四川省内江市中考数学试卷及解析.pdf

2012 年四川省内江市中考数学试卷 一、选择题（每小题3 分， 36 分） 1 （3 分） （2012?内江） 6 的相反数为（） A6 B CD6 2 （3 分） （2012?内江）下列计算正确的是（） Aa2+a4=a6 B2a+3b=5ab C（a2）3=a6Da6÷ a 3=a2 3 （3 分） （2012?内江）已知反比例函数的图象经过点（1， 2） ，则 k 的值为（） A2B C1D2 4 （3 分） （2012?内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（） A4 个B3 个C2 个D1 个 5 （3 分） （2012?内江）如图， ab， 1=65° ， 2=140° ，则 3=（） A100°B105°C110°D115° 6 （3 分） （2012?内江）一组数据4，3，6，9， 6，5 的中位数和众数分别是（） A5 和 5.5 B5.5 和 6 C5 和 6 D6 和 6 7 （3 分） （2012?内江）函数的图象在（） A第 一象限B第一、三象限C第二象限D第二、四象限 8 （3 分） （2012?内江）如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB ， CDB=30 ° ，CD=，则阴影部分图形的面积 为（） A4B2CD 9（3 分）（2012?内江） 甲车行驶30 千米与乙车行驶40 千米所用时间相同， 已知乙车每小时比甲车多行驶15 千米， 设甲车的速度为x 千米 /小时，依据题意列方程正确的是（） A BCD 10 （3 分） （2012?内江）如图，在矩形ABCD 中， AB=10 ，BC=5，点 E、F 分别在 AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点A、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（ ） A15 B20 C25 D30 11 （3 分） （2012?内江）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（） A BCD 12 （3 分） （2012?内江）如图，正ABC 的边长为3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒1cm 的速度，沿ABC 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x（秒），y=PC 2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（ ） A BCD 二、填空题（每小题5 分，共 20 分） 13 （5 分） （2012?内江）分解因式：ab 34ab= _ 14 （5 分） （2012?内江）由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几 何体所需的小正方形的个数最少为_ 15 （5 分） （2012?内江）如图所示，A、B 是边长为 1 的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C， 恰好能使 ABC 的面积为1的概率是_ 16 （5 分） （2012?内江）如图，四边形ABCD 是梯形， BD=AC 且 BD AC，若 AB=2 ，CD=4，则 S梯形ABCD= _ 三、解答题（共44 分） 17 （7 分） （2012?内江）计算： 18 （9 分） （2012?内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD 如 图所示，已知迎水坡面AB 的长为 16 米， B=60° ，背水坡面CD 的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形 ABED ，CE 的长为 8 米 （1）已知需加固的大坝长为150 米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度 19 （9 分） （2012?内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200 盆甲种花卉和3090 盆乙种花卉， 搭配 A、B 两种园艺造型共60 个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上 述信息，解答下列问题： 造型花卉甲乙 A 80 40 B 50 70 （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个A 种造型的成本为1000 元，搭配一个B 种造型的成本为1500 元，试说明选用那种方案成本最 低？最低成本为多少元？ 20 （10 分） （ 2012?内江）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上 发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E 两组发言人数的比 为 5： 2，请结合图中相关数据回答下列问题： 发言次数n A 0 n3 B 3 n6 C 6 n9 D 9 n12 E 12 n15 F 15 n18 （1）求出样本容量，并补全直方图； （2）该年级共有学生500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12 次的人数； （3）已知 A 组发言的学生中恰有1 位男生， E 组发言的学生中恰有1 位女生，现从A 组与 E 组中分别抽一位学生 写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率 21 （9 分） （2012?内江）如图，四边形ABCD 是矩形， E 是 BD 上的一点， BAE= BCE ，AED= CED，点 G 是 BC、 AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F （1）求证：四边形ABCD 是正方形； （2）当 AE=2EF 时，判断FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论 四、填空题（每小题6 分，共 24 分） 22 （6 分） （2012?