2019年连云港市东海县中考数学一模试卷含答案解析(word版).pdf

数学试卷 2019 年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （ 3 分）下列各数中是有理数的是（） A3.14 BCD 分析：根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案 解答：解： A、是有限小数，故A 是有理数； B、C、D 是无限不循环小数，故B、C、D 是无理数； 故选： A 点评：本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数 2 （3 分）据介绍，今年连盐铁路连云港段将完成征地拆迁和工程总投资30 亿元将 30 亿 用科学记数法表示应为（） A3× 109 B3× 10 10 C 30× 10 8 D 30× 10 9 考点 ：科学记数法 表示较大的数 分析：科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中1 |a|10，n 为整数确定n 的值是 易错点，由于30 亿有 10 位，所以可以确定n=101=9 解答：解： 30 亿=3 000 000 000=3 × 109 故选 A 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与 n 值是关键 3（3 分） 下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） ABC D 考点 ：中心对称图形；轴对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答：解： A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误 故选 A 数学试卷 点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合 4 （ 3 分）下列计算正确的是（） A+=B=1 C×=6 D ÷=3 考点 ：二次根式的加减法；二次根式的乘除法 分析：分别根据二次根式的加减法则、乘除法则结合选项求解，然后选出正确答案 解答：解： A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； C、×=，计算错误，故本选项错误； D、÷=3，计算正确，故本选项正确 故选 D 点评：本题二次根式的加减法、二次根式的乘除法等运算，掌握各运算法则是解题的关键 5 （ 3 分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15 名运动员的成绩如下表： 跳高成绩（ m）1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 跳高人数1 3 2 3 5 1 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（） A1.65，1.70 B1.70，1.65 C 1.70，1.70 D 3， 5 考点 ：众数；中位数 专题 ：压轴题；图表型 分析：根据中位数和众数的定义，第8 个数就是中位数，出现次数最多的数为众数 解答：解：在这一组数据中1.70 是出现次数最多的，故众数是1.70在这 15 个数中，处 于中间位置的第8 个数是 1.65，所以中位数是1.65 所以这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.65，1.70 故选 A 点评：本题为统计题， 考查众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大 到小） 重新排列后， 最中间的那个数 （最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数如 果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那 个数当作中位数 6 （ 3 分）数学活动课上，小敏、小颖分别画了ABC 和DEF，数据如图，如果把小敏画 的三角形面积记作SABC，小颖画的三角形面积记作SDEF，那么你认为（） 数学试卷 ASABCSDEF BSABCSDEFC SABC=SDEFD 不能确定 考点 ：解直角三角形 专题 ：计算题；压轴题 分析：在两个图形中分别作BC、EF 边上的高， 欲比较面积，由于底边相等，所以只需比 较两条高即可 解答：解：如图，过点A、D 分别作 AG BC， DHEF，垂足分别为G、H， 在 RtABG 中， AG=ABsinB=5 × sin 50° =5sin 50° ， 在 RtDHE 中， DEH=180 ° 130° =50° ， DH=DEsin DEH=5sin 50 ° ， AG=DH BC=4 ，EF=4， SABC=SDEF 故选 C 点评：考查解直角三角形的知识和等底等高两三角形面积相等 7 （ 3 分）如图，将平行四边形ABCD 折叠，使顶点D 恰落在 AB 边上的点M 处，折痕为 AN ，那么对于结论 MN BC， MN=AM ，下列说法正确的是（） A都对B 都错C 对 错D 错 对 考点 ：翻折变换（折叠问题） ；平行四边形的性质 专题 ：压轴题 分析：根据题意，推出B= D=AMN ，即可推出结论 ，由 AM=DA推出四边形 AMND 为菱形，因此推出 解答：解：平行四边形ABCD ， B=D=AMN ， MN BC， AM=DA ， 四边形 AMND为菱形， 数学试卷 MN=AM 故选 A 