s,Rsina)与点力重合，而折痕为直线MN,那么MN为线段AH的中垂线.设P(x,y)为MN上任一点，那么IRfI=I4I5
28、分:(x-RCOSa)2+(yRSifl)=(X-ciyy即2(xcosa+ysina)=T?2-2+lax10分.xcosa+ysina_R2-a2+2axJX2+y22Ryx1+y2可得：sin(+)=，+2X(Sing=/X,COs0=r)2Ryx2+y2yx2+y2x2+y2.R2+2gq(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分2R.Jx2+y2平方后可化为即所求点的集合为椭圆圆2+=1外(含边界)的局部.20分令令号【例16】过抛物线y=V上的一点A(l,1)作抛物线的切线分别交X轴于。、交y轴于氏点C在抛物线上，点ApRpE在线段AC上，满足把=%;点尸在线段5C上，满足更=4，
29、4+4=1,线段C。与ECFCEF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：卜=2幻1=2,.切线48的方程为丁=2%一1.：.8、。的坐标为B(0-1),P(,O),.D是线段A5的中点.5分设P(x,y)、C(XO,x；)、E(XI,y)、F(x2,y2),那么由*=4知,EC1+4Xo、,_1+lXo.BE=九得X=2_-1+4餐1+1,1+1,FC2，21+2，J21+2.E尸所在直线方程为:1+4xV1+412Xq1+4Xj1+a21+41+1x0X1+42x0l+21x01+21+4化简得(丸2-4)%-(1+4)y=K4-4)与3
30、x+1+x0几2工；.1。分当XoHL时，直线S的方程为：2芍-荷22%0-lx=53联立、解得，_厮y消去X。得尸点轨迹方程为：y=-(3x-l)2.-315分联立解得1311311当XO=I时，EF方程为：-y=2Z43)X+/W丸2，。方程为：X1、%5，2也在/点轨迹上.因。与4不能重合，二见关1,，工一.1312：2所求轨迹方程为y=-(3x-l)2(x-).20分解二：由解一知，AB的方程为y=2x1,3(0,1),0(：,0),故。是A3的中点.5分令/=且=1+412=色=1+4,那么4+12=3.因为CD为BC的中线,CPCECF*acab=2Scw=2Scbd.：.P是而1_CE,CF_SACEF_SkCEP,SXCFP3_3CACBSACAB2Sacao2SACBd2tYt22/也72A8C的重心.10分设P(x,y),C(Xo，x：),因点C异于A,那么xtlNl,故重心尸的坐标为x=詈(XHI),y=1t
