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睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 指数与指数函数 【知识梳理】 一、指数运算 1、根式 （1）概念：若 n xa（Nnn且1） ，则称 x 为 a 的 n 次方根， “ n ” 是方根的记号 （2）a 的 n 次方根的性质： 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是0；正数的偶次方 根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是0，负数没有偶次方根 n n aa； n 为奇数， nn a=a；n 为偶数， nn a=|a|= .0, ,0, aa aa 2、有理数指数幂 （1）分数指数幂的意义： )0(1 0 Raaa且（注： 0 0无意义）； ) 1,0( * nNnmaaa nm n m ； )1,0( 11 * nNnma a a a nm n m n m （2）指数幂的运算性质 (0, ,) rsrs aaaar sR； (0, ,) rsrs aaaar sR； (0, ,) s rrs aaar sR； ( ,0,) r rr ababa brR 二、指数函数 1、指数函数的概念：一般地，函数) 1,0(aaay x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 注意： 指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 2、指数函数)1,0(aaay x 的图象与性质 图象 01 性质 定义域 ：R 值域为： (0,+ ) 过定点： (0,1)，即 x=0 时， y=1 当0x时，10y； 当 0x 时，1y 当0x时，1y； 当 0x 时，10y 在 R 上单调递减 在 R 上单调递增 【典型例题】 题型一、根式的化简、指数幂的运算 例题 1：化简： （1） 7 7 )2(；（2） 4 4 )3(；（3） 4 4 )2(a 【解析】（ 1）2)2( 7 7 ；（2）3)3( 4 4 ； （ 3） 4 4 )2(a= .2,2 ,2,2 aa aa 【点评】不注意n的奇偶性对式子 nn a的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准， 记熟，会用，活用 本题易错的是第（3）题，往往忽视a 与 2 大小的讨论，造成错解 例题 2：计算： （1） 10 1 1 23 0.25610 23 2 3 ； （2）33· 3 3· 6 3 【解析】（ 1）原式382032101 2 3 4； （ 2）33· 3 3· 6 3= 3· 3 2 1 · 3 3 1 · 3 6 1 =3 6 1 3 1 2 1 1 =3 2=9 【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂， 再由幂的运算性质来运算 变式 1：化简： （1）) 3 1 ()3)( 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 bababa； （2） 14623 )(yxyx)0,0(yx； x O y=1 (0,1) x O y=1 (0,1) y y 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） （3）52674 364 2 【解析】（ 1）原式 =) 3 1 (÷3)( 6 1 2 1 3 2 a 6 5 3 1 2 1 baab99 0 ； （ 2）原式 2 11 2 1 6 22 ) 2 1 (1) 2 1 (4 6 )6( 3 1 yyxyxyx； （ 3）原式22223223)22()32()23( 222 【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式 变式 2：若103 x ，104 y ，则 2 10 xy _ 【解析】 4 9 431010101010 2 2 22yxyxyx 【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将10 x 、10 y 看作一个整体，再进行代数运 算 题型二、指数函数概念、定义域和值域 例题 3：下列函数中属于指数函数的有（）个 （1） x y32； （ 2） 1 3 x y； （3） x y)3(； （4） x y) 3 1 (； （5） 2 3xy； （6） x y4； （7） x ay)12( A2 B3 C4 D5 【解析】选A只有（ 4） （6）属于指数函数)1,0(aaay x 的形式 【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照)1,0(aaay x 的形式来判断，特别要注意函数中是否有表 明a的取值范围 例题 4：求下列函数的定义域和值域： （1）y2 4 1 x ；（2）y( 3 2 ) |x ；（3）y=a x-1 (a0， a 1) 【解析】（ 1）令 x-40 ，则 x4 ，所以函数y=2 4 1 x 的定义域是xRx4 ， 又因为 4 1 x 0 ，所以 2 4 1 x 1 ，即函数y=2 4 1 x 的值域是 y|y0 且 y1 （ 2）因为 -|x| 0，所以只有x=0. 