内江）已知三个数x，y， z，满足，则=_ 23 （6 分） （2012?内江）已知反比例函数的图象，当x 取 1，2，3， ，n 时，对应在反比例图象上的点分别 为 M1，M2，M3 ，Mn，则=_ 24 （6 分） （ 2012?内江） 已知 ai 0 （i=1，2， ，2012）满足， 使直线 y=aix+i （i=1，2， ，2012）的图象经过一、二、四象限的 ai概率是 _ 25 （6 分） （2012?内江）已知A（1，5） ，B（3， 1）两点，在x 轴上取一点M，使 AM BM 取得最大值时，则 M 的坐标为_ 五、解答题（每小题12 分，共 36 分） 26 （12 分） （2012?内江）已知 ABC 为等边三角形，点D 为直线 BC 上的一动点（点D 不与 B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形ADEF （ A、D、E、F 按逆时针排列） ，使 DAF=60 ° ，连接 CF （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证： BD=CF ； AC=CF+CD ； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数 量关系 27 （12 分） （ 2012?内江）如果方程x 2+px+q=0 的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=p，x1 x2=q，请根据以上结论， 解决下列问题： （1）已知关于x 的方程 x2+mx+n=0 ， （n 0） ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知 a、b 满足 a 215a5=0，b215b5=0，求 的值； （3）已知 a、b、c 满足 a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值 28 （12 分） （ 2012?内江）如图，已知点A（ 1，0） ，B（4，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，且ACB=90 ° ，抛物 线 y=ax 2+bx+c 经过 A、B、C 三点，其顶点为 M （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）试判断直线CM 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明； （3）在抛物线上是否存在点N，使得 SBCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由 2012年四川省内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3 分， 36 分） 1 （3 分） （2012?内江） 6 的相反数为（） A6B CD6 解答：解： 6 的相反数是： 6， 故选： A， 2 （3 分） （2012?内江）下列计算正确的是（） Aa2+a4=a6 B2a+3b=5ab C（a 2）3=a6 Da 6÷ a3=a2 解答：解： A、 a 2+a4=a6，不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故本选项错误； B、2a+3b=5ab，不是合并同类项，故本选项错误； C、 （a 2）3=a6，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项正确； D、a 6÷ a3=a2，同底数幂的除法，底数不变指数相减， 63 2，故本选项错误 故选 C 3 （3 分） （2012?内江）已知反比例函数的图象经过点（1， 2） ，则 k 的值为（） A2B C1D2 解答： 解：反比例函数的图象经过点（1， 2） ， 2=， k=2 故选 D 4 （3 分） （2012?内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（） A4 个B3 个C2 个D1 个 解答：解：从左到右第一个和第三个图形旋转180° 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，但它们是轴对称图形； 从左到右第二个和第四个图形旋转180° 后能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形； 既是轴对称又是中心对称图形的有两个， 故选 C 5 （3 分） （2012?内江）如图， ab， 1=65° ， 2=140° ，则 3=（） A100°B105°C110°D115° 解答：解：过点A 作 AB a， ab， ABab， 2+4=180° ， 2=140° ， 4=40° ， 1=65° ， 3=1+4=65° +40° =105° 故选 B 6 （3 分） （2012?内江）一组数据4，3，6，9， 6，5 的中位数和众数分别是（） A5 和 5.5 B5.5 和 6 C5 和 6 D6 和 6 解答：解：在这一组数据中6 是出现次数最多的，故众数是6； 将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是5、6，那么由中位数的定义可知，这组数据 的中位数是（5+6）÷ 2=5.5； 故选 B 7 （3 分） （2012?内江）函数的图象在（） A第 一象限B第一、三象限C第二象限D第二、四象限 解答：解：中 x 0， 中 x 0， 故 x 0， 此时 y0， 则函数在第一象限 故选 A 8 （3 分） （2012?