2019年山东省枣庄市高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf

第 1 页（共 21 页） 2019 年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分） 1已知 i 为虚数单位，则i 2019=（ ） A1 B 1 Ci D i 2已知全集U= 1，2，3，4，5，6，集合 A= 2，4，5 ，B= 1，3，5，则（ ?UA） B= （） A 1B3 C 1，3，5，6 D 1，3 3已知 A 与 B 是两个事件，P（B）=， P（AB ）=，则 P（A| B） =（ ） ABCD 4函数 f（x）=的定义域为（） A （ ，1B 1，+） C （，1 D （，+） 5已知实数x， y 满足，若 z=2x+y 的最大值为3，则实数a 的值为（） A1 B2 C 1 D 6设 D 为 ABC 所在平面内一点，=+，若=（ R） ，则 =（） A2 B3 C 2 D 3 7函数 f（x）=2cos（2x+ ）sin sin2（x+ ） （为常数，且 ，kZ）图象的一 个对称中心的坐标为（） A （，0） B （0，0）C （，0） D （ ，0） 8函数 y=的图象大致为（） ABC D 第 2 页（共 21 页） 9执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值为（） A 1 B4 C D 10若函数f（x） =| x|+ （a0）没有零点，则a的取值范围是（） A B （2，+）C D （0，1）（ 2，+） 二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分 25 分） 11若 “ ? x ， ，mtanx+1” 为真命题，则实数 m 的最大值为 _ 12若函数f（x） =| x+1|+| x+a| 的最小值为 1，则实数a 的值为 _ 13从 2 名语文老师， 2 名数学老师，4名英语老师中选派5 人组成一个支教小组，则语文 老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为_ （用数字作答） 14圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球 （半径为 r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r=1，则该几何体 的体积为 _ 15在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C1： =1 的渐近线与椭圆C2： + =1 （ab0）交于第一、 二象限内的两点分别为A、B，若 OAB 的外接圆的圆心为（0， a） ，则双曲线C1的离心率为 _ 三、解答题（共6 小题，满分75 分） 16如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上， BD=2 ，BA=3 ，AD=， C=45° （1）求 B 的大小； （2）求 ABD 的面积及边AC 的长 第 3 页（共 21 页） 17一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分为 100 分） 进行统计按照 50，60） ， 60，70） ， 70，80） ， 80，90） ， 90，100 的分组作出频率分 布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 50，60） ， 90，100 的数据） （1）求样本容量n 和频率分布直方图中x、y 的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80 分以上（含80 分）的同学中随机抽取3 名参加志愿者 活动，设 X 表示所抽取的3 名同学中得分在 80，90）内的学生个数，求X 的数学期望及方 差 18如图，在四棱锥ABCD A1B1C1D1中，侧棱 AA 1平面 ABCD ，底面 ABCD 为菱形， ABC=120 ° ，AB=AA 1=2，AC BD=O ，E、F 分别是线段A1D、BC1的中点，延长 D1A1 到点 G，使得 D1A1=AG （1）证明： GB平面 DEF； （2）求直线GD 与平面 DEF 所成角的正弦值 19数列 an满足 a1=1，a2=，anan+1 是公比为 的等比数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）设 bn=3a2n+2n7，Sn是数列 bn 的前 n 项和，求Sn以及 Sn的最小值 20已知抛物线C： y 2=2px（p0）的焦点 F 在直线 2x+y2=0 上 （1）求抛物线C 的方程； （2）已知点 P 是抛物线C 上异于坐标原点O 的任意一点，抛物线在点P 处的切线分别与x 轴、 y 轴交于点B，E，设=，求证： 为定值； （3）在（ 2）的条件下，直线PF 与抛物线C 交于另一点A，请问： PAB 的面积是否存在 最小值？