人教版八年级数学上册《第12章全等三角形证明》经典题(含答案).pdf

1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， 111749AD 是整数，求AD 解：延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点BD=DC 在 ACD 和 BDE 中 AD=DE BDE= ADC BD=DC ACD BDE AC=BE=2 在 ABE中 AB-BE AEAB+BE AB=4 即 4-22AD4+2 1AD 3 AD=2 2.已知： D 是 AB 中点， ACB=90 °，求证： 1 2 CDAB 延长 CD 与 P，使 D 为 CP 中点。连接AP,BP DP=DC,DA=DB ACBP 为平行四边形又 ACB=90 平行四边形ACBP 为矩形 AB=CP=1/2AB 3.已知： BC=DE ， B=E， C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2 证明：连接BF 和 EF BC=ED,CF=DF, BCF=EDF 三角形 BCF 全等于三角形EDF( 边角边 ) BF=EF, CBF= DEF 连接 BE 在三角形BEF 中,BF=EF EBF=BEF。 ABC= AED 。 ABE= AEB 。 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF= AEB+ BEF= AEF 三角形ABF和三角形 AEF 全等。BAF= EAF ( 1=2)。 A B C D E F 2 1 D A B C A D B C 4.已知： 1=2，CD=DE ，EF/AB ，求证： EF=AC 过 C 作 CGEF交 AD 的延长线于点G CGEF，可得， EFDCGD DEDC FDE GDC（对顶角）EFD CGD EFCG CGD EFD 又 EFAB EFD 1 1= 2 CGD 2AGC 为等腰三角形，ACCG 又 EFCG EFAC 5.已知： AD 平分 BAC ， AC=AB+BD ，求证： B=2 C 证明：延长AB 取点 E，使 AEAC，连接 DE AD 平分 BAC EAD CAD AEAC ，AD AD AED ACD （SAS） E C ACAB+BD AEAB+BD AEAB+BE BD BE BDE E ABC E+BDE ABC 2 E ABC 2C 6.已知： AC 平分 BAD ， CEAB ， B+ D=180°，求证： AE=AD+BE 证明： 在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF CEAB CEB CEF90° EBEF， CECE， CEB CEF B CFE B D180°， CFE CFA 180° D CFA AC 平分 BAD DAC FAC AC AC ADC AFC （SAS） AD AF AEAFFEAD BE 7.如图，四边形ABCD 中， AB DC，BE、CE 分别平分 ABC 、 BCD ，且点 E 在 AD 上。求证： BC=AB+DC 。 在 BC 上截取 BF=AB ，连接 EF BE 平分 ABC ABE= FBE 又 BE=BE ABE FBE（SAS） A=BFEAB/CD A+D=180o BFE+ CFE=180o D=CFE 又 DCE= FCE CE 平分 BCD CE=CE DCE FCE（AAS ） CD=CF BC=BF+CF=AB+CD 8.已 知 ： AB/ED ， EAB= BDE ，AF=CD ， EF=BC， B A C D F 2 1 E A 求证： F=C ABED，得： EAB+ AED= BDE+ ABD=180 度， EAB= BDE ， AED= ABD ， 四边形 ABDE 是平行四边形。 得： AE=BD ， AF=CD,EF=BC ， 三角形 AEF 全等于三角形DBC， F=C。 9.已知： AB=CD ， A=D，求证： B=C 证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E， （当 ADBC 时， E 点是射线AB,DC 的交点）。则： AED 是等腰三角形。AE=DE 而 AB=CD BE=CE ( 等量加等量，或等量减等量） BEC 是等腰三角形B=C. 10. P是 BAC 平分线 AD 上一点， ACAB ，求证： PC-PBAC-AB 在 AC 上取点 E， 使 AEAB。 AEAB AP AP EAP BAE ， EAP BAP PEPB。PCECPEPC （ AC AE） PB PC PB ACAB。 11. 