2019年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析.pdf

浙江省温州市2019 年高考数学二模试卷（理科）（解析版） 一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知全集U= 1，2，3，4，5，集合 A= 1，2，3，B= 3，4，5 ，则 A ?UB= （ ） A 3B1，2，4， 5 C 1，2D1，3，5 2已知实数x， y 满足 ，则 z=xy（） A最小值为1，不存在最大值B最小值为2，不存在最大值 C最大值为1，不存在最小值D最大值为2，不存在最小值 3直线 l1： mx+y1=0 与直线 l2：（ m2）x+my1=0，则 “ m=1” 是“ l1 l 2” 的（） A充分不必要条件B充要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 4已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （） A4 BC8 D 5设集合S= A0，A1，A2，A3 ，在 S 上定义运算为： AiAj=Ak，其中 k 为 i+j 被 4 除 的余数， i，j=0，1，2，3若（ A2 A 3） Am=A0，则 m 的值为（ ） A0 B1 C2 D3 6点 P 到图形 C 上所有点的距离的最小值称为点P 到图形 C 的距离， 那么平面内到定圆C 的距离与到圆C 外的定点 A 的距离相等的点的轨迹是（） A射线 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 7数列 an是递增数列，且满足 an+1=f（an）， a1（ 0，1），则 f（x）不可能是（） Af（x） =Bf（x）=2x1 C f（x）= Df（x）=log2（x+1） 8 棱长为 2 的正方形ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，点 P， Q 分别为面 A1B1C1D1 和线段 B1C 上的动点，则 PEQ 周长的最小值为（） A2 B C D2 二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分） 9以椭圆=1 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程 是，离心率为 10函数的图象如图所示，则 =，= 11 已知等差数列 a n的公差为 3， 且 a3 是 a 1 和 a 4的等比中项， 则通项 an=， 数列 an 的前 n 项和 Sn的最大值为 12设奇函数f（x）=，则 a+c 的值为，不等式 f（x）f（x）在x ， 上的解集为 13若正数a，b 满足 log2a=log5b=lg （a+b），则 的值为 14若存在x0 1，1 使得不等式 1 000 2124 xxx a 成立，则实数a 的取值范围 是 15如图，矩形ABCD 中， AB=3 ，AD=4 ，M， N 分别为线段BC，CD 上的点，且满足 ，若，则 x+y 的最小值为 三、解答题（本大题共5 小题，共74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 =，sinA= （）求sinC 的值； （II）设 D 为 AC 的中点，若ABC 的面积为8，求 BD 的长 17如图，矩形ABCD 中， = （ 1），将其沿AC 翻折，使点 D 到达点 E 的位置， 且二面角CAB E 为直二面角 （1）求证：平面ACE平面 BCE； （2）设 F 是 BE 的中点，二面角EACF 的平面角的大小为 ，当 2，3 时，求 cos 的取值范围 18已知二次函数f（x）=ax 2+bx+c（a0）的图象过点（ 1，0） （1）记函数f（x）在 0，2 上的最大值为M，若 M1，求 a 的最大值； （2）若对任意的x1 0， 2 ，存在 x2 0，2 ，使得 f（x1） +f（x2）a，求的取值 范围 19已知椭圆 =1（ab0）的两个焦点为F1 ，F 2，焦距为 2，设点 P（a，b）满足 PF1F2是等腰三角形 （1）求该椭圆方程； （2）过 x 轴上的一点M （m，0）作一条斜率为k 的直线 l，与椭圆交于点A，B 两点，问 是否存在常数k，使得 | MA | 2+| MB |2 的值与 m 无关？