2019年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(理科)含答案解析.pdf

2017 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知复数 z=1+2i，则=（） A5 B5+4i C3 D34i 2已知集合 A=x| x 22x30 ，B=x| x| 2则 AB=（ ） Ax| 2x2 B x| 2x3C x| 1x3D x| 1x2 3祖暅原理： “ 幂势既同，则积不容异 ” 它是中国古代一个涉及几何体体积的 问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体， p：A、B 的体积不相等， q：A、B 在等高处的截面 积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 若点 P为抛物线 y=2x 2 上的动点，F 为抛物线的焦点，则| PF| 的最小值为（） A2 BCD 5已知数列 an 满足 an+1an=2，a1=5，则| a1|+| a2|+ +| a6| =（） A9 B15 C18 D30 6 平面内的动点（x， y） 满足约束条件， 则 z=2x+y 的取值范围是（） A（， +） B（， 4 C 4，+）D 2，2 7某几何体的三视图如图所示，则其体积为（） A4 B8 CD 8将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率大 于或等于，则 n 的最小值为（） A4 B5 C6 D7 9若方程在 上有两个不相等的实数解x1 ，x 2，则 x1 +x 2 =（ ） A B C D 10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（） ABCD 11已知向量，（m0，n0），若 m+n 1，2 ，则的取值范围是（） ABCD 12对函数 f（x）=，若? a，b，cR，f（a），f（b），f（c）都为某 个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是（） A（，6）B（，6）C（，5）D（，5） 二、填空题：本题包括4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡 中的横线上 13现将 5 张连号的电影票分给甲乙等5 个人，每人一张， 且甲乙分得的电影票 连号，则共有种不同的分法（用数字作答） 14函数 f（x）=e x?sinx在点（ 0，f（0）处的切线方程是 15 等比数列 an 中各项均为正数， Sn是其前 n 项和，且满足 2S3=8a1 +3a 2 ， a 4=16， 则 S4= 16过双曲线=1（ab0）的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与 两渐近线相交于 A，B 两点，若，则双曲线的离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）已知点 P（，1），Q（cosx，sinx），O 为坐标原点，函数 f（x） =? （）求函数 f（x）的解析式及 f（x）的最小正周期； （）若 A 为ABC 的内角， f（A）=4，BC=3，求 ABC 周长的最大值 18 （12 分）某手机厂商推出一款6 寸大屏手机，现对 500 名该手机使用者 （200 名女性， 300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户 分 值 区 间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频 数 2040805010 男性用户分 值 区 间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频 数 4575906030 （） 完成下列频率分布直方图， 并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不 计算具体值，给出结论即可）； （）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，在这20 名用户中，从评分不低于80 分的用户中任意抽取3 名用户，求 3 名用户中评分 小于 90 分的人数的分布列和期望 19（12 分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面 ABCD，AD=AP ，E 为棱 PD 中点 （1）求证： PD平面 ABE； （2）若 F 为 AB 中点，试确定 的值，使二面角PFM B 的余弦值为 20（12 分）已知 F1，F2分别是长轴长为 2的椭圆 C： +=1（ab0） 的左右焦点， A1，A2是椭圆 C 的左右顶点， P为椭圆上异于 A1，A2的一个动点， O为坐标原点，点 M 为线段 PA2的中点， 且直线 PA2与 OM 的斜率之积恒为 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂 直平分线与 x 轴交于点 N，点 N 横坐标的取值范围是（，0），求线段 AB 长的取值范围 21（12 分）已知函数 （1）求 f（x）的极值； （2）当 0xe 时，求证： f（e+x）f（ex）； （3）设函数 f（x）图象与直线 y=m 的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2），中点横坐标为x0，证明： f'（x0）0 请考生在 22、23 两题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题记分 选 修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22（10 分）已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方 程为（t 为参数） （1）求曲线 C1的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若曲线 C2的参数方程为 （为参数），曲线 C1上点 P 的极角为 ，Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ的中点 M 到直线 l 距离的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，b0，函数 f（x）=| x+a|+| 2xb| 的最小值为 1 （1）求证： 2a+b=2； （2）若 a+2btab恒成立，求实数 t 的最大值 2017 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知复数 z=1+2i，则=（） A5 B5+4i C3 