已知 ABC=3 C， 1=2， BEAE，求证： AC-AB=2BE P D A C B D C B A F E A B C D 证明：在 AC 上取一点D，使得角DBC= 角 C ABC=3 C ABD= ABC- DBC=3 C-C=2 C； ADB= C+DBC=2 C;AB=AD AC AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD 中， AE 是角 BAD 的角平分线， AE 垂直 BD BEAE点 E 一定在直线BD 上，在等腰三角形ABD 中， AB=AD ，AE 垂直 BD点 E 也是 BD 的中点 BD=2BE BD=CD=AC-ABAC-AB=2BE 12. 已知， E 是 AB 中点， AF=BD ，BD=5 ，AC=7 ，求 DC 作 AGBD 交 DE 延长线于GAGE 全等 BDE AG=BD=5 AGFCDF AF=AG=5 DC=CF=2 13. 如图，在 ABC 中， BD=DC， 1=2，求证： ADBC 解：延长 AD 至 BC 于点 E, BD=DC BDC 是等腰三角形 DBC= DCB 又 1=2 DBC+ 1=DCB+ 2 即 ABC= ACB ABC 是等腰三角形AB=AC 在ABD 和ACD 中AB=AC 1=2 BD=DC ABD 和ACD 是全等三角形（边角边） BAD= CAD AE 是ABC 的中垂线 AEBC AD BC 14. 如图， OM 平分 POQ，MA OP,MBOQ，A、B 为垂足， AB 交 OM 于点 N 求证： OAB=OBA 证明： OM 平分 POQ POM QOM MA OP，MB OQ MAO MBO 90 OM OM AOM BOM （AAS ） OA OBONON AON BON （SAS） OAB= OBA ， ONA= ONB ONA+ ONB180 ONA ONB 90OM AB 15. （5 分）如图，已知ADBC， P AB 的平分线与 CBA 的平分线相交于E，CE 的连线 交 AP 于 D求证： AD+BC=AB 做 BE 的延长线，与AP 相交于 F点， PA/BC PAB+ CBA=180 °，又， AE，BE 均为 PAB 和 CBA 的角平 分线 EAB+ EBA=90 ° AEB=90 °， EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中， AEBF，且 AE 为 FAB 的角平分线 三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形 DEF 与三角形 BEC 中， EBC= DFE,且 BE=EF ， DEF=CEB， 三角形 DEF 与三角形 BEC 为全等三角形，DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC 16. 如图： DF=CE ，AD=BC ， D=C。求证： AED BFC 。 F A E D C B P E D C BA FED C BA 证明： DF=CE ，DF -EF=CE-EF，即 DE=CF ，在 AED和BFC中， AD=BC ，D= C ， DE=CF AED BFC （ SAS ） 17. 如图： AE 、BC交于点 M ，F 点在 AM上， BE CF，BE=CF 。求证： AM是 ABC的中线。 M F E C B A 证明： BE CF E=CFM ， EBM= FCM BE=CF BEM CFM BM=CM AM是 ABC的中线 . 18. （10 分）如图：在ABC中， BA=BC ，D是 AC的中点。求证：BD AC 。 D C B A ABD和 BCD的三条边都相等ABD= BCD ADB= CD ADB= CDB=90 ° BDAC 19. （10 分） AB=AC ，DB=DC ，F 是 AD的延长线上的一点。求证：BF=CF F D CB A 在 ABD与 ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ABD ACD ADB= ADC BDF= FDC 在 BDF与 FDC中 BD=DC BDF= FDC DF=DF FBD FCD BF=FC 20. （12 分）如图： AB=CD ， AE=DF ， CE=FB 。求证： AF=DE 。 F E D C B A AB=DC AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB ABE= CDF DCB= ABF AB=DC BF=CE ABF= CDE AF=DE 21. 