若存在， 求出这个 k 的值；若不存在， 请说明理由 20设正项数列 an满足： a1=1，且对任意的n，mN+，nm，均有 a 2 n+ma 2 nm=n 2m2 成立 （1）求 a2，a3的值，并求 an 的通项公式； （2）（）比较a2n1 +a 2n+1与 2a2n的大小； （）证明： a2 +a 4+ +a2n 2019 年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知全集U= 1，2，3，4，5，集合 A= 1，2，3，B= 3，4，5 ，则 A ?UB= （ ） A 3B1，2，4， 5 C 1，2 D1，3，5 【分析】 由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出A 与 B 补集的交集即可 【解答】 解：全集U= 1，2，3，4，5 ，集合 A= 1， 2，3， B=3，4，5 ， ?UB=1，2 ， 则 A ?UB= 1，2， 故选： C 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2已知实数x， y 满足 ，则 z=xy（） A最小值为1，不存在最大值 B最小值为2，不存在最大值 C最大值为1，不存在最小值D最大值为2，不存在最小值 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=x y，得 y=x z 表示，斜率为1 纵截距为 z 的一组平行直线， 平移直线y=xz，当直线 y=xz 经过点 A 时，即和直线AD ：x y=1 平行时，直线y=x z 的截距最大，此时z最小，最小为 1， 无最大值， 故选： A 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键， 注意利用数形结合来解决 3直线 l1： mx+y1=0 与直线 l2：（ m2）x+my1=0，则 “ m=1” 是“ l1l2” 的（） A充分不必要条件B充要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 【分析】 对 m 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出 【解答】 解：当 m=0 时，两条直线分别化为：y1=0，2x+1=0，此时两条直线相互垂直， m=0 当 m0 时，若 l1l2，则 m（）= 1，解得 m=1 综上可得： m=0，或 m=1， 故“ m=1” 是“ l1 l 2” 的充分不必要条件， 故选： A 【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 4已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（） A4 BC8 D 【分析】 由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积 公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥， 底面是一个矩形：两条边分别是4、2，且四棱锥的高是2， 几何体的体积V=， 故选： B 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空 间想象能力 5设集合S= A0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 ，在 S 上定义运算为： Ai A j=Ak，其中 k 为 i+j 被 4 除 的余数， i，j=0，1，2，3若（ A2A3） Am=A0，则 m 的值为（） A0 B1 C2 D3 【分析】 根据新定义进行推理计算即可 【解答】 解：2+3=5，5除 4的余数为1， A2A3=A1， 则 A1Am=A 0，则 1+m 是 4 的倍数， 则 m=3， 故选： D 【点评】 本题主要考查推理的应用，根据新定义是解决本题的关键比较基础 6点 P 到图形 C 上所有点的距离的最小值称为点P 到图形 C 的距离， 那么平面内到定圆 C 的距离与到圆C 外的定点 A 的距离相等的点的轨迹是（） A射线 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 【分析】 根据题意可知 | PC| r=| PA| ，即 P到 C 与 A 的距离之差为常数，故而 P在双曲线 上运动 【解答】 解：设圆C 的半径为r，由题意可知P 到圆 C 的距离为 | PC| r， | PC| r=| PA| ，即 | PC| | PA| =r P 点轨迹为以A，C 为焦点的双曲线靠近A 点的一只 故选： C 【点评】 本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题， 7数列 an是递增数列，且满足 an+1=f（an）， a1（ 0，1），则 f（x）不可能是（） Af（x） =Bf（x）=2 x1 C f（x）= Df（x）=log2（x+1） 【分析】 A由 a1（ 0，1），可得an，即可判断出数列 an 的单调性； B由 a1（ 0， 1），不妨取 a1= ，则 a2= 1= 1 ，即可判断出数列 a n的单 调性； C： f （x） =， 令 2xx20， 可得得 0x 2 由 f （x） = =， 利用二次函数的单调性及其a1（ 0，1），即可判断出数列 an的单调性； D利用几何画板画出图象y=log2（x+1）， y=x ，可知：在 x（ 0，1）时， log2（x+1） x，即可判断出数列 an的单调性 【解答】 解：对于A a1（ 