D34i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知直接利用求解 【解答】 解： z=1+2i，=| z| 2= 故选： A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念， 是基础题 2已知集合 A=x| x 22x30 ，B=x| x| 2则 AB=（ ） Ax| 2x2 B x| 2x3C x| 1x3D x| 1x2 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式得出集合 A、B，根据交集的定义写出AB 【解答】 解：集合 A=x|x22x30=x| 1x3， B= x| x| 2= x| 2x2 故选： D 【点评】 本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题 3祖暅原理： “ 幂势既同，则积不容异 ” 它是中国古代一个涉及几何体体积的 问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体， p：A、B 的体积不相等， q：A、B 在等高处的截面 积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 p? q，反之不成立即可得出 【解答】 解：由 p? q，反之不成立 p 是 q 的充分不必要条件 故选： A 【点评】本题考查了祖暅原理、 简易逻辑的判定方法， 考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 4 若点 P为抛物线 y=2x 2 上的动点，F 为抛物线的焦点，则| PF| 的最小值为（） A2 B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】根据题意，设 P到准线的距离为 d，则有| PF| =d，将抛物线的方程为标 准方程，求出其准线方程，分析可得d 的最小值，即可得答案 【解答】解：根据题意， 抛物线 y=2x 2 上，设 P 到准线的距离为 d，则有| PF| =d， 抛物线的方程为 y=2x 2，即 x2= y， 其准线方程为： y=， 分析可得：当 P 在抛物线的顶点时， d 有最小值， 即| PF| 的最小值为， 故选： D 【点评】 本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程 5已知数列 an 满足 an+1 a n=2，a1=5，则| a1|+| a2|+ +| a6| =（） A9 B15 C18 D30 【考点】 数列的求和 【分析】 利用等差数列的通项公式可得an及其数列 an 的前 n 项和 Sn令 an 0，解得 n，分类讨论即可得出 【解答】 解： an+1an=2，a1=5，数列 an 是公差为 2 的等差数列 a n=5+2（n1）=2n7 数列 an的前 n 项和 Sn=n26n 令 an =2n70，解得 n3 时，| an| =an n4 时，| an | =a n 则| a1|+| a2|+ +| a6| =a1a2a 3 +a 4 +a 5 +a 6=S62S3=6 26×62（326×3） =18 故选： C 【点评】本题考查了分类讨论方法、 等差数列的通项公式与求和公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 6 平面内的动点（x， y） 满足约束条件， 则 z=2x+y 的取值范围是（） A（， +） B（， 4 C 4，+）D 2，2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标， 然后利用角点法， 求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范 围 【解答】 解： 满足约束条件的平面区域如下图所示： 由图可知 解得 A（1，2） 当 x=1，y=2 时，目标函数 z=2x+y 有最大值 4 故目标函数 z=2x+y 的值域为（， 4 故选： B 【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件 的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键 7某几何体的三视图如图所示，则其体积为（） A4 B8 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据， 求出几何体的 体积 【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2 的正方形，一 条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2， 所以几何体的体积是：= 故选 D 【点评】 本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力， 空间想象能力 8将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率大 于或等于，则 n 的最小值为（） A4 B5 C6 D7 【考点】 互斥事件的概率加法公式 【分析】 由题意， 1，即可求出 n 的最小值 【解答】 解：由题意， 1，n4， n 的最小值为 4， 故选 A 【点评】 本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础 9若方程在 上有两个不相等的实数解x1 ，x 2，则 x1 +x 2 =（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的对称性 【 分 析 】 由 题 意 可 得 2x+ ， ， 根 据 题 意 可 得 =，由此求得 x1+x2 值 【解答】 解： x 0， ，2x+， ， 方程在上有两个不相等的实数解x1 ，x 2， =， 则 x1+x2= ， 故选： C 【点评】 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题 10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m 的值，当 m=时， 满足条件 | ab| d，输出 m 的值为 【解答】 解：输入 a=1，b=2，m=， f（1）=10，f（m）=f（0，f（1）f（m）0， a=1，b=，| 1 | = ， m=，f（1）=1，f（m）=f（）0，f（1）f（m）0， a=，b=，| | = ，m=， f（a）=f（）0，f（m）=f（）0，f（a）f（m）0， a=，b=，| =0.2， 退出循环，输出 m=， 故选： A 【点评】 本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S， k的值是解题的关键，属于基础题 11已知向量， ，（m0，n0），若 m+n 1，2 ，则的取值范围是（） ABCD 