因此函数y=( 3 2 ) |x 的定义域是 xx=0 而 y=( 3 2 ) |x =( 3 2 ) 0=1，即函数 y= ( 3 2 ) |x 的值域是 yy=1 （ 3）定义域为R，因为 x ay的值域为),0(，所以1 x ay的值域为), 1( 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 【点评】 由于指数函数y=a x,(a0 且 a 1) 的定义域是 R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数 函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性 例题 5：如图，设a,b,c,d0，且不等于1，y=a x，y=bx，y=cx，y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d 的大小顺序【】 A、a1 时，指数函数底数越大，图象越靠近y 轴；当 05(+aaay x 恒过定点 _ 【解析】因为y=ax过点（ 0，1） ，所以当x=0 时， y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6） 【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点 变式 4：已知指数函数的图象过点（, 3） ， （1）求(-3)，(1)，(0)fff的值； （2）利用图像比较三个函数值的大小 【解析】（ 1）设指数函数f (x)=ax（a0 且 a1 ）因为图象过点（3, ） ，所以 f (3)=a3= ，即 a= 3 1 ，f (x)=( 3 1 ) x 再把 0,1,3 分别代入 ,得： f (0)= 0=1，f (1)=1= ，f (-3)=-1=1 （2）由图易知f (1)f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用 变式 5：当a0时，函数yaxb和 ax by的图象只可能是（） A B C D 【解析】选项A 中一次函数1,0 ba，指数函数应是减函数，故A 对 选项 B 中一次函数1,0 ba，指数函数应是增函数，故B 错 选项 C 中一次函数1,0 ba，指数函数应是减函数，故C 错 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O y=d x y=c x y=b x y=a x O y x 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 选项 D 中一次函数1,0 ba，指数函数应是增函数，故D 错 故答案选 A 【点评】利用一次函数和指数函数ba,的关系来确定图象，是本题的关键 题型三、解指数式方程、不等式 例题 6：解下列方程： （1）1232 1xx ；（2）12 12 2 xx 【解析】（ 1）23661232 3 1 1232 1 x xxxxx ； （ 2）3401212 212 2 xxxx xx 或 【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解 例题 7：解下列不等式： （1）16 14x ；（2） 14 2 2 1x x 【解析】（ 1） 4 1 01416 14 xx x （ 2） 5 1 14222 2 11414 xxx xxx x 【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解 变式 6：解下列方程： （1）27329 1 xx ； （2）2353 252xx 【解析】（ 1）原方程化为 2 )3( x 6× 3 -x27=0， (3-x3)(3-x9)=0 3 -x3 0，由 3 -x9=0 得 3-x=32，故 x=2 是原方程的解 （ 2）原方程化为0235)3(3 222xx ，0)23)(13( 23xx ， 0)23( 2x ，013 3x 得13 3x ，3x 【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1） ，把 x 3看成未知数x，解得的一元二次方程的 根等于 x 3，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验 题型四、指数函数性质的应用 例题 8：比较下列两个数的大小： （1） 0.70.8 3,3；（2） 0.1-0.1 0.75,0.75； （3） 1.60.6 0.8,1.8；（ 4） 3 2 ) 3 1 (,2 5 3 【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较： 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 对（ 1）因为函数y=3x在 R 上是增函数，0.80.7，所以 30.830.7； 对（ 2）因为函数y=0.75x在 R 上是减函数， 0.1-0.1，所以 0.75-0.10.75 0.1； 对（ 3）由指数函数的性质知1.8 0.61.80=1=0.800.81.6，所以 1.80.60.81.6； 对（ 4）由指数函数的性质知( 3 1 ) 3 2 ( 3 1 ) 0= 1= 202 5 3 ，所以 ( 3 1 ) 3 2 2 5 3 【点评】 首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函数的两个 函数值， 则寻求一个中间量“1” ，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“ 中 间量法 ” 例题 9：求函数 23 2 3 1 2 xx y的单调区间和值域 【解析】令 2231 32() 24 uxxx在 3 (, 2 上递减，在 3 ,) 2 上递增，又 u y 3 1 2为减函数， 所以 23 2 3 1 2 xx y在 3 (, 2 上递增，在 3 ,) 2 上递减，当 2 3 x时， 4 4 1 32 3 1 2y为最大值， 所以 23 2 3 1 2 xx y的值域为32, 0( 4 【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间 变式 7：已知mxf x 13 2 )(是奇函数，求常数m的值 【解析】由)(xf是奇函数，得0)()(xfxf， 即0 13 2 13 2 mm xx ，02 31 32 13 2 m x x x ，02 31 )13(2 m x x ，得1m 【点评】此题中函数的定义域为0x，所以不能利用0)0(f来求解，应利用奇函数的定义)()(xfxf求 出m值 变式 8：判断函数 12 12 )( x x xf的单调性、奇偶性 【解析】任取Rxx 21、 ，使 21 xx， )12)(12( )22(2 12 12 12 12 )()( 21 21 2 2 1 1 21xx xx x x x x xfxf， 因为02 x ，所以0)12)(12( 21xx ， x