点评：本题主要考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质，平行线的 判定，解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理，推出四边形AMND 为菱形 8 （3 分）时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针 的夹角为y 度，运行时间为t 分，当时间从3：00 开始到 3：30 止，图中能大致表示y 与 t 之间的函数关系的图象是（） AB CD 考点 ：函数的图象 专题 ：压轴题 分析：根据分针从3：00 开始到 3：30 过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再 增大到 75° ，即可得出符合要求的图象 解答：解：设时针与分针的夹角为y 度，运行时间为t 分，当时间从3：00 开始到 3： 30 止， 当 3：00 时，y=90° ，当 3：30 时，时针在3 和 4 中间位置，故时针与分针夹角为：y=75° ， 又分针从3：00 开始到 3：30 过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到 75° ， 故只有 D 符合要求， 故选： D 点评：本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意 义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决 二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上） 9 （ 3 分）相反数等于2 的数是2 考点 ：相反数 分析：根据相反数的定义解答 解答：解： 2 的相反数是2， 故答案为： 2 点评：本题考查了相反数的定义，主要利用了互为相反数的两个数的绝对值相等的性质 数学试卷 10 （3 分） 16 的平方根是± 4 考点 ：平方根 专题 ：计算题 分析：根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得 x 2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题 解答：解：（ ± 4） 2=16， 16 的平方根是 ± 4 故答案为： ± 4 点评：本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平 方根是 0；负数没有平方根 11 （3 分）已知x 0 时，函数y=的图象在第二象限，则k 的值可以是1 考点 ：反比例函数的性质 分析：根据反比例函数图象所经过的象限确定k 的符号 解答：解： x0 时，函数y=的图象在第二象限， 函数 y=的图象经过第二、四象限， k0 k 可以取 1、 2、 3 等 故答案可以是：1 点评：本题考查了反比例函数的性质对于反比例函数（k 0） ： （1）k0，反比例函 数图象在一、三象限； （2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内 12（ 3 分） 袋中有 4 个红球，x 个黄球，从中任摸一个恰为黄球的概率为， 则 x 的值为12 考点 ：概率公式 分析：根据黄球的概率为，列出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值 解答：解：设袋中有x 个黄球，根据题意得 =， 解得 x=12 故答案为： 12 点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n 种可能， 而且这些事件的可能性 相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件A 的概率 P（ A） = 13 （3 分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=40° ，则 2 的度数为130° 数学试卷 考点 ：平行线的性质；直角三角形的性质 分析：根据直角三角形两锐角互余求出3，再根据邻补角定义求出4，然后根据两直线 平行，同位角相等解答即可 解答：解： 1=40° ， 3=90° 1=90° 40° =50° ， 4=180° 50° =130° ， 直尺的两边互相平行， 2=4=130° 故答案为： 130° 点评：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义， 是基础 题，准确识图是解题的关键 14 （3 分）已知AB 、CD 是 O 的两条直径，ABC=30 ° ，那么 BAD=30° 考点 ：圆周角定理 分析：先根据全等三角形的判定定理得出AOD BOC，故可得出 A= B，由此可 判断出 AD BC，故可得出结论 解答：解：在 AOD 与BOC 中， ， AOD BOC， A=B， AD BC， =， ABC=30 ° ， BAD= ABC=30 ° 故答案为： 30° 数学试卷 点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 15 （3 分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、 D 都在这些小正方 形的顶点上， AB 、CD 相交于点 P，则 tanAPD 的值是2 考点 ：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 专题 ：几何图形问题 分析：首先连接 BE，由题意易得BF=CF ，ACP BDP，然后由相似三角形的对应边 