【考点】 简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算 【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得= （3m+n，m3n） ， 再由向量模的计算公式可得=，可以令 t=，将 m+n 1，2 的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点 与原点（ 0，0）的距离，进而可得t 的取值范围，又由=t，分析可得答 案 【解答】 解：根据题意，向量， =（3m+n，m3n）， 则=， 令 t= ，则= t， 而 m+n 1，2 ，即 1m+n2，在直角坐标系表示如图， t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离， 分析可得：t2， 又由=t， 故 2 ； 故选： B 【点评】本题考查简单线性规划问题， 涉及向量的模的计算， 关键是求出的 表达式 12对函数 f（x）=，若? a，b，cR，f（a），f（b），f（c）都为某 个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是（） A（，6） B（，6） C（，5） D（，5） 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 当 m=2 时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m 2 时，只要 2（1+）m1 即可，当 m2 时，只要 1+ 2（m1）即 可，由此能求出结果，综合可得结论 【解答】 解：函数 f（x）=，若? a，b，cR，f（a），f（b），f（c） 都为某个三角形的三边长， 当 m=2 时，f（x）=1， 此时 f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立 当 m2 时，f（x） 1+，m1 ， 只要 2（1+）m1 即可，解得 2m5 当 m2 时，f（x） m1，1+ ， 只要 1+2（m1）即可，解得m2， 综上，实数 m 的取值范围（，5）， 故选： C 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 分类讨论思想的合理运用，属于中档题 二、填空题：本题包括4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡 中的横线上 13现将 5 张连号的电影票分给甲乙等5 个人，每人一张， 且甲乙分得的电影票 连号，则共有48种不同的分法（用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】甲乙分得的电影票连号， 有 4×2=8 种情况，其余 3 人，有=6 种情况， 即可得出结论 【解答】 解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8 种情况，其余3 人，有=6 种情况， 共有 8×6=48 种不同的分法 故答案为 48 【点评】 本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题 14函数 f（x）=e x?sinx在点（ 0，f（0）处的切线方程是 y=x 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出 f （x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导 数求出在 x=0 处的导函数值， 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而 问题解决 【解答】 解： f（x）=ex?sinx，f （x）=e x（sinx+cosx），（ 2 分） f （0）=1，f（0）=0， 函数 f（x）的图象在点 A（0，0）处的切线方程为 y0=1×（x0）， 即 y=x（4 分） 故答案为： y=x 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、 利用导数研究曲线上某 点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 15 等比数列 an 中各项均为正数， Sn是其前 n 项和，且满足 2S3=8a1 +3a 2 ， a 4=16， 则 S4= 30 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 an 的公比为 q0，2S3=8a1+3a2，a4=16， 2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16， 解得 a1 =q=2 则 S4=30 故答案为： 30 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 16过双曲线=1（ab0）的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与 两渐近线相交于 A，B 两点，若，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A 为 BF 的中点，由垂直 平分线的性质和等腰三角形的性质，可得RtOAB 中， AOB=，求得渐近 线的斜率，运用离心率公式即可得到； 方法二、设过左焦点F 作的垂线方程为，联立渐近线方程，求 得交点 A，B 的纵坐标，由条件可得A 为 BF 的中点，进而得到a，b 的关系， 可得离心率 【解答】 解法一：由，可知 A 为 BF 的中点，由条件可得 ， 则 RtOAB 中，AOB=， 渐近线 OB 的斜率 k=tan=， 即离心率 e= 解法二：设过左焦点F 作的垂线方程为 联立，解得， 联立，解得， 又，yB=2yA3b 2=a2， 所以离心率 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法， 解题时要认真审 题，仔细解答，注意向量共线的合理运用 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）（ 2017? 