八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案).pdf

八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 1 / 9 运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式abab ab 22 ()() 完全平方公式aabbab 222 2() 立方和、立方差公式ababaabb 3322 () () 补充：欧拉公式： abcabcabc abcabbcca 333222 3()() 1 2 222 ()()()() abcabbcca 特别地：（ 1）当abc0时，有abcabc 333 3 （2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时 需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、 几何综合题中也有广泛的应用。因此，正 确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把aabb 22 22分解因式的结果是（） A. ()()()ab ab22B. ()()ab ab2 C. ()()ab ab2D. ()()ab ba 22 22 分析：aabbaabbab 222222 22212111()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()ab ab2，故选择B。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。 同时要注意分解一定要彻底。 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 2 / 9 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式2 32 xxm有一个因式是21x，求m的值。 分析： 由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可 求出m的值。 解：根据已知条件，设221 322 xxmxxaxb()() 则22212 3232 xxmxaxab xb()() 由此可得 2111 202 3 a ab mb ( ) ( ) ( ) 由（ 1）得a1 把a1代入（ 2），得b 1 2 把b 1 2 代入（ 3），得m 1 2 3. 在几何题中的应用。 例：已知abc、 、是ABC的三条边，且满足abcabbcac 222 0，试判 断ABC的形状。 分析：因为题中有abab 22 、，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成 2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解：abcabbcac 222 0 2222220 222 abcabbcac ()()()aabbbbcccaca 222222 2220 ()()()abbcca 222 0 ()()()abbcca 222 000， abbcca000， abc 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 3 / 9 ABC为等边三角形。 4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数。 分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为2123nn，（n为整数） 则()()2321 22 nn ()() () () 2321 2321 2 44 81 nnnn n n 由此可见，()()2321 22 nn一定是 8 的倍数。 5、中考点拨： 例 1：因式分解：xxy 32 4_。 解：xxyx xyx xyxy 3222 4422()()() 说明： 因式分解时， 先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻 底。 例 2：分解因式：288 3223 x yx yxy_。 解：288244 322322 x yx yxyxy xxyy()22 2 xy xy() 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 题型展示： 例 1. 已知：ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3， 求aabbaccbc 222 222的值。 解：aabbaccbc 222 222 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 4 / 9 ()()abc abc 22 2 ()abc 2 ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3， 原式()abc 2 ()()() 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 2 mmm m 说明： 本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式 因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。 例 2. 已知abcabc00 333 ， 求证：abc 555 0 证明：abcabcabcabcabbcca 333222 3()() 把abcabc00 333 ，代入上式， 可得abc0，即a0或b0或c0 若a0，则bc， abc 555 0 若b0或c0，同理也有abc 555 0 说明：利用补充公式确定abc， ，的值，命题得证。 例 3. 若xyxxyy 3322 279，求xy 22 的值。 解：xyxyxxyy 3322 27()() 且xxyy 22 9 )1 (923 22 yxyxyx， 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 5 / 9 又xxyy 22 92( ) 两式相减得xy0 所以xy 22 9 说明：按常规需求出xy，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过 程。 【实战模拟】 1. 分解因式： （1）()()aa231 22 （2）xxyxyx 52 22()() （3）axya xyxy 2234 2()()() 2. 已知：x x 1 3，求x x 4 4 1 的值。 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 6 / 9 3. 若abc， ，是三角形的三条边，求证：abcbc 222 20 4. 已知： 2 10，求 2001 的值。 5. 已知abc， ，是不全相等的实数，且abcabcabc03 333 ，试求 （1）abc的值；（ 2）a bc b ca c ab ()()() 111111 的值。 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 7 / 9 【试题答案】 1. （1）解：原式()()()()aaaa231231 ()()4123aa ()()41 23aa 说明：把aa231，看成整体，利用平方差公式分解。 （2）解：原式xxyxxy 52 22()() xxyx 23 21()() xxyxxx 22 211()()() （3）解：原式() ()() xyaa xyxy 222 2 () ()xyaxy 22 2. 解：()x x x x 1 2 122 2 x x x x 2 2 2211 2327()() ()x x x x 2 2 24 4 1 49 1 249，x x 4 4 1 47 3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需 要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证明：abcbc 222 2 abbcc abc abc abc 222 22 2() () ()() abc， ，是三角形三边 abc0且abc ()()abcabc0 即abcbc 222 20 4. 解 2 10 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 8 / 9 ()()110 2 ，即 3 10 320013667 11() 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知 abcabcabc 333 3() ()abcabbcca 222 故需考虑abcabbcca 222 值的情况， （2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：（ 1）abcabc 333 3 abcabc 333 30 又abcabc 333 3 ()()abc abcabbcca 222 ()()abcabcabbcca 222 0 而abcabbccaabbcca 222222 1 2 ()()() abc， ，不全相等 abcabbcca 222 0 abc0 （2）abc0 原式 1 222 abc abcbcacab()()() 而abc0，即abc() 原式 1333 abc bcbc() 1 3 abc bc bc() 1 3 3 abc abc() 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解（含答案） 9 / 9