成比例，易得 DP： CP=1： 3， 即可得 PF： CF=PF： BF=1： 2， 在 RtPBF 中，即可求得tan BPF 的值，继而求得答案 解答：解：如图，连接BE， 四边形 BCED 是正方形， DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE ， BECD， BF=CF ， 根据题意得： AC BD ， ACP BDP， DP：CP=BD ：AC=1 ：3， DP：DF=1：2， DP=PF=CF=BF， 在 RtPBF 中， tanBPF=2， APD= BPF， tanAPD=2 故答案为： 2 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中， 解题的关 键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用 16 （3 分）如图，矩形ABCD 中， AB=6 ，BC=8 ，E 是 BC 边上的一定点，P 是 CD 边上的 一动点（不与点C、 D 重合），M，N 分别是 AE、PE 的中点，记MN 的长度为a，在点 P 运动过程中， a 不断变化，则a的取值范围是4a5 数学试卷 考点 ：矩形的性质；三角形中位线定理 分析：根据矩形的性质求出AC ，然后求出AP 的取值范围，再根据三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP 解答：解：矩形ABCD 中， AB=6， BC=8， 对角线 AC=10， P 是 CD 边上的一动点（不与点C、D 重合） ， 8AP10， 连接 AP， M， N 分别是 AE 、PE 的中点， MN 是AEP 的中位线， MN=AP， 4a5 故答案为： 4a5 点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟 记性质以及定理并求出AP 的取值范围是解题的关键 三、解答题（本题共11小题，共102 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 17 （6 分）|5|+3tan30° 考点 ：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 专题 ：计算题 分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特 殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 解答：解：原式 =2 5+3×1=36 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 数学试卷 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 考点 ：分式的化简求值 专题 ：计算题 分析：线将括号内的分式通分，进行加减后再算除法，计算时，要将除法转化为乘法 解答：解：原式 =× =× =， 当 x=时， 原式 = 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 19 （8 分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来 考点 ：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 分析：先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可 解答：解：解不等式2x+54（x+2）得： x， 解不等式x1x 得： x3， 不等式组的解集为， 在数轴表示不等式组的解集为： 点评：本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此 题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集 20 （8 分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机 抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结 果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题 数学试卷 （1）将条形统计图补充完整； （2）本次抽样调查的样本容量是100； （3）已知该校有1200 名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数 考点 ：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 专题 ：图表型 分析：（1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，利用条形图中喜欢武术的女 生有 10 人，即可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数； （2）根据（ 1）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量； （3）用全校学生数× 喜欢剪纸的学生在样本中所占百分比即可求出 解答：解： （1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%， 利用条形图中喜欢武术的女生有10 人， 女生总人数为：10÷ 20%=50（人） ， 女生中喜欢舞蹈的人数为：50 