若存在，请求出最小值及此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由 第 4 页（共 21 页） 21已知函数f（x）=x1a（x1） 2 lnx（aR） （1）当 a=0 时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数g（ x）=f （x） x+1 有一个极小值点和一个极大值点，求a 的取值范围； （3）若存在k（ 1，2） ，使得当x（ 0，k 时， f（x）的值域是 f（k） ，+） ，求 a 的取 值范围注：自然对数的底数e=2.71828 第 5 页（共 21 页） 2019 年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分） 1已知 i 为虚数单位，则i 2019=（ ） A1 B 1 Ci D i 【考点】 虚数单位i 及其性质 【分析】 利用 i 4=1，即可得出 【解答】 解： i 4=1， i 2019=i4× 504=1， 故选： A 2已知全集U= 1，2，3，4，5，6，集合 A= 2，4，5 ，B= 1，3，5，则（ ?UA） B= （） A 1B3 C 1，3，5，6 D 1，3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据全集 U 求出 A 的补集，找出A 补集与 B 的并集即可 【解答】 解：全集U=1，2，3，4，5， 6 ，集合 A= 2，4，5， ?UA= 1，3，6， B= 1，3，5 ， 则（ ?UA） B= 1，3，5，6 故选： C 3已知 A 与 B 是两个事件，P（B）=， P（AB ）=，则 P（A| B） =（ ） A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 由条件概率的计算公式，代入数据计算可得答案 【解答】 解：由条件概率的计算公式，可得P（B| A）= 故选： D 4函数 f（x）=的定义域为（） A （ ，1B 1，+） C （，1 D （，+） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数成立的条件，即可求函数的定义域 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解：要使函数f（ x）有意义，则， 即 02x11，即 12x2， 解得x 1， 故函数的定义域是（，1 ， 故选： C 5已知实数x， y 满足 ，若 z=2x+y 的最大值为3，则实数a 的值为（） A1 B2 C 1 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义， 利用数形结合即可得到a 的值 【解答】 解：不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y 得 y=2x+z， 平移直线y= 2x+z， 则由图象可知当直线y=2x+z 经过点 A 时直线 y=2x+z 的截距最大， 此时 z 最大，为2x+y=16 由， 解得，即 A（2， 1） ， 此时点 A 在 x+y=a， 即 21=a， 解得 a=1， 故选： A 第 7 页（共 21 页） 6设 D 为 ABC 所在平面内一点，=+，若=（ R） ，则 =（） A2 B3 C 2 D 3 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 D 为 ABC 所在平面内一点， = +，可得 B，C，D 三点共线 若 =（ R） ，可得=，化简与 = +比较，即可得出 【解答】 解： D 为 ABC 所在平面内一点， = +， B，C，D 三点共线 若=（ R） ，=， 化为：=+， 与=+比较，可得：=，=，解得 = 3 则 =3 故选： D 7函数 f（x）=2cos（2x+ ）sin sin2（x+ ） （为常数，且 ，kZ）图象的一 个对称中心的坐标为（） A （，0） B （0，0）C （，0） D （ ，0） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由三角函数公式化简可得f（x）=2sin2x，由奇函数的对称性结合选项可得 【解答】 解：由三角函数公式化简可得： f（x）=2cos（2x+ ）sin sin2（x+ ） =2cos（2x+ ）sin sin （2x+ ）+ =2cos（2x+ ）sin sin（2x+ ）cos cos（2x+ ）sin =cos（2x+ ）sin sin（2x+ ）cos =sin（ 2x ）=2sin2x， 满足 f（ x）=f（ x）即函数为奇函数，图象关于原点对称 故选： B 8函数 y=的图象大致为（） 第 8 页（共 21 页） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势，即可判断 【解答】 解： f（ x）= f（x） ， y= 为奇函数， 图象关于原点对称， 当 x+时， y0， 当 0x时， y0， 故选： A 9执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值为（） A 1 B4 CD 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件 就退出循环，从而到结论 【解答】 解：由题意，模拟执行程序，可得 S=1，k=1 满足条件k2019，S=4，k=2 满足条件k2019，S=，k=3 第 9 页（共 21 页） 满足条件k2019，S=，k=4 满足条件k2019，S=1， k=5 观察规律可知，S 