公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在 AB，CD， BC 三段 路旁各有一只小石凳E，F， M，且 BE CF，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳E，F， M 恰好在一条直线上. 证明：连接EFAB CD B=CM 是 BC 中点 BM=CM在BEM和 CFM 中 BE=CF B= C BM=CM BEM CFM（SAS） CF=BE 22. 已知：点A、 F、 E、 C 在同一条直线上，AF CE， BEDF， BEDF 求证： ABE CDF AF=CE,FE=EF. AE=CF.DF/BE, AEB= CFD （两直线平行，内错角相等） BE=DF ： ABE CDF （ SAS ） 23. 已知： 如图所示， AB AD ，BCDC，E、F分别是 DC、BC 的中点， 求证：AE AF。 连接 BD； AB=AD BC=D ADB= ABD CDB= ABD; 两角相加， ADC= ABC ； BC=DC EF 是中点 DE=BF ； AB=AD DE=BF ADC= ABC AE=AF 。 24. 如图，在四边形ABCD 中， E 是 AC 上的一点， 1= 2， 3=4，求证 : 5=6 6 5 4 3 2 1 E D C B A 证明：在 ADC ， ABC中 AC=AC ， BAC= DAC ， BCA= DCA ADC ABC （两角加一边）AB=AD ，BC=CD 在 DEC与 BEC中 BCA= DCA ，CE=CE ，BC=CD DEC BEC （两边夹一角）DEC= BEC D B CA F E 25. 已知 ABDE，BCEF，D，C 在 AF上，且 ADCF，求证：ABCDEF AD=DF AC=DF AB/DEA=EDF 又 BC/EFF=BCA ABC DEF （ ASA ） 26. 已知：如图， AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE 相交于点F，求 证： BE=CD 证明： BD AC BDC=90 ° CEAB BEC=90° BDC= BEC=90° AB=AC DCB= EBCBC=BC RtBDC RtBEC（AAS) BE=CD 27. 如图，在 ABC 中， AD 为 BAC 的平分线， DE AB 于 E，DFAC 于 F。 求证： DE=DF 证明： AD 是 BAC 的平分线EAD= FADDEAB， DFAC BFD= CFD=90 ° AED 与 AFD=90 °在 AED 与 AFD 中 EAD= FAD AD=AD AED= AFD AED AFD （AAS ） AE=AF 在 AEO 与 AFO 中 EAO= FAO AO=AO AE=AF AEO AFO（SAS） AOE= AOF=90 ° AD EF 28. 已知：如图 , ACBC 于 C , DEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的 长？ AD ABBAC= ADE 又 AC BC 于 C，DE AC 于 E 根据三角形角度之和等于180度 ABC= DAE BC=AE ， ABC DAE （ASA） AD=AB=5 A E B D C F A C D E F D C B A E 29. 如图所示，已知AE AB ，AFAC，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1） EC=BF ； （2）EC BF （1） AE AB ，AFAC ， BAE= CAF=90 °， BAE+ BAC= CAF+ BAC ，即 EAC= BAF ，在 ABF和 AEC中， AE=AB ，EAC= BAF ，AF=AC ， ABF AEC （SAS ） ， EC=BF ； （2）如图， 根据（1） ，ABF AEC ， AEC= ABF ，AE AB ， BAE=90 °， AEC+ ADE=90 °， ADE= BDM（对顶角相等） ， ABF+BDM=90 °，在 BDM 中， BMD=180 ° - ABF-BDM=180 °-90 ° =90°， EC BF 30. 如图： BEAC ，CF AB，BM=AC ， CN=AB 。求证：（ 1）AM=AN ； （2）AM AN。 F B C A M N E 1 2 3 4 证明： （1） BEAC，CFAB ABM+ BAC=90 °， ACN+ BAC=90 ° ABM= ACN BM=AC ，CN=AB ABM NAC AM=AN （2） ABM NAC BAM= N N+BAN=90 ° BAM+ BAN=90 ° 即 MAN=90 ° AM AN A E B M C F