内江）如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB ， CDB=30 ° ，CD=，则阴影部分图形的面积 为（） A4 B2 C D 解答：解：连接OD CDAB ， CE=DE=CD=（垂径定理）， 故 SOCE=SCDE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积， 又 CDB=30 ° ， COB=60 ° （圆周角定理） ， OC=2， 故 S扇形OBD= =，即阴影部分的面积为 故选 D 9（3 分）（2012?内江） 甲车行驶30 千米与乙车行驶40 千米所用时间相同， 已知乙车每小时比甲车多行驶15 千米， 设甲车的速度为x 千米 /小时，依据题意列方程正确的是（） A BCD 解答：解：设甲车的速度为x 千米 /时，则乙车的速度为（x+15）千米 /时， 根据题意，得 = 故选 C 10 （3 分） （2012?内江）如图，在矩形ABCD 中， AB=10 ，BC=5，点 E、F 分别在 AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点A、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（ ） A15 B20 C25 D30 解答：解：根据折叠的性质，得 A1E=AE ，A1D1=AD ，D1F=DF 则阴影部分的周长=矩形的周长 =2（10+5）=30 故选： D 11 （3 分） （2012?内江）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（） A BCD 解答：解：如图：连接CD 交 AB 于 O， 根据网格的特点，CDAB ， 在 RtAOC 中， CO=； AC=； 则 sinA= 故选 B 12 （3 分） （2012?内江）如图，正ABC 的边长为3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒1cm 的速度，沿ABC 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x（秒），y=PC 2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（ ） A BCD 解答：解：正 ABC 的边长为 3cm， A=B=C=60° ，AC=3cm 当 0 x 3时，即点P 在线段 AB 上时， AP=xcm （ 0 x 3） ； 根据余弦定理知cosA=， 即=， 解得， y=x 23x+9 （0 x 3） ； 该函数图象是开口向上的抛物线； 当 3x 6 时，即点P 在线段 BC 上时， PC=（6x） cm（3x 6） ； 则 y=（6x） 2=（x 6）2（3x 6） ， 该函数的图象是在3x 6 上的抛物线； 故选 C 二、填空题（每小题5 分，共 20 分） 13 （5 分） （2012?内江）分解因式：ab 34ab= ab（b+2） （b 2） 解答：解： ab34ab=ab（b24）=ab（b+2） （b2） 故答案为： ab（b+2） （b 2） 14 （5 分） （2012?内江）由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几 何体所需的小正方形的个数最少为4 解答：解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层； 由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两 层，出可能两行都是两层 所以图中的小正方体最少4 块，最多5 块 故答案为： 4 15 （5 分） （2012?内江）如图所示，A、B 是边长为 1 的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C， 恰好能使 ABC 的面积为1的概率是 解答：解：在 6× 6 的网格中共有36 个格点，而使得三角形面积为1 的格点有8 个， 故使得三角形面积为1 的概率为=， 故答案为： 16 （5 分） （2012?内江） 如图，四边形 ABCD 是梯形， BD=AC 且 BD AC，若 AB=2 ，CD=4 ，则 S梯形ABCD=9 解答：解：过点B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点E，过点 B 作 BFDC 于点 F， 则 AC=BE ，DE=DC+CE=DC+AB=6， 又 BD=AC 且 BD AC ， BDE 是等腰直角三角形， BF=DE=3， 故可得梯形ABCD 的面积为（AB+CD ）× BF=9 故答案为： 9 三、解答题（共44 分） 17 （7 分） （2012?内江）计算： 解答：解：原式 =21+1+14+3 =2 18 （9 分） （2012?内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD 如 图所示，已知迎水坡面AB 的长为 16 米， B=60° ，背水坡面CD 的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形 ABED ，CE 的长为 8 米 （1）已知需加固的大坝长为150 米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度 解答：解： （1）分别过A、D 作 AFBC， DGBC，垂点分别为F、G，如图所示 在 RtABF 中， AB=16 米， B=60 ° ， sinB=， AF=16 ×=8， DG=8SDCE=× CE× DG=× 8× 8=32 需要填方： 150× 32=4800（立方米）； （ 2）在直角三角形DGC 中， DC=16 GC=24 GE=GC+CE=32 ， 坡度 i= 19 （9 分） （2012?内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200 盆甲种花卉和3090 盆乙种花卉， 搭配 A、B 两种园艺造型共60 个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上 述信息，解答下列问题： 造型花卉甲乙 A 80 40 B 50 70 （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个A 种造型的成本为1000 元，搭配一个B 种造型的成本为1500 元，试说明选用那种方案成本最 低？