0，1），an，可得数列 an 是递增数列； 对于 B a1（ 0，1），不妨取 a1= ，则 a2= 1= 1 ，因此数列 an不是递 增数列； 对于 C： f （x） = ， 令 2x x20， 解得 0x2 由 f （x） = =， 可知：当0x 1 时，函数 f（x）单调递增；当1 x2 时，函数f（x）单调递减a1 （ 0，1），数列 an 是递增数列； 对于 D利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在 x（0，1）时，log2（x+1） x， an+1=log2（an+1） an，因此数列 an是递增数列 故选： B 【点评】 本题考查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档 题 8 棱长为 2 的正方形ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，点 P， Q 分别为面 A1B1C1D1 和线段 B1C 上的动点，则 PEQ 周长的最小值为（） A2 B C D2 【分析】 由题意， PEQ 周长取得最小值时，P 在 B1C1上，在平面B1C1CB 上，设 E 关于 B1C 的对称点为M ，关于 B1C1的对称点为 N，求出 MN ，即可得出结论 【解答】 解：由题意，PEQ 周长取得最小值时，P 在 B1C1上， 在平面 B1C1CB 上，设 E 关于 B1C 的对称点为 M，关于 B1C1的对称点为 N，则 EM=2EN= ，MEN=135° ， MN= = 故选： B 【点评】 本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能 力，属于中档题 二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分） 9 以椭圆=1 的焦点为顶点， 长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是y=±x， 离心率为 【分析】 由椭圆=1 的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），求出双 曲线的标准方程，由此能求出结果 【解答】 解：椭圆=1 的焦点坐标为（， 0），长轴顶点为（±2，0）， 以椭圆=1 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为： =1， 双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率e= 故答案为：， 【点评】 本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意椭圆、双曲线的性质的合理运用 10函数 的图象如图所示，则 =2， = 【分析】 通过函数的图象，求出T 然后求出 ，利用图象经过（ ，0）求出 的值 【解答】 2，解：由图象可知T= ，则 =2， 函数经过点（ ，1）， 1=2sin（2× + ）， sin =， | | ，故 =； 故答案为2， 【点评】 本题是基础题， 考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应 用 11已知等差数列 a n的公差为 3，且 a3 是 a 1 和 a 4的等比中项，则通项 an= 3n+15， 数列 an 的前 n 项和 Sn的最大值为30 【分析】 由题意可得（ a16）2=a1（a16），解之可得a1，代入通项公式得到an=3n+15， 再判断数列 an的前 n 项和 Sn的最大值的n 的情况，即可求出， 【解答】 解：由题意可得（a16） 2=a 1（a19）， 解得 a1 =12， an=12+（n1）×（ 3） =3n+15， a n=3n+150，解得 n5， S5=5×12+ =30， 故答案为： 3n+15，30 【点评】 本题考查等差数列的前n 项和公式和等比中项的定义，属基础题 12设奇函数f（x）= ，则 a+c 的值为0，不等式f（x） f（ x）在 x ， 上的解集为 【分析】 根据函数奇偶性的定义和性质求出a，b，c 的值，利用分类讨论的思想进行求解即 可得到结论 【解答】 解： f（x）是奇函数， f（0）=0， 即 f（0）=acos0sin0+c=a+c=0， 即 a+c=0， 则 f（x）= ， 若 x0，则 x0， 则 f（ x）=acosx+sinxa=cosxbsinxa， 则 a=1，b=，c=1， 即 f（x）=， 若 0x ， 则由 f（x）f（x）得cosxsinx+1cosx+sinx1， 即 cosx+sinx1，即 cos（x）， 0x ，x， 则x，即x ， 若 x0， 则由 f（x） f（ x）得 cosxsinx1 cosx+sinx+1， 即 cosxsinx1，即 cos（ x+）， x0， x+， 则x+，即x0， 综上不等式的解集为， 故答案为： 【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b，c 