y2为增函数，所以022 21 xx ，所以0)()( 21 xfxf， 所以)(xf在R上单调递增； 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） )( 21 21 ) 12(2 ) 12(2 12 12 )(xfxf x x xx xx x x ，所以)(xf为奇函数 【点评】 在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断在判断此题函数的奇偶 性时，通过分子分母同乘 x 2化简，从而比较)( xf与)(xf的关系 【方法与技巧总结】 1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为： 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； 有分式的转化为负数指数幂； 底数尽量化为一致； 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算 规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到数形结 合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用 【巩固练习】 1下列各式中正确的是（） A、 44 a=aB、 6 2 )2(= 3 2C、a 0 =1 D、 10 5 ) 12(=) 12(. 2将 3 22化为分数指数幂的形式为（） A、 2 1 2B、 3 1 2C、 2 1 2D、 6 5 2 3函数 f (x) x 21的定义域是（） A、0,B、),0 C、)0,(D、),( 4下列函数中，值域为,0的函数是（） A、 x y 2 3B、12 x yC、12 x yD、 x y 2 2 1 5已知指数函数图像经过点)3 ,1(p，则)3(f 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 6若12 2 a-a= a- 1，则 a 的取值范围为 7 48 37 3) 27 10 2(1.0) 9 7 2( 0 3 2 2 2 1 =_ 8若函数 14 1 )( x axf是奇函数，则a=_ 9已知函数 2 25 1 3 xx y ，求其单调区间及值域 10已知函数( )f x xx 22. （1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：( )f x是区间),0(上的增函数； （2）若325)( x xf，求x的值 【课后作业】 1下列各式中成立的一项（） A、 7 1 77 )(mn m n B、 3 12 4 3)3(C、 4 3 4 33 )(yxyxD、 33 39 2化简 4 2 1 6 1 3 2332 )b(ab baab (a, b 为正数 )的结果是（） 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） A、 a b B、abC、 b a D、a 2b 3设 1.5 0.90.48 123 1 4,8, 2 yyy ，则（） A、 312 yyyB、 213 yyyC、 132 yyyD、 123 yyy 4函数 bx axf)(的图象如图，其中a、b 为常数，则下列结论正确的是（） A、0, 1 baB、0, 1 ba C、0, 10baD、0, 10ba 5函数1 x ye的定义域是（） A、(0,)B、0,)C、(1,)D、1,) 6函数 1)1(2 2 2)( xax xf在区间),5上是增函数，则实数a的取值范围是（） A、6,+)B、),6(C、6,(D、)6,( 7设 5 x=4，5y= 2，则yx2 5= 8 1054 3 2)(0625.0 8 3 3 4 1 6= 9函数)10(3 3 aaay x 且的图象恒过定点_ 10若函数 14 1 )( x axf是奇函数，则a=_ 11已知3,2x，求 11 ( )1 42 xx f x的最小值与最大值 12已知 xx xx xf 1010 1010 )( （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：)(xf是定义域内的增函数； （3）求)(xf的值域 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 【拓展训练】 1化简 11111 3216842 1212121212 ，结果是（） A、 1 1 32 1 12 2 B、 1 1 32 12C、 1 32 12D、 1 32 1 12 2 2若函数(1)(0,1) x yabaa的图像经过第一、三、四象限，则一定有（） A、01ba且B、010ba且 C、010ba且D、11ba且 3设集合 2 |3 ,|1, x SyyxRTy yxxR，则ST是（） A、B、TC、SD、有限集 4 2 ( )1( )(0) 21 x F xf xx 是偶函数，且( )fx不恒等于零，则( )f x（） A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数 5函数)1( | aay x 的图象是（） 6函数164 x y的值域是（） A、0,)B、0,4C、0,4)D、(0, 4) 7 （2010 重庆）函数 41 2 x x fx的图象（） A、关于原点对称B、关于直线y=x 对称C、关于 x 轴对称D、关于 y 轴对称 8方程084172 14xx 的解x 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 9函数)10()(aaaxf x 且在区间2, 1上的最大值比最小值大 2 a ，则a=_ 10若3 2 1 2 1 xx，求 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 的值 11如果函数)10(12 2 aaaay xx 且在1 ,1上的最大值为14，求实数a的值 12已知)1,0)( 1 )( 2 aaaa a a xf xx （1）判断)(xf的奇偶性； （2）讨论)(xf的单调性； （3）当 1 , 1x时，bxf)(恒成立，求b 的取值范围 