2006年江苏高考数学试卷及答案.pdf

'. ; 绝密启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 参考公式： 一组数据的方差)()()( 122 2 2 1 2 xxxxxx n S n 其中 x为这组数据的平均数 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项 是符合题目 要求的。 （1）已知 Ra ，函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则a （A）0 （B）1 （ C） 1 （D）± 1 （2）圆1)3() 1( 22 yx的切线方程中有一个是 （A）x y0 （B）xy 0 （ C）x0 （D）y0 （3）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11， 9.已知这组数据的平均数为10，方 差为 2，则 x y的值为 （A）1 （B）2 （ C）3 （D）4 （4）为了得到函数Rx x y), 63 sin(2 的图像，只需把函数Rxxy,sin2的图像上所有的点 （A）向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） （B）向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） （C）向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变） （D）向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变） （5） 10 ) 3 1 ( x x的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （A）0 （B）2 （ C）4 （D）6 （6）已知两点M（ 2，0） 、N（ 2，0） ，点 P 为坐标平面内的动点，满足MPMNMPMN|0，则 动点 P（x，y）的轨迹方程为 （A）xy8 2 （B）xy8 2 （ C）xy4 2 （D）xy4 2 （7）若 A、B、C 为三个集合，CBBA，则一定有 （A）CA（B）AC（ C） CA （D） A （ 8）设 a、b、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立 的是 （A）|cbcaba（ B） a a a a 11 2 2 （C）2 1 | ba ba（ D）aaaa213 （ 9）两相同的正四棱锥组成如图1 所示的几何体，可放棱长为1 的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点 均 在 正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A）1 个（B）2 个 （C）3 个（D）无穷多个 （ 10）右图中有一个信号源和五个接收器。 接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到 信号， 否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个 接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也 随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接 线点用导线连接， 则这五个接收器能同时接收到信号 的概率是 （A） 45 4 （B） 36 1 （C） 15 4 （D） 15 8 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空 在答题卡相应位置上 。 （ 11）在 ABC 中，已知BC12， A 60°， B45°，则 AC （ 12）设变量x、y 满足约束条件 1 1 22 yx yx yx ，则yxz32的最大值为 （ 13）今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。 （ 14）40cos270tan10sin310cos20cot （ 15）对正整数 n，设曲线)1(xxy n 在 x2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为 n a ，则数列 1 n an 的前 n 项和的公式是 （ 16）不等式3)6 1 (log2 x x的解集为 A B C D 信号源 图 1 '. ; 三、解答题：本大题共5 小题，共70 分。请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 （17） （本小题满分12 分，第一小问满分5 分，第二小问满分7 分） 已知三点P（ 5，2） 、 1 F （ 6，0） 、2F （6，0）. （）求以 1 F 、 2 F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； （）设点P、 1 F 、 2 F 关于直线yx 的对称点分别为 P、 ' 1 F 、 ' 2 F ，求以 ' 1 F 、 ' 2 F 为焦点且过点P的 双曲线的标准方程。 （18） （本小题满分14 分） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图 所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心 1 o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ （ 19） （本小题满分14 分，第一小问满分4 分，第二小问满分5 分，第三小问满分5 分） 在正三角形ABC 中， E、F、P 分别是 AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB CF:FACP:PB 1:2（如图 1） 。将 AEF 沿 EF 折起到EFA1的位置，使二面角A1EFB 成直二面角，连 结 A1B、A1P（如图 2） O1 O '. ; （）求证：A1E平面 BEP； （）求直线A1E 与平面 A1BP 所成角的大小； （）求二面角B A1P F的大小（用反三角函数表示） （20） （本小题满分16 分，第一小问4 分，第二小问满分6 分，第三小问满分6 分） 设 a 为实数，设函数xxxaxf111)( 2 的最大值为g(a)。 （）设txx11，求 t 的取值范围，并把f(x)表示为 t 的函数 m(t) （）求g(a) （）试求满足) 1 ()( a gag的所有实数a （ 21） （本小题满分14 分） 设数列 n a、 n b、 n c满足： 2nnn aab， 21 32 nnnn aaac（n=1,2,3,） ， 证明 n a为等差数列的充分必要条件是 n c为等差数列且 1nn bb（ n=1,2,3,） A P F E CB A1 E F C P B 图 1 图 2 '. ; 数学试题参考答案 （ 1）A （2） C （3）D （ 4）C （5）B （6）B （7） A （8）C （9）D（10）D （ 11）64（12） 18 （13）1 260 （14） 2 （15） 2n+1 （16） 1)223,223( （ 17）解： （）所以所求椭圆的标准方程为.1 945 22 yx '. ; （）所以所求双曲线的标准方程为.1 1620 22 xy （18） 解：设 OO1为 x m，则41x 设题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 222 28) 1(3xxx).1216( 2 3 1)1( 3 1 )28( 2 32 )( 32 xxxxxxV 求导数，得).312( 2 3 )( 2 xxV令0)(xV，解得2x（不合题意，舍去） ，x=2 当)(, 0)(,21xVxVx时为增函数；当)(,0)(,42xVxVx时为减函数。 所以当 x=2 时，)(xV最大。 （ 19） （）在图2 中， A1E 不垂直于 A1B， A1E 是平面 A1BP 的斜线。 又 A1E平面 BEP， A1E BP， 从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理） 。 设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于点 Q，则 EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角， 且 BPA1Q。 在 EBP 中， BE=BP=2 ， EBP=60°， EBP 是等边三角形，BE=EP 又 A1E平面 BEP， A1B=A1P，Q 为 BP 的中点，且 3EQ 。 又 A1E=1，在 RtA1EQ 中， ,3tan 1 1 EA EQ QEA EA1Q=60° （）在图3 中，过 F 作 FM A1P 于 M，连结 QM，QF。 CF=CP=1， C=60°， FCP 是正三角形，PF=1。 又1 2 1 BPPQ， PF=PQ。 A1E平面 BEP，,3EFEQ A1F=A1Q； A1FP A1QP 从而 A1PF= A1PQ 由及MP 为公共边知 FMP QMP ， QMP= FMP=90°，且 MF=MQ ， 从而 FMQ 为二面角 BA1PF 的平面角。 在 Rt A1QP 中， A1Q=A1F=2，PQ=1， 5 1P A。 MQA1P， 5 52 , 5 52 1 1 MF PA PQQA MQ 在 FCQ 中， FC=1，QC=2， C=60°，由余弦定理得QF=3。 在 FMQ 中， 8 7 2 222 MQMF QFMQMF FMQ （20）解： （）,11xxt要使 t 有意义，必须11,0101xxx即且 0,4,2122 22 txtt 的取值范围是2,2 由得1 2 1 1 22 tx2,2, 2 1 ) 1 2 1 ()( 22 tatatttatm （）由题意知)(ag即为函数2,2, 2 1 )( 2 tatattm的最大值 注意到直线 a t 1 是抛物线atattm 2 2 1 )(的对称轴，分以下几种情况讨论。 （1）当 a0，函数2,2),(ttmy的图像是开口向上的抛物线的一段，由 2,2)(0 1 在知tm a t上单调递增。2)2()(amag （2）当 a=0 时， m(t)=t，2,2t，2)(ag （3）当 a0 时，0 1 a ，此时2 1 ) 1 (,2)( aa gaag 由10,12 1 2aaa a a知由解得 综上知，满足) 1 ()( a gag的所有实数a 为：1 2 2 2aa或 解法二：当, 2 1 时a2 2 3 2)(aag 当 1 , 2 2 ( 2 1 ), 2 2 , 2 1 , 2 1 2 2 a aa时，所以, 2 1 a a 2) 2 1 ()(2 2 1 )( a a a aag。因此，当, 2 2 时a2)(ag 当0 1 ,0 a a时，由12 1 2) 1 ()(a a a a gag解得知 当,0时a2) 1 (2)(, 1 1 1, 1 1 a gag a a a a或从而或因此 要使) 1 ()( a gag，必须有. 2 2 2, 2 21 , 2 2 a a a即 此时) 1 (2)( a gag。综上知，满足) 1 ()( a gag的所有实数a 为：1 2 2 2aa或 （21）证明：必要性. 设 n a是公差为d1的等差数列，则 0)()()()( 112312311 ddaaaaaaaabb nnnnnnnnnn 所以,3 ,2, 1( 1 nbb nn ）成立 . 又)(3)(2)( 231211nnnnnnnn aaaaaacc 1111 632dddd（常数）（n=1，2， 3，），所以数列 n c为等差数列 . 充分性，设数列 n c是公差 d2的等差数列，且 1 bbn（n=1，2，3，） . 证法一： 得)(3)(2)( 423122nnnnnnnn aaaaaacc ,32 21nnn bbb， 22112 2)()(dcccccc nnnnnn 221 232dbbb nnn ， 从而有.232 2321 dbbb nnn 得.0)(3)(2)( 23121nnnnnn bbbbbb 0,0,0 23121nnnnnn bbbbbb， 由得).,3 ,2, 1(0 1 nbb nn 由此不妨设 323 ),3 ,2, 1(daandb nnn 则（常数） . 由此 3121 32432daaaaac nnnnnn ， 从而 313211 524324daadaac nnnnn ， 两式相减得 311 2)(2daaca nnnn ， 因此),3 ,2, 1)( 2 1 )( 2 1 32311 ndddccaa nnnn 常数， 所以数列 n a是等差数列 . 证法二：令由, 1nnn aaA, 3121nnnnnn aaaabb知 从而)., 3,2, 1(, 2231 nAAaaaa nnnnnn 即 由 321121 32,32 nnnnnnnn aaacaaac 得)(3)(2)( 231211nnnnnnnn aaaaaacc，即 221 32dAAA nnn . 由此得 2432 32dAAA nnn . 得0)(3)(2)( 42312nnnnnn AAAAAA. 因为0,0,0 42312nnnnnn AAAAAA， 所以由得).,3 ,2, 1(0 2 nAA nn 于是由得， 2211 3224dAAAAA nnnnn 从而.2442 2211 dAAAA nnnn 由和得,4224 111nnnnnn AAAAAA 故即 ), 3,2, 1( 112 naaaa nnnn 所以数列 n a是等差数列 .