的值，利用分类 讨论的思想结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键 13若正数a，b 满足 log2a=log5b=lg （a+b），则 的值为1 【分析】 设 log2a=log5b=lg（a+b）=k，可得 a=2k，b=5k，a+b=10k，可得 a+b=ab即可得出 【解答】 解：设 log2a=log5b=lg（a+b）=k， a=2k，b=5 k，a+b=10k， ab=10k， a+b=ab， 则=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 14若存在 x0 1，1 使得不等式 1 000 2124 xxx a成立， 则实数 a 的取值范围是 0， 【分析】 将不等式进行等价转化，利用换元法，结合基本不等式的性质进行转化求解，建立 不等式关系进行求解即可得到结论 【解答】 解：不等式 | 4a2+1| 2等价为2， 即| 2 +a| 2， 即 22+ a2， 即 a22+ 2+a， 设 t=2，当 x0 1， 1 是 t ，2 ， 设 y=t+， 则函数在 ，1 上是减函数，在 1，2上是增函数， 则当 t=1 时，函数取得最小值y=1+1=2， 当 t=2 或 t=，函数取得最大值 y= +2= ， 则 2y， 即 a 2y2+a， 若 a2， a+2 与 2， 没有公共点， 则 a+2 2 或 a2， 即 a0 或 a， 则若 a2， a+2 与 2， 有公共点， 则 0a， 故答案为： 0， 【点评】 本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用不等式求出不等式的范 围，建立不等式关系是解决本题的关键 15如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段 BC，CD上的点，且满足 ，若，则 x+y 的最小值为 【分析】 由题意建立平面直角坐标系，设点M（ 3，a）， N（b，4）， 0a4，0b3； 求得 b=，a=，从而可得+=（x+y1）2，再设 x+y=m，则 x=my；利 用判别式即可求出m 的最小值 【解答】 解：由题意建立如图所示坐标系，如图所示； 设点 M（3，a）， N（ b，4），且 0a4，0b3； =（3，4），=（ 3，a），=（b，4）； 又=x+y， （ 3，4）=x（3，a）+y（b，4）， 即， b=， a=， +=+=+=1， 即+=（x+y1）2， 设 x+y=m，则 x=my； 则+=（m1） 2， 即 25y218my+9m2144（m1）2=0， 故 =（18m） 24×25×（ 9m2144（m1）2） 0， 即 24m250m+250， 解得， m或 m（舍去）； x+y 的最小值 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的思想与转化思想的应用问题， 是较难的题目 三、解答题（本大题共5 小题，共74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA= （）求sinC 的值； （II）设 D 为 AC 的中点，若ABC 的面积为8，求 BD 的长 【分析】 （1）利用向量的数量积和正玄定理得出sinBcosA=sinAcosB ，根据三角公式得出 A=B ，根据诱导公式求解即可 （2）利用面积公式，以及余弦定理求解即可 【解答】 解：在 ABC 中，=， cbcosA=cacosB， 即 bcosA=acosB， sinBcosA=sinAcosB ， sin（AB）=0， A=B ， sinA= sinC=sin （ 2A）=sin（2A）=2sinAcosA=2 ××= （2）设 AC=BC=m ， ABC 的面积为8， ×=， m=3，cosC=， 根据余弦定理得出： BD 2=m2 ×=m2= BD= 【点评】 本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要 注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范 围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具 17如图，矩形ABCD 中， = （ 1），将其沿AC 翻折，使点 D 到达点 E 的位置， 且二面角CAB E 为直二面角 （1）求证：平面ACE平面 BCE； （2）设 F 是 BE 的中点，二面角EACF 的平面角的大小为 ，当 2，3 时，求 cos 的取值范围 【分析】 （）推导出 ABBC，BCAE，从而AE平面BCE，由此能证明平面ACE 平面 BCE （）以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出 cos的取值范围 【解答】 （本题 15 分） 证明：（）二面角CAB E 为直二面角， ABBC， BCAE 平面， BCAE （2 分） AECE，BC CE=C， AE平面 BCE （4 分） AE? 