最低成本为多少元？ 解答：解： （1）设需要搭配x 个 A 种造型，则需要搭配B 种造型（ 60x）个， 则有， 解得 37 x 40， 所以 x=37 或 38 或 39 或 40 第一方案： A 种造型 37 个， B 种造型 23 个； 第二种方案：A 种造型 38 个， B 种造型 22 个； 第三种方案：A 种造型 39 个， B 种造型 21 个 第四种方案：A 种造型 40 个， B 种造型 20 个 （ 2）分别计算三种方案的成本为： 37× 1000+23× 1500=71500 元， 38× 1000+22× 1500=71000 元， 39× 1000+21× 1500=70500 元， 40× 1000+20× 1500=70000 元 通过比较可知第 种方案成本最低 答：选择第四种方案成本最低，最低位70000 元 20 （10 分） （ 2012?内江）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上 发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E 两组发言人数的比 为 5： 2，请结合图中相关数据回答下列问题： 发言次数n A 0 n3 B 3 n6 C 6 n9 D 9 n12 E 12 n15 F 15 n18 （1）求出样本容量，并补全直方图； （2）该年级共有学生500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12 次的人数； （3）已知 A 组发言的学生中恰有1 位男生， E 组发言的学生中恰有1 位女生，现从A 组与 E 组中分别抽一位学生 写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率 解答：解： （1） B、E 两组发言人数的比为5：2，E 组发言人数占8%， B 组发言的人数占20%， 由直方图可知B 组人数为 10 人， 所以，被抽查的学生人数为：10÷ 20%=50 人， C 组人数为： 50× 30%=15 人， 补全直方图如图； （ 2）F 组发言的人数所占的百分比为：16%20%30%26%8%=190%=10% ， 所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12 次的人数为： 500× （8%+10% ）=90 人； （ 3）A 组发言的学生：50× 6%=3 人，所以有1 位女生， 2 位男生， E 组发言的学生：50× 8%=4 人，所以有2 位女生， 2 位男生， 列表如下： 画树状图如下： 共 12 种情况，其中一男一女的情况有6 种， 所以 P（一男一女） = 21 （9 分） （2012?内江）如图，四边形ABCD 是矩形， E 是 BD 上的一点， BAE= BCE ，AED= CED，点 G 是 BC、 AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F （1）求证：四边形ABCD 是正方形； （2）当 AE=2EF 时，判断FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论 解答：（ 1）证明：CED 是BCE 的外角， AED 是ABE 的外角， CED=CBE+ BCE， AED= BAE+ ABE， BAE= BCE， AED= CED ， CBE= ABE ， 四边形ABCD 是矩形， ABC= BCD= BAD=90 ° ，AB=CD ， CBE= ABE=45 ° ， ABD 与 BCD 是等腰直角三角形， AB=AD=BC=CD， 四边形ABCD 是正方形； （ 2）当 AE=2EF 时， FG=3EF 证明：四边形ABCD 是正方形， ABCD，AD BC， ABE FDE，ADE GBE ， AE=2EF ， BE：DE=AE ：EF=2， BC：AD=BE ：DE=2 ， 即 BG=2AD ， BC=AD ， CG=AD ， ADF GCF， FG：AF=CG ：AD ， 即 FG=AF=AE+EF=3EF 四、填空题（每小题6 分，共 24 分） 22 （6 分） （2012?内江）已知三个数x，y，z，满足，则=4 解答： 解：， =，=，=，=+， 整理得，+= ，+= ，+= ， + + 得，=+=， 则+=， =， 于是=4 故答案为 4 23 （6 分） （2012?内江）已知反比例函数的图象，当x 取 1，2，3， ，n 时，对应在反比例图象上的点分别 为 M1，M2，M3 ，Mn，则= 解答：解：延长MnPn1交 M1P1于 N，如图， 当 x=1 时， y=1， M1的坐标为（ 1，1） ； 当 x=n 时， y=， Mn 的坐标为（ n，） ； =P1M1× P1M2+ M2P2× P2M3+ +Mn1Pn1× Pn1Mn= （ M1P1+M2P2+ +Mn1Pn1） =M1N =（1） = 故答案为 24 （6 分） （ 2012?内江） 已知 ai 0 （i=1，2， ，2012）满足， 使直线 y=aix+i （i=1，2， ，2012）的图象经过一、二、四象限的 ai概率是 解答： 解： ai 0（i=1，2， ，2012）满足 ， ai有 22 个是负数， 1990 个是正数， ai0 时直线 y=aix+i （i=1，2， ，2012）的图象经过一、二、四象限， 使直线y=aix+i （i=1 ，2， ，2012）的图象经过一、二、四象限的 ai概率是 =， 故答案为：， 25 （6 分） （2012?内江）已知A（1，5） ，B（3， 1）两点，在x 轴上取一点M，使 AM BM 取得最大值时，则 M 的坐标为（， 0） 解答：解： 如图，作点 B 关于 x 轴的对称点B， 连接 AB 并延长与 x 轴的交点，即为所求的M 点 此时 AM BM=AM B M=AB 不妨在 x 轴上任取一个另一点M ，连接 MA、MB、M B 则 M AMB=M AM B AB （三角形两边之差小于第三边） M AMBAM BM ，即此时AM BM 最大 B 是 B（3， 1）关于 x 轴的对称点，B （3，1） 设直线 AB 解析式为y=kx+b ，把 A（1，5）和 B （3，1）代入得： ，解得， 直线 AB 解析式为y=2x+7 令 y=0，解得 x=， M 点坐标为（， 0） 故答案为：（， 0） 五、解答题（每小题12 分，共 36 分） 26 （12 分） （2012?