沈阳二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O 为 坐标原点，函数 f（x）=? （）求函数 f（x）的解析式及 f（x）的最小正周期； （）若 A 为ABC 的内角， f（A）=4，BC=3，求 ABC 周长的最大值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （） 利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式， 然后求解 f（x）的最小正周期； （）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc 的范围， 然后利用基本不等式求解最值 【解答】 解：（ ）f（x）=? =（ ，1）? （cosx，1sinx） = cosxsinx+4=2sin（x+）+4， f（x）的最小正周期 T= ； （）f（A）=4，A=， 又BC=3， 9=（b+c） 2bc bc， ， b+c2，当且仅当 b=c 取等号， 三角形周长最大值为3+2 【点评】 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期， 基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力 18（12 分）（ 2017? 沈阳二模）某手机厂商推出一款6 寸大屏手机，现对500 名该手机使用者（ 200 名女性， 300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分 的频数分布表如下： 女性用户 分 值 区 间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频 数 2040805010 男性用户分 值 区 间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频 数 4575906030 （） 完成下列频率分布直方图， 并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不 计算具体值，给出结论即可）； （）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，在这20 名用户中，从评分不低于80 分的用户中任意抽取3 名用户，求 3 名用户中评分 小于 90 分的人数的分布列和期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】（）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户 的波动小，男性用户的波动大； （）由分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中 评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X， 根据 X 的取值计算对应的概率，求出X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25， 0.05， 其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005， 对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10， 其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01， 直方图如图所示： ， 由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大 （）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于80 分有 6 人， 其中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 3 人， 记评分小于 90 分的人数为 X，则 X 取值为 1，2，3， 且 P （X=1） = ， P （X=2） = ， P （X=3） = ； 所以 X 的分布列为 X123 P X 的数学期望为 EX=1×+2×+3×=2 【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机 变量的分布列及数学期望的问题，是综合题 19（12 分）（2017? 沈阳二模）如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为 正方形， PA底面 ABCD ，AD=AP ，E 为棱 PD 中点 （1）求证： PD平面 ABE； （2）若 F 为 AB 中点，试确定 的值，使二面角PFM B 的余弦值为 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （I）证明 AB平面 PAD，推出 ABPD，AEPD，AEAB=A ，即 可证明 PD平面 ABE （II） 以 A 为原点，以为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 ABDP，求出相关点的坐标，平面PFM 的法向量，平面 BFM 的法向量，利用 空间向量的数量积求解即可 【解答】 解：（ I）证明： PA底面 ABCD ，AB? 底面 ABCD ，PAAB， 又底面 ABCD 为矩形， ABAD，PAAD=A ，PA? 平面 PAD，AD? 平面 PAD， AB平面 PAD，又 PD? 平面 PAD，ABPD，AD=AP ，E 为 PD 中点， AEPD，AEAB=A ，AE? 平面 ABE，AB? 平面 ABE，PD平面 ABE （II） 以 A 为原点，以为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 ABDP，令| AB| =2， 则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1）， F（1，0，0）， ，M （2 ，2 ，22 ） 设平面 PFM 的法向量，即， 设平面 BFM 的法向量， 即， ，解得 【点评】 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力 20（12 分）（2017?沈阳二模）已知 F1 ，F 2分别是长轴长为 2的椭圆 C： +=1（ab0）的左右焦点， A1，A2是椭圆 C 的左右顶点， P 为椭圆上异于 A1 ，A 2的一个动点， O 为坐标原点，点M 为线段 PA2的中点，且直线PA2与 OM 的斜率之积恒为 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂 直平分线与 x 轴交于点 N，点 N 横坐标的取值范围是（，0），求线段 AB 长的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （）利用椭圆 Q的长轴长为2 ，求出 a= ，设 P（x0，y0），通 过直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为，化简求出 b，即可得到椭圆方程； （）将直线方程代入椭圆方程， 由此利用韦达定理、 中点坐标公式、 直线方程、 弦长公式，能求出线段AB 长的取值范围 【解答】 解：（ ）由题意可知 2a=2，则 a=，设 P（x0，y0）， 直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为，×=， +=1， b=1， 椭圆 C 的方程； （）设直线 l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与椭圆方程：，得：（ 2k 2+1）x2 +4k 2x+2k22=0， 则 x1+x2 = ，x 1x2=， 则 y1+y2=k（x1+x2+2）=， AB 中点 Q（，）， QN 直线方程为： y=（x+）= x ， N（，0），由已知得0， 02k21， | AB| =?