的取值周期为4，由 2019=504×4，可知 满足条件k2019，S=，k=2019 满足条件k2019，S=，k=2019 不满足条件k2019，退出循环，输出S 的值为 故选： D 10若函数f（x） =| x|+（a0）没有零点，则a的取值范围是（） AB （2，+）CD （0，1）（ 2，+） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据函数f（x）没有零点， 等价为函数y=与 y=| x| 的图象没有交点， 在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a 的取值范围 【解答】 解：令 | x|+=0 得=| x| ， 令 y= ，则 x 2 +y 2=a，表示半径为 ，圆心在原点的圆的上半部分， y=| x| ，表示以（ 0，）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图， 根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于1，或者圆心到折线的距离大 于半径， a 的取值范围为（0，1）（ 2，+） 故选： D 二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分 25 分） 11若 “ ? x ， ，mtanx+1” 为真命题，则实数 m 的最大值为0 【考点】 全称命题 【分析】 求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围 第 10 页（共 21 页） 【解答】 解： “ ? x ， m tanx+1” 为真命题， 可得 1tanx1， 0tanx+12， 实数 m 的最大值为：0 故答案为： 0 12若函数f（x） =| x+1|+| x+a| 的最小值为1，则实数a 的值为0 或 2 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 函数 f（x）=| x+1|+| x+a| 的几何意义是点x 与点 1 的距离及点x 与点 a 的距离 之和，从而解得 【解答】 解：函数f（x）=| x+1|+| x+a| 的几何意义是： 点 x 与点 1 的距离及点x 与点 a 的距离之和， 故函数 f（ x）=| x+1|+| x+a| 的最小值为 | 1+a| =1， 故 a=0 或 2， 故答案为： 0 或 2 13从 2 名语文老师， 2 名数学老师，4名英语老师中选派5 人组成一个支教小组，则语文 老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为44 （用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意， 按 4 种情况讨论，分别求出每种情况下的选派方法数目，最后由分步计 数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，按4 种情况讨论： 、2 名语文老师，2 名数学老师， 1 名英语老师，有C4 1=4 种， 、1 名语文老师，2 名数学老师， 2 名英语老师，有C21C42=12 种， 、2 名语文老师，1 名数学老师， 2 名英语老师，有 C21C42=12 种， ，1 名语文老师，1 名数学老师， 3 名英语老师，有C21C21C43=16 种， 则一共有4+12+12+16=44 种选派方法， 故答案为： 44 14圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球 （半径为 r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r=1，则该几何体 的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 第 11 页（共 21 页） 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥，由三视图求出几 何元素的长度，由球体、锥体体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥， 且球的半径是1，圆锥的底面半径是1，高为 2， 几何体的体积V=， 故答案为： 15在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1： =1 的渐近线与椭圆C2： +=1 （ab0）交于第一、 二象限内的两点分别为A、B，若 OAB 的外接圆的圆心为（0， a） ，则双曲线C1的离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由双曲线 C1：=1，可得渐近线为 y=x，与椭圆方程联立解得A，利 用两点之间的距离公式可得：=a，解得利用双曲线C1 的离心率 = 即可得出 【解答】 解：由双曲线C1：=1，可得渐近线为y=x， 联立，解得 A， 则= a， 化为： b24ab+a2=0， 解得=2 双曲线 C1的离心率 = = 故答案为： 三、解答题（共6 小题，满分75 分） 16如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上， BD=2 ，BA=3 ，AD=， C=45° （1）求 B 的大小； 第 12 页（共 21 页） （2）求 ABD 的面积及边AC 的长 【考点】 余弦定理的应用 【分析】（1）直接利用余弦定理化简求解即可 （2）利用三角形的面积以及正弦定理求解即可 【解答】 解： （1）在 ABD 中，由余弦定理，得 = 又 0° B180° ，所以 B=60° （2） 在 ABC 中，由正弦定理，得， 即解得 17一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分为100 分） 进行统计按照 50，60） ， 60，70） ， 70，80） ， 80，90） ， 90，100 的分组作出频率分 布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 50，60） ， 90，100 的数据） （1）求样本容量n 和频率分布直方图中x、y 的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80 分以上（含80 分）的同学中随机抽取3 名参加志愿者 活动，设 X 表示所抽取的3 名同学中得分在 80，90）内的学生个数，求X 的数学期望及方 差 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】（1）利用频率分布直方图，结合频率=，能求出样本容量n 和频率分布直方 图中 x、 y 的值 第 13 页（共 21 页） （2）由题意，分数在 80，90）内的有 4 人，分数在 90，100 内的有 2 人，成绩是80 分以 上（含 80 分）的学生共6 人从而抽取的3 名同学中得分在 80， 90）的学生人数X 的所 有可能的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的数学期望及方差 【解答】 解： （1）由题意可知，样本容量， ， （1） 注： （1）中的每一列式与计算结果均为 （2）由题意，分数在 80，90）内的有4 人， 分数在 90， 100 内的有 2 人，成绩是80 分以上（含80 分）的学生共6 人 从而抽取的3 名同学中得分在 80，90）的学生人数X 的所有可能的取值为1，2，3 ， ， 所以， 18如图，在四棱锥ABCD A1B1C1D1中，侧棱 AA 1平面 ABCD ，底面 ABCD 为菱形， ABC=120 ° ，AB=AA 1=2，AC BD=O ，E、F 分别是线段 A1D、BC1的中点，延长 D1A 1 到点 G，使得 D1A1=AG （1）证明： GB平面 DEF； （2）求直线GD 与平面 DEF 所成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】（1）设 AC，BD 交点为 O，以 O 为原点建立空间直角坐标系，根据各数量关系求 出和平面 DEF 的法向量的坐标，只需证明即可得出GB平面 DEF； （2）求出，计算 cos，于是直线GD 与平面 DEF 所成角的正弦值等于 | cos | 第 14 页（共 21 页） 【解答】 证明： （1）以 O 为坐标原点，分别以为 x 轴， y 轴的正方向，建立空间直 角坐标 Oxyz 在菱形 ABCD 中， AB=AD=BC=2 ， ABC=120 ° ， BD=2 ，O 为 AC 和 BD 的中点 又 AA 1平面 ABCD ，AA1=2 B（1，0，0） ，D（ 1，0，0） ，D1（ 1，0， 2） E、F 分别是线段A1D、 BC1的中点， ， ， 于是， 设平面 DEF 的一个法向量=（x，y，z） 则， 令 y=1，得，=（， 1，） =0， 又 GB?平面 DEF ， GB平面 DEF （2）=， =2，| | =2 ，| | = cos = = 直线 GD 与平面 BEF 所成的角的正弦值为| cos| = 19数列 an满足 a1=1，a2=，anan+1 是公比为的等比数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）设 bn=3a2n+2n7，Sn是数列 bn 的前 n 项和，求Sn以及 Sn的最小值 第 15 页（共 21 页） 【考点】 数列递推式；数列与函数的综合 【分析】（1）可求得；从而可得隔项成等比数列，从而分别求通项公式； （2）化简，从而利用拆项求和法求Sn， 讨论其单调性从而求最小值 【解答】 解： （1） anan+1 是公比为的等比数列， ， 即； a1， a3， a5，a7， ，a2k1， 是公比为的等比数列； a2，a4，a6， a8， ，a2k， 是公比为 的等比数列 当 n 为奇数时，设n=2k1（kN *） ， =； 当 n 为偶数时，设n=2k（kN *） ， =； 综上， （2） Sn=b1 +b 2 +b 3+ +bn= = = 第 16 页（共 21 页） 即 当 n3 时，（ n3） 26 和 都是关于n 的增函数， 当 n 3时， Sn是关于 n 的增函数，即S3S4S5 ， S 1 S 2 S 3； 20已知抛物线C： y2=2px（p0）的焦点F 在直线 2x+y2=0 上 （1）求抛物线C 的方程； （2）已知点 P 是抛物线C 上异于坐标原点O 的任意一点，抛物线在点P 处的切线分别与x 轴、 y 轴交于点B，E，设=，求证： 为定值； （3）在（ 2）的条件下，直线PF 与抛物线C 交于另一点A，请问： PAB 的面积是否存在 最小值？