1016=24（人） ， 如图所示： （2）本次抽样调查的样本容量是：30+6+14+50=100 ； （3）样本中喜欢剪纸的人数为30 人，样本容量为100， 估计全校学生中喜欢剪纸的人数=1200×=360 人 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图， 从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小 数学试卷 21 （8 分）如图，桌面上放置了红，黄，蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙 眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏 （1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率； （2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有 一个杯口朝上的概率 考点 ：列表法与树状图法；概率公式 分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可 解答：解： （1）根据题意可得：桌面上放置了红，黄，蓝三个不同颜色的杯子，故随机翻 一个杯子，翻到黄色杯子的概率为（3 分） （2）将杯口朝上用“ 上” 表示，杯口朝下用“ 下” 表示，画树状图如下： 由上面树状图可知：所有等可能出现的结果共有9 种，其中恰好有一个杯口朝上的有6 种， （7 分） P（恰好有一个杯口朝上）= （8 分） 点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法： 如果一个事件有n 种可能， 而且这些事件 的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件A 的概率 P（A）= 22 （8 分）已知： 如图，在 ABC 中，ACB=90 ° ，CAB 的平分线交BC 于 D，DEAB ， 垂足为 E，连结 CE，交 AD 于点 H （1）求证： AD CE； （2）如果过点E 作 EFBC 交 AD 于点 F，连结 CF，猜想四边形是什么图形？并证明你的 猜想 数学试卷 考点 ：全等三角形的判定与性质；菱形的判定 分析：（1）欲证明 AD CE，只需证得 ACE 为等腰三角形； （2）四边形CDEF 是菱形由（1）的结论结合已知条件可以推知对角线FD、CE 相互垂 直平分 解答：证明： （1）如图， ACB=90 ° ， CAB 的平分线交BC 于 D，DEAB， 在 ACD 与 AED 中， ， ACD AED （AAS ） ， AC=AE ， AH CE，即 AD CE； （2）四边形CDEF 是菱形理由如下： 由（ 1）知， AC=AE ，AD CE， CH=EH ， EFBC， =， FH=HD ， 四边形 CDEF 是菱形 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形与平行四边形的判定，以及角平分 线的性质，题目综合性较强，关键是需要同学们熟练掌握基础知识 23 （10 分）如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（ 3，0） ，经过 B 点的直线交抛物线于点D（ 2， 3） （1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式； 数学试卷 （2）过 x 轴上点 E（a，0） （E 点在 B 点的右侧）作直线EF BD，交抛物线于点F，是否 存在实数a使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请 说明理由 考点 ：二次函数综合题 专题 ：压轴题；数形结合 分析：（1）把 A、D 两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c 的值， 让二次函数的y 等于 0 求得抛物线与x 轴的交点 B，把 B、D 两点代入一次函数解析式可得 直线 BD 的解析式； （2）得到用a 表示的 EF 的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y 的一元二次 方程，进而根据y=3 求得合适的a 的值即可 解答：解： （1）将 A（ 3，0） ，D（ 2， 3）的坐标代入y=x 2+bx+c 得， ， 解得：， y=x 2+2x3 由 x2+2x3=0， 得： x1=3，x2=1， B 的坐标是（ 1，0） ， 设直线 BD 的解析式为y=kx+b ，则， 解得：， 直线 BD 的解析式为y=x 1； 数学试卷 （2）直线BD 的解析式是y=x1，且 EFBD ， 直线 EF 的解析式为：y=xa， 若四边形 BDFE 是平行四边形， 则 DFx 轴， D、F 两点的纵坐标相等，即点F 的纵坐标为3 由，得 由 y=x a得， x=y+a ，代入方程y=x 2+2x3 得， y 2+（2a+1） y+a2+2a 3=0， 解得： y= 令=3， 解得： a1=1，a2=3 当 a=1 时， E 点的坐标（ 1， 0） ，这与 B 点重合，舍去； 当 a=3 时， E 点的坐标（ 3，0） ，符合题意 存在实数a=3，使四边形BDFE 是平行四边形 点评：综合考查二次函数的知识；用到的知识点为：平面直角坐标系中，两直线平行，一 次项系数的值相等；两个点所在的直线平行，这两个点的纵坐标相等 24 （10 分）现在各地房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距， 以增加住宅楼栋数合 肥市某小区正在兴建的若干幢20 层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80 米如果楼间 距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3 米） （1）合肥的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4 度，冬至日为 34.88 度为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？ （2）有关规定：平行布置住宅楼，其建筑间距应不小于南侧建筑高度的1.2 倍；按照此规 定， 是否影响北侧住宅楼住户的全年的采光？若有影响，试求哪些楼层的住户受到影响？（本 题参考值： sin81.4° =0.99， cos81.4° =0.15，tan81.4° =6.61； sin34.88° =0.57， cos34.88° =0.82， tan34.88° =0.70） 考点 ：解直角三角形的应用 数学试卷 分析：（1）过点 C 作 CD 垂直 AB 于点 E在直角三角形ACE 中，由正切函数即可得到 两栋住宅楼的楼间距； （2）在直角三角形ACE 中，由正切函数可得AE 的长，进一步得到CD 的长，从而求解 解答：解： （1）如图所示： AC 为太阳光线， 太阳高度角选择冬至日的34.88 度， 即 ACE=34.88 ° ， 楼高 AB 为 2.80× 20=56 米，窗台 CD 高为 1 米； 过点 C 作 CE 垂直 AB 于点 E， 所以 AE=AB BE=AB CD=55 米； 在直角三角形ACE 中，由 tanACE=，得： BD=CE= 即两栋住宅楼的楼间距至少为78.6 米 （2）利用（ 1）题中的图：此时ACE=34.88 ° ，楼高 AB 为 2.80× 20=56 米，楼间距 BD=CE=AB × 1.2=67.2 米； 在直角三角形ACE 中，由 tanACE=，得： AE=CE × tanACE=67.2 × 0.70=47.04m 则 CD=BE=AB AE=8.96m 而 8.96=2.8× 3+0.56， 故北侧住宅楼1 至 3 楼的住户的采光受影响，4 楼及 4 楼以上住户不受影响 点评：本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角 三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决 25 （12 分）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他 们参与了某种水果的销售工作已知该水果的进价为8 元/千克，下面是他们在活动结束后 的对话 小丽：如果以10 元/千克的价格销售，那么每天可售出300 千克 小强：如果每千克的利润为3 元，那么每天可售出250 千克 小红：如果以13 元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750 元 【利润 =（销售价进价）× 销售量】 （1）请根据他们的对话填写下表： 销售单价x（元 /kg）10 11 13 销售量 y（kg）300250150 （2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样 的函数关系并求y（千克）与x（元） （x0）的函数关系式； （3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，求 W 与 x 的函数关系式当销售单 价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 数学试卷 考点 ：二次函数的应用；一次函数的应用 专题 ：应用题 分析：（1）根据题意得到每涨一元就少50 千克，则以13 元/千克的价格销售，那么每天 售出 150 千克； （2）先判断y 是 x 的一次函数利用待定系数法求解析式，设y=kx+b ，把 x=10，y=300； x=11，y=250 代入即可得到y（千克）与x（元） （x0）的函数关系式； （2）根据每天获取的利润=每千克的利润 × 每天的销售量得到W= （x 8）y=（x8） （ 50x+800） ，然后配成顶点式得y=50（x12） 2+800，最后根据二次函数的最值问题进行 回答即可 解答：解： （1）以 11 元 /千克的价格销售，可售出250 千克， 每涨一元就少50 千克， 以 13 元/千克的价格销售，那么每天售出150 千克 故答案为300，250，150； （2）y 是 x 的一次函数 设 y=kx+b ， x=10 ，y=300；x=11， y=250， ，解得， y=50x+800， 经检验： x=13，y=150 也适合上述关系式， y=50x+800 （3）W= （x8） y =（x8） （ 50x+800） =50x 2+1200x6400 =50（x12） 2+800， a=500， 当 x=12 时， W 的最大值为800， 即当销售单价为12 元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800 元 点评：本题考查了二次函数的应用：先得到二次函数的顶点式y=a（xh）2+k，当 a 0， x=h 时， y 有最大值k；当 a0，x=h 时， y 有最小值k也考查了利用待定系数法求函数的 解析式 26 （12 分） （在 ABC 中， ACB=90 ° ，经过点C 的 O 与斜边 AB 相切于点P （1）如图 ，当点 O 在 AC 上时，试说明2ACP=B； （2）如图 ，AC=8 ，BC=6，当点 O 在ABC 外部时，求CP 长的取值范围 数学试卷 考点 ：切线的性质；勾股定理 专题 ：计算题 分析：（1）根据 BC 与 AC 垂直得到BC 与圆相切， 再由 AB 与圆 O 相切于点P，利用切 线长定理得到BC=BP ，利用等边对等角得到一对角相等，再由ACP+ BCP=90° ，等量代 换即可得证； （2）在直角三角形ABC 中，利用勾股定理求出AB 的长，根据AC 与 BC 垂直，得到AC 与圆 O 相切，连接 OP， AO， 再由 AB 与圆 O 相切，得到 OP 垂直于 AB， 设 OC=x ， 则 OP=x， OB=BC OC=6x，求出 PB 的长，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出AO 的长，根据AC=AP ，OC=OP，得到 AO 垂直平分CP，根据面积法求出 CP 的长，由题意可知，当点P 与点 A 重合时， CP 最长，即可确定出CP 的范围 解答：解： （1）当点 O 在 AC 上时， OC 为 O 的半径， BCOC，且点 C 在 O 上， BC 与 O 相切 O 与 AB 边相切于点P， BC=BP ， BCP= BPC=， ACP+BCP=90° ， ACP=90° BCP=90° =B 即 2ACP= B； （2）在 ABC 中， ACB=90 ° ，AB=10， 如图，当点O 在 CB 上时， OC 为 O 的半径， AC OC，且点 C 在 O 上， AC 与 O 相切， 连接 OP、AO ， O 与 AB 边相切于点P， OPAB ， 设 OC=x ，则 OP=x，OB=BC OC=6x， AC=AP ， PB=AB AP=2， 在 OPB 中， OPB=90° ， 根据勾股定理得：OP2+BP 2=OB2，即 x2+22=（ 6x）2， 解得： x=， 在 ACO 中， ACO=90 ° ， AC 2+OC2=AO2， AO= AC=AP ，OC=OP， AO 垂直平分CP， 根据面积法得：CP=2×=， 数学试卷 由题意可知，当点P 与点 A 重合时， CP 最长， 综上，当点O 在ABC 外时，CP 8 点评：此题考查了切线的性质，勾股定理， 切线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线 的性质是解本题的关键 27 （14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知 A（ 2，0） ，B（ 2，0） ， ACAB 于点 A， AC=2 ，BDAB 于点 B，BD=6 ，以 AB 为直径的半圆O 上有一动点P（不与 A、B 两点重 合） ，连接 PD、PC，我们把由五条线段AB 、BD、DP、PC、CA 所组成的封闭图形ABDPC 叫做点 P的关联图形，如图1 所示 （1）如图 2，当 P运动到半圆O 与 y 轴的交点位置时，求点P 的关联图形的面积 （2）如图 3，连接 CD、OC、 OD，判断 OCD 的形状，并加以证明 （3）当点 P 运动到什么位置时，点P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的 最大值 考点 ：圆的综合题 分析：（1） 判断出四边形AOPC 是正方形，得到正方形的面积是4， 根据 BD AB ， BD=6 ， 求出梯形 OPDB 的面积 =8， 二者相加即为点P 的关联图形 的面积是12 （2）根据 CF=DF=4 ， DCF=45° ，求出 OCD=90 ° ，判断出 OCD 是直角三角形 （3）要使点 P 的关联图形的面积最大，就要使PCD 的面积最小，确定关联图形的最大面 积是梯形 ACDB 的面积 PCD 的面积，根据此思路，进行解答 解答：解： （1） A（ 2，0） ， OA=2 ， 数学试卷 P 是半圆 O 上的点， P在 y 轴上， OP=2， AOP=90 ° ， AC=2 ， 四边形 AOPC 是正方形， 正方形的面积是4， 又 BDAB ，BD=6 ， 梯形 OPDB 的面积 =8， 点 P 的关联图形的面积是12 （2）判断 OCD 是直角三角形 证明：延长CP 交 BD 于点 F，则四边形ACFB 为矩形， CF=DF=4 ， DCF=45° ， OCD=90 ° ， OCCD， OCD 是直角三角形 （3）连接 OC 交半圆 O 于点 P，则点 P 即为所确定的点的位置 理由如下：连接CD，梯形 ACDB 的面积 =16 为定值， 要使点 P的关联图形的面积最大，就要使PCD 的面积最小， CD 为定长， P 到 CD 的距离就要最小， 连接 OC，设交半圆O 于点 P， AC OA ，AC=OA ， AOC=45 ° ，过 C 作 CFBD 于 F，则 ACFB 为矩形， CF=DF=4 ， DCF=45° ， OCCD，OC=2， PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P到 CD 的距离为PH，则 PH+P O OHOC， OC=PC+OP， P HPC， 当点 P运动到半圆O 与 OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大 CD=4，CP=22， PCD 的面积 =16， 点 P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积 PCD 的面积 =16（ 84） =8+4 数学试卷 点评：本题考查了圆的相关知识，涉及新定义 “ 关联图形 ” ， 同时要注意直角三角形的判定， 梯形的面积的运算，强调逻辑推理，注重数形结合