13 （2006 重庆文）已知定义域为R 的函数 a b xf x x 1 2 2 )(是奇函数 （1）求 a,b 的值； （2）若对任意的Rt，不等式0)2()2( 22 ktfttf恒成立，求k 的取值范围 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 【参考答案】 一、巩固练习答案 1、选D 2、选A原式 2 1 3 1 ) 2 1 1( 22 3、选A由021 x 得12 x ，从而0x 4、选D注意先确定定义域 5、 27 1 设 x ay，把)3 , 1(代入得 3 1 a， 27 1 3 1 )3( 3 f 6、1a1) 1(12 22 aaaa，得01a，所以1a 7、100原式100 48 37 3 16 9 100 3 5 8、 2 1 由0)0(f得 2 1 a 9、解：令4)1(52 22 xxxu，由于 u y 3 1 为减函数，所以 2 25 1 3 xx y 在 1,(单调递增，在 ), 1单调递减，当1x时，y取到最大值 81 1 ，所以值域为 81 1 ,0( 10、 （1）证明：任取Rxx 21、 ，使 21 xx，)22)( 2 1 1 ()22(22)()( 21 21 2121 21 xx xx xxxx xfxf 因为0 21 xx，所以1 2 1 21 xx ，0 2 1 1 21 xx ，又022 21 xx ，所以0)()( 21 xfxf， 所以)(xf在),0(上是增函数 （2）解：由32522 xxx 得 xx 2351)2( 2 ，即0423)2( 2xx ，得42x或12x， 得2x 二、课后作业答案 1、选D 2、选C原式 b a ba ab baba 3 7 3 4 3 2 3 5 3 2 3 7 2 1 23 3 2 3 1 )( 3、选C 8. 19 .02 1 22y， 44. 148.03 2 22y， 5 .1)5.1()1( 3 22y ，由指数函数单调性得132yyy 4、选 D 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 5、选 B 6、 选C u uf2)(是增函数， 所以1)1(2 2 xaxu在),5上单调递增， 所以5 2 )1(2 a ， 解得 6a 7、88 2 4 5 )5( 5 22 2 y x yx 8、5原式5 2 1 1 2 1 2 3 2 5 2 1 1 16 1 8 27 4 25 43 9、)4, 3(根据指数函数 x ay恒过点)1 , 0(可得出 10、 2 1 由0)()(xfxf得0 14 1 14 1 xx aa，02 41 14 a x x ，得 2 1 a 11、解：令 x u 2 1 ，则8, 4 1 u， 4 3 ) 2 1 (1 22 uuuy在 2 1 , 4 1 上单调递减，在8 , 2 1 上单调递增， 当 2 1 u，即1x时， 4 3 )( min xf；当8u，即3x时，57)( max xf 12、 （1）解：)(xf的定义域为R，且)( 1010 1010 )(xfxf xx xx ，)(xf是奇函数 （2）证明：方法一： 110 2 1 110 110 1010 1010 )( 22 2 xx x xx xx xf 令 x2x1，则 ) 110)(110( 1010 2) 110 2 1 () 110 2 1 ()()( 12 12 12 22 22 2212xx xx xx xfxf 当 x2x1时， 10 2 2 x -10 1 2x 0. 又 10 1 2x +10,10 2 2x +10， 故当 x2x1时，)()( 12 xfxf0，即)()( 12 xfxf，所以)(xf是增函数 方法二：考虑复合函数的增减性 由. 110 2 1 1010 1010 )( 2xxx xx xf y1=10 x 为增函数， y2=10 2x+1 为增函数， y 3= 110 2 2x 为减函数， y4= 110 2 2 x 为增函数， 110 2 1)( 2x xf为增函数 xx xx xf 1010 1010 )(在定义域内是增函数 （3）解：方法一：令)(xfy，由, 110 110 2 2 x x y解得 10 2x= y y 1 1 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） 102x 0， 11y，即)(xf的值域为（ -1，1） 方法二：)(xf=1- 110 2 2x ,10 2x 0,102x+1 1. 0 1 时， a210， 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话： 15750199340 （杨老师） ya x 为增函数， y x a为减函数，从而 xx aay为增函数，所以)(xf为增函数 当 00，且 a1时，)(xf在定义域内单调递增 （3）由 (2)知)(xf在 R 上是增函数，在区间1,1上为增函数，)1(f)(xf)1(f， )(xf min )1(f1 1 1 )( 1 2 2 1 2 a a a a aa a a 要使)(xf b 在1,1上恒成立，则只需b 1，故 b 的取值范围是( ， 1 13、解： （ 1）因为)(xf是 R 上的奇函数，所以1, 0 2 1 ,0)0(b a b f解得即 从而有. 2 12 )( 1 a xf x x 又由 aa ff 1 1 2 1 4 12 ) 1() 1(知，解得2a （2）解法一：由（1）知, 12 1 2 1 22 12 )( 1xx x xf 由上式易知)(xf在 R 上为减函数，又因)(xf是奇函数，从而不等式 0)2()2( 22 ktfttf等价于).2()2()2( 222 ktfktfttf 因)(xf是 R 上的减函数，由上式推得.22 22 kttt 即对一切,023 2 kttRt有从而 3 1 ,0124kk解得 解法二：由（1）知, 22 12 )( 1x x xf 又由题设条件得0 22 12 22 12 12 2 12 2 2 2 2 2 kt kt tt tt ， 即0) 12)(22() 12)(22( 2222 212212ktttttkt ， 整理得12 23 2 ktt ，因底数21，故023 2 ktt， 上式对一切Rt均成立，从而判别式. 3 1 ,0124kk解得