=? =?=（1+）， 12k2+11， | AB| （ ，2 ）， 线段 AB 长的取值范围（ ，2 ） 【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆 的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解 题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中 档题 21（12 分）（ 2017? 沈阳二模）已知函数 （1）求 f（x）的极值； （2）当 0xe 时，求证： f（e+x）f（ex）； （3）设函数 f（x）图象与直线 y=m 的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2），中点横坐标为x0，证明： f'（x0）0 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可； （2）问题转化为证明（ ex）ln（e+x）（ e+x）ln（ex），设 F（x）=（e x）ln（e+x）（ e+x）ln（ex），根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ 1）f （x）=，f（x）的定义域是（ 0，+）， x（0，e）时， f （x）0，f（x）单调递增； x（e，+）时， f'（x）0，f（x）单调递减 当 x=e 时，f（x）取极大值为，无极小值 （2）要证 f（e+x）f（ex），即证：， 只需证明：（ ex）ln（e+x）（ e+x）ln（ex） 设 F（x）=（ex）ln（e+x）（ e+x）ln（ex）， ， F（x）F（0）=0， 故（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex）， 即 f（e+x）f（ex）， （3）证明：不妨设 x1x2，由（ 1）知 0x1ex2，0ex1e， 由（2）得 f e+（ex1） f e（ex1） =f（x1）=f（x2）， 又 2ex1e，x2e，且 f（x）在（ e，+）上单调递减， 2ex1x2，即 x1+x22e， ，f'（x0）0 【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算， 用导数来 研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力 请考生在 22、23 两题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题记分 选 修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22（10 分）（2017? 长春三模）已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 =4cos， 直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C1的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若曲线 C2的参数方程为 （为参数），曲线 C1上点 P 的极角为 ，Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ的中点 M 到直线 l 距离的最大值 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】（1）曲线 C1的极坐标方程为 =4cos，即 2=4cos ，可得直角坐标方 程直线 l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 可得普通方程 （2），直角坐标为（2，2）， ，利用点到直线的距离公式及其三 角函数的单调性可得最大值 【解答】 解：（1）曲线C1的极坐标方程为 =4cos ，即 2=4cos ， 可得直角坐标方程： 直线 l 的参数方程为（t 为参数）， 消去参数 t 可得普通方程： x+2y3=0 （2），直角坐标为（2，2）， ， M 到 l 的距离， 从而最大值为 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、 点 到直线的距离公式、 三角函数的单调性， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档 题 选修 4-5：不等式选讲 23（2017? 长春三模）已知 a0，b0，函数 f（x）=| x+a|+| 2xb| 的最小值 为 1 （1）求证： 2a+b=2； （2）若 a+2btab恒成立，求实数 t 的最大值 【考点】 函数恒成立问题；绝对值不等式的解法 【分析】 （1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到 x=时取等 号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小 值，证明即可； （2）法一，二：问题转化为t 恒成立，根据基本不等式的性质求出 的最小值，从而求出t 的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可 【解答】 解：（ 1）法一： f（x）=| x+a|+| 2xb| =| x+a|+| x|+| x| ， | x+a|+| x| | （x+a）（ x）| =a+且| x| 0， f（x）a+，当 x=时取等号，即 f（x）的最小值为 a+， a+=1，2a+b=2； 法二： a，f（x）=| x+a|+| 2xb| =， 显然 f（x）在（， 上单调递减， f（x）在，+）上单调递增， f（x）的最小值为 f（）=a+ ， a+=1，2a+b=2 （2）方法一： a+2btab 恒成立，t 恒成立， =+ =（ +）（2a+b ）? =（1+4+）， 当 a=b=时， 取得最小值， t，即实数 t 的最大值为； 方法二： a+2btab 恒成立， t 恒成立， t=+ 恒成立， +=+=， t，即实数 t 的最大值为； 方法三： a+2btab 恒成立， a+2（2a）ta（2a）恒成立， 2ta 2（3+2t）a+40 恒成立， （3+2t） 23260， t，实数 t 的最大值为 【点评】 本题考查了绝对值不等式问题， 考查绝对值的性质以及二次函数的性质， 考查转化思想，是一道中档题