内江）已知 ABC 为等边三角形，点D 为直线 BC 上的一动点（点D 不与 B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形ADEF （ A、D、E、F 按逆时针排列） ，使 DAF=60 ° ，连接 CF （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证： BD=CF ； AC=CF+CD ； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数 量关系 解答：（ 1）证明：菱形AFED ， AF=AD ， ABC 是等边三角形， AB=AC=BC ， BAC=60 ° =DAF ， BAC DAC= DAF DAC ， 即 BAD= CAF， 在 BAD 和CAF 中 ， BAD CAF ， CF=BD ， CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即 BD=CF ， AC=CF+CD （ 2）解： AC=CF+CD 不成立， AC 、CF、 CD 之间存在的数量关系是AC=CF CD， 理由是：由（1）知： AB=AC=BC ，AD=AF ， BAC= DAF=60 ° ， BAC+ DAC= DAF+ DAC ， 即 BAD= CAF， 在 BAD 和CAF 中 ， BAD CAF ， BD=CF ， CFCD=BD CD=BC=AC ， 即 AC=CF CD （ 3）AC=CD CF理由是： BAC= DAF=60 ° ， DAB= CAF， 在 BAD 和CAF 中 ， BAD CAF ， CF=BD ， CDCF=CD BD=BC=AC ， 即 AC=CD CF 27 （12 分） （ 2012?内江）如果方程x 2+px+q=0 的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=p，x1 x2=q，请根据以上结论， 解决下列问题： （1）已知关于x 的方程 x2+mx+n=0 ， （n 0） ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知 a、b 满足 a 215a5=0，b215b5=0，求 的值； （3）已知 a、b、c 满足 a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值 解答：解： （1）设方程x2+mx+n=0 ， （n 0）的两个根分别是 x1，x2， 则：+=， ?=， 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是：x 2+ x+=0； （ 2） 当 a=b 时，原式 =2 当 a b 时， a、b 满足 a 215a 5=0，b215b 5=0， a，b 是 x2 15x 5=0 的解， a+b=15，ab=5， =47； （ 3） a+b+c=0，abc=16， a+b=c，ab=， a、b 是方程 x2+cx+ =0 的解， c2 4? 0， c 2 0， c 是正数， c3 43 0， c 3 43， c 4， 正数 c 的最小值是4 28 （12 分） （ 2012?内江）如图，已知点A（ 1，0） ，B（4，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，且ACB=90 ° ，抛物 线 y=ax 2+bx+c 经过 A、B、C 三点，其顶点为 M （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）试判断直线CM 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明； （3）在抛物线上是否存在点N，使得 SBCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由 解答：解： （1）RtACB 中， OCAB ，AO=1 ，BO=4； 由射影定理，得：OC2=OA ?OB=4，则 OC=2，即点 C（0，2） ； 设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x4） ，将 C 点代入上式，得： 2=a（0+1） （0 4） ，a=， 抛物线的解析式：y=（x+1） （ x4）=x2+ x+2； （ 2）直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切理由如下： 如右图，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为D，连接 CD 由于 A、B 关于抛物线的对称轴对称，则点D 为 RtABC 斜边 AB 的中点， CD=AB 由（ 1）知： y=（x+1） （ x4）=（x） 2+ ， 则点 M（，） ，ME=2=； 而 CE=OD=，OC=2； ME：CE=OD：OC，又 MEC= COD=90 ° ， COD CEM ， CME= CDO， CME+ CDM= CDO+ CDM=90 ° ， 而 CD 等于 D 的半径长，所以直线CM 与以 AB 为直径的圆相切； （ 3）由 B（ 4，0） 、 C（ 0，2）得： BC=2； 则： SBCN= BC?h=× 2× h=4，h=； 过点 B 作 BFBC，且使 BF=h=，过 F作直线 lBC 交 x 轴于 G Rt BFG 中， sinBGF=sin CBO=，BG=BF ÷ sinBGF=÷=4； G（0，0）或（ 8，0） 易知直线BC：y=x+2，则可设直线l：y=x+b，代入 G 点坐标，得：b=0 或 b=4，则： 直线 l：y=x 或 y=x+4； 联立抛物线的解析式后，可得： 或， 则 N1（ 2+2， 1） 、N2（2 2， 1+） 、 N3（2，3）