平面 ACE，平面ACE 平面 BCE （6 分） 解：（）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度， 建立如图空间直角坐标系， 则 AB= （8 分） 则 设平面 EAC 的法向量为 则，取 x=1，则 （10 分） 同理设平面FAC 的法向量为 （ 12 分） （14 分） （15 分） 【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解 题时要认真审题，注意向量法的合理运用 18已知二次函数f（x）=ax 2+bx+c（a0）的图象过点（ 1，0） （1）记函数f（x）在 0，2 上的最大值为M，若 M1，求 a 的最大值； （2）若对任意的x1 0， 2 ，存在 x2 0，2 ，使得 f（x1） +f（x2）a，求的取值 范围 【分析】 （1）方法一：由f（x）是开口向上的抛物线，可得：M=max f（0）， f（2）， 即，两式相加可得a 的最大值； 方法二：=，结合 M1，可得 a 的最大值 （2）存在，使，结合二次函数的图象和性 质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案 【解答】 解：（ 1） f（x）过点（ 1， 0）， f（1）=a+b+c=0， （1 分） c=ab，f（x）=ax 2+bxab f（x）是开口向上的抛物线， M=max f（0）， f（ 2） （3 分） （ 5 分） 两式相加得a1，即 a 的最大值为1 （6 分） 解法二：由 解得：=1 （ 6 分） （2）由题意，存在，使， （8 分） a+b+c=0 f（x）=ax2+bxab 其对称轴为 当，即时， f（x）在 0，2 上单调递增， 0 均符合题意 （10 分） 当，即时， f（x）在 0， 上递减，在 ，2 上递增且 f（0） f（2）， 由得：，符合题意 （12 分） 当 ，即时， f（x）在 0， 上递减，在 ，2 上递增且 f（0） f（2）， 由得： 符合题意 （13 分） 当 即时， f（x）在 0，2 上单调递减， ， 均符合题意 （14 分） 综上所述：或 （ 15 分） 【点评】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是 解答的关键 19已知椭圆 =1（ab0）的两个焦点为F1 ，F 2，焦距为 2，设点 P（a，b）满足 PF1F2是等腰三角形 （1）求该椭圆方程； （2）过 x 轴上的一点M （m，0）作一条斜率为k 的直线 l，与椭圆交于点A，B 两点，问 是否存在常数k，使得 | MA | 2+| MB |2 的值与 m 无关？若存在， 求出这个 k 的值；若不存在， 请说明理由 【分析】 （）根据题意，有，由此能求出椭圆方程 （）联立方程组，得：（ 3+4k2 ）x 28k2mx+4m212=0，由此利用根的判 别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件推导出| MA | 2+| MB |2=7 与 m 无关符合题意 【解答】 （本题 15分） 解：（）椭圆=1（ab0）的两个焦点为F1 ，F 2，焦距为 2， 设点 P（a，b）满足 PF1F2是等腰三角形， 根据题意，有 （4 分） 解得：， 故所求椭圆方程为 （6 分） （）联立方程：，整理得：（3+4k2 ）x 28k2mx+4m212=0 在 0 的情况下有： （9 分） 令 24k2+18=0，得，即 （13 分） 此时 | MA | 2+| MB |2=7 与 m 无关符合题意， （15 分） 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与证明，是中档题， 解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用 20设正项数列 an满足： a1=1，且对任意的n，mN+，nm，均有 a 2 n+ma 2 nm=n 2 m 2 成立 （1）求 a2，a3的值，并求 an 的通项公式； （2）（）比较a2n1+a2n+1与 2a2n的大小； （）证明： a2+a4+ +a2n 【分析】 （1）先令 m=1，求得 a3，n=m+2，求得 a2，分类讨论n 为奇数或偶数，分别求得 通项公式， （2）a2n1+a2n+1与 2a2n的通项公式，化简、比较大小，采用分析法，写出所以偶数项和奇 数项整理即可 【解答】 解：（ 1）令 m=1，得，从而，所以， 令 n=m+2，得 从而，又=， ， 从而， 当 n 为偶数时，； 令 n=m+1， 可知当 n 为奇数时， 综上可得（nN+） （2）（ i）a2n1+a2n+12a2n = =0， 所以 a2n1+a2n+12a2n （ii）即证明 由（ i）得， ， 将上述的n 个式子相加，得 所以， 所以，只需证， 事实上，当k=0，1，2， ，n 时， +1=0， （，1）， 从而