若存在，请求出最小值及此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程 【分析】 （1）抛物线 C 的焦点在 x 轴上，求出 p=2由此能求出抛物线C 的方程 （2）由点 P 是 C 上异于坐标原点O 的任意一点，设设切线 BP 的方 程为由，得： ky24y kt2+4t=0，由此利用根的判 别式、切线方程，结合已知条件能证明为定值 （3）设直线 FP的方程为x=my +1，由，得：，由此利用韦达定理、 弦长公式得到SPAB= ，令，则 f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在 t0 时的最小值即可利用导数性质能求出结果 【解答】 解： （1）由题意，抛物线C 的焦点在 x 轴上 在方程 2x+y2=0 中，令 y=0，得 x=1 于是，解得 p=2 第 17 页（共 21 页） 所以，抛物线C 的方程为 y 2=4x 证明： （2）由点 P是 C 上异于坐标原点O 的任意一点，设 设切线 BP 的斜率为k，则切线BP 的方程为 由，消去 x 并整理得： ky2 4ykt 2+4t=0 由 k0，考虑到判别式=164k（ kt2+4t） =0 可得 4（ kt 2）2=0所以 kt2=0故切线 BP 的斜率 切线 BP 的方程为，即 在中，令 x=0，得所以点E 的坐标为； 在中，令 y=0，得所以点 B 的坐标为 所以， 所以故，为定值 解： （3）由直线FP过点 F（ 1，0） ， 设直线 FP 的方程为 x=my +1 由，消去 x 得： 由韦达定理，得yAyP=4所以 于是 = 令，则 f（ t）为偶函数，只需研究函数f（t）在 t 0 时 的最小值即可 当 t0 时， 第 18 页（共 21 页） 当时， f'（t） 0，f（t）为减函数； 当时， f'（ t） 0，f（t）为增函数 所以，当t 0 时，函数 f（t）在时取最小值 因为 f（t）为偶函数，当t0 时，函数 f（t）在时取最小值 当时，点 P的坐标为；当时，点 P 的坐标为 综上， PAB 的面积存在最小值， 此时点 P的坐标为或 21已知函数f（x）=x1a（x1） 2 lnx（aR） （1）当 a=0 时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数g（ x）=f （x） x+1 有一个极小值点和一个极大值点，求a 的取值范围； （3）若存在k（ 1，2） ，使得当x（ 0，k 时， f（x）的值域是 f（k） ，+） ，求 a 的取 值范围注：自然对数的底数e=2.71828 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出 g（x）的导数，得到关于a的不等式组，解出验算即可； （3）求出 f（x）的导数，通过讨论a 的范围确定函数的单调区间，得到关于a 的不等式， 解出即可 【解答】 解： （1） f（x）的定义域为（0，+） 当 a=0 时， f'（x） 0? 0x1；f'（x） 0? x1 所以，函数f（x）的增区间为（1，+） ，减区间为（0，1） （2）g（x） =a（x1） 2lnx，则 令 h（x）=2ax22ax+1（x0） ，若函数 g（x）有两个极值点， 则方程 h（x）=0 必有两个不等的正根，设两根为x1，x2， 第 19 页（共 21 页） 于是 解得 a 2 当 a2 时， h（x）=0 有两个不相等的正实根，设为x1 ，x 2，不妨设 x1 x 2， 则 当 0xx1时， h（x） 0，g'（x） 0， g（x）g'（x） 0 在（ 0，x1）上为减函数； 当 x 1x x2时， h（x） 0，g（x）在（ x1 ，x 2）上为增函数； 当 xx2时， h（x） 0，g'（x） 0，函数 g（x）在（ x2，+）上为减函数 由此， x=x1是函数 g（x）的极小值点， x=x2是函数 g（x）的极大值点符合题意 综上，所求实数a的取值范围是（2，+） （3） 当a0时， 当 0x1 时， f'（x） 0，f（x）在（ 0，1）上为减函数； 当 x1 时， f'（x） 0，f（x）在（ 1，+）上为增函数 所以，当 x（0，k（1k2）时， f（x）min=f（1）=0f（k） ，f（ x）的值域是 0，+） 不符合题意 当 a0 时， （ i）当，即时，当 x 变化时， f'（x） ，f（x）的变化情况如下： x 1 （ 1，+） f'（x） 0 +0 f（x）减函数极小值增函数极大值减函数 若满足题意， 只需满足， 即 整理得 令，当时， 所以 F（a）在上为增函数， 第 20 页（共 21 页） 所以，当时， 可见，当时，恒成立 故若，当 x（ 0，k （1k2）时，函数f（x）的值域是 f（k） ， +） 所以满足题意 （ ii）当 ，即时，当且仅 当 x=1 时取等号 所以 f（x）在（ 0，+）上为减函数从而f（x）在（ 0， k 上为减函数符合题意 （ iii ）当，即时，当 x 变化时， f'（x） ，f（x）的变化情况如下表： x （0，1） 1 f'（x） 0 +0 f（x）减函数极小值 0 增函数极大值减函数 若满足题意， 只需满足f（2）f（1） ，且（若，不符合题意），即 a1 ln2， 且 又，所以 a1ln2此时， 综上， a1ln2 所以实数 a的取值范围是（1ln2，+） 第 21 页（共 21 页） 2019 年 9 月 18 日