两角和与差公式.pdf

精品文档 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( )cos cos sin sin (C( ) cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ (C( ) sin( ) sin_ cos_ cos_ sin_ (S( ) sin( ) sin_ cos_ cos_ sin_ (S( ) tan( ) tan tan 1tan tan (T( ) tan( ) tan tan 1tan tan (T( ) 2二倍角公式 sin 2 2sin_ cos_ ； cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin 2 ； tan 2 2tan 1tan2 . 3在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形 用等如T( ± )可变形为 tan ± tan tan( ± )(1?tan_ tan_ )， tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 1. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)存在实数 ， ，使等式 sin( )sin sin 成立 () (2)在锐角 ABC 中， sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定(×) (3)公式 tan( ) tan tan 1tan tan 可以变形为tan tan tan( )(1tan tan )，且对任意 角 ，都成立 (×) (4)存在实数 ，使 tan 2 2tan .() (5)设 sin 2 sin ， ( 2，) ，则 tan 2 3.() 精品文档 . 1(2013 ·浙江 )已知 R，sin 2cos 10 2 ，则 tan 2等于 () A. 4 3 B.3 4 C 3 4 D 4 3 答案C 解析 sin 2cos 10 2 ， sin2 4sin cos 4cos2 5 2. 化简得： 4sin 2 3cos 2 ， tan 2 sin 2 cos 2 3 4.故选 C. 2若 sin cos sin cos 1 2 ，则 tan 2等于 () A 3 4 B.3 4 C 4 3 D. 4 3 答案B 解析由 sin cos sin cos 1 2，等式左边分子、分母同除 cos 得， tan 1 tan 1 1 2，解得 tan 3， 则 tan 2 2tan 1tan2 3 4. 3(2013 ·课标全国 )设 为第二象限角，若tan 4 1 2，则 sin cos _. 答案 10 5 解析 tan 4 1 2， tan 1 3， 即 3sin cos ， sin2 cos2 1， 且 为第二象限角， 解得 sin 10 10 ，cos 310 10 . sin cos 10 5 . 4(2014 ·课标全国 )函数 f(x)sin(x 2 )2sin cos(x )的最大值为 _ 答案1 解析 f(x)sin(x2 ) 2sin cos(x ) sin(x ) 2sin cos(x ) 精品文档 . sin(x )cos cos(x )sin 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin sin(x ) sin x， f(x)的最大值为1. 题型一三角函数公式的基本应用 例 1(1)设 tan ，tan 是方程 x23x2 0 的两根，则tan( )的值为 () A 3 B 1 C1 D3 (2)若 00， 所以原式 2cos2 22sin 2cos 2 · cos 2sin 2 2cos 2 (cos 2sin 2) · (cos 2sin 2)cos 2 2sin 2 2cos . (2)因为三个内角A，B，C 成等差数列， 且 A BC ，所以 AC2 3 ， AC 2 3，tan AC 2 3， 所以 tan A 2tan C 2 3tan A 2tan C 2 tan A 2 C 2 1tan A 2tan C 2 3tan A 2 tan C 2 3 1tan A 2tan C 2 3tan A 2tan C 2 3. 题型三三角函数公式运用中角的变换 例 3(1)已知 ，均为锐角，且sin 3 5，tan( ) 1 3.则 sin( ) _，cos _. (2)(2013·课标全国 )已知 sin 2 2 3，则 cos 2 4 等于 () A. 1 6 B.1 3 C.1 2 D. 2 3 答案(1) 10 10 9 50 10(2)A 解析(1) ， (0， 2)，从而 2cos( ) 因为 4 5 5 5 4 5， 所以 cos( ) 4 5. 于是 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 精品文档 . 4 5× 5 5 3 5× 25 5 25 25 . (2) cos( 6)sin 4 5 3， 3 2 cos 3 2sin 4 5 3， 3(1 2cos 3 2 sin ) 4 5 3， 3sin( 6 ) 4 5 3， sin( 6 ) 4 5， sin( 7 6 ) sin( 6 ) 4 5. 高考中的三角函数求值、化简问题 典例： (1)若 tan 2 22， 0， 2k 20，cos 0， 精品文档 . cos sin 0， tan 1. 8. 3tan 12°3 4cos212° 2 sin 12° _. 答案 4 3 解析原式 3sin 12° cos 12 ° 3 2 2cos212° 1 sin 12° 23 1 2sin 12 ° 3 2 cos 12 ° cos 12 ° 2cos 24 °sin 12° 2 3sin 48° 2cos 24 °sin 12°cos 12 ° 23sin 48 ° sin 24°cos 24 ° 23sin 48 ° 1 2sin 48 ° 4 3. 9已知 1sin 1sin 1 sin 1 sin 2tan ，试确定使等式成立的的取值集合 解因为 1sin 1sin 1sin 1sin 1 sin 2 cos 2 1sin 2 cos2 |1sin | |cos | |1sin | |cos | 1sin 1sin |cos | 2sin |cos |， 所以 2sin |cos | 2tan 2sin cos . 所以 sin 0 或|cos | cos 0. 故 的取值集合为 | k或 2k 2 2k 或 2k 2k 3 2 ，kZ 10已知 2，且 sin 2cos 2 6 2 . (1)求 cos 的值； (2)若 sin( ) 3 5， 2，求 cos 的值 解(1)因为 sin 2cos 2 6 2 ， 精品文档 . 两边同时平方，得sin 1 2. 又 2 ，所以 cos 3 2 . (2)因为 2 ， 2 ， 所以 2，故 2 2. 又 sin( ) 3 5，得 cos( ) 4 5. cos cos ( ) cos cos( )sin sin( ) 3 2 × 4 5 1 2× 3 5 433 10 . B 组专项能力提升 (时间： 25 分钟 ) 11已知 tan( 4) 1 2，且 2 0，则 2sin2 sin 2 cos 4 等于 () A 25 5 B 35 10 C 3 10 10 D. 25 5 答案A 解析由 tan( 4) tan 1 1tan 1 2，得 tan 1 3. 又 2 0，所以 sin 10 10 . 故 2sin2 sin 2 cos 4 2sin sin cos 2 2 sin cos 2 2sin 25 5 . 12若 0， 2 ，且 sin 2 cos 2 1 4，则 tan 的值等于 ( ) A. 2 2 B. 3 3 C.2 D.3 答案D 解析 0， 2 ，且 sin2 cos 2 1 4， sin2 cos2 sin2 1 4， cos 2 1 4， 精品文档 . cos 1 2 或 1 2(舍去 )， 3， tan 3. 13若 tan 1 2， (0， 4)，则 sin(2 4)_. 答案 72 10 解析因为 sin 2 2sin cos sin2 cos2 2tan tan2 1 4 5， 又由 (0， 4)，得 2 (0， 2)， 所以 cos 2 1sin22 3 5， 所以 sin(2 4) sin 2 cos 4cos 2 sin 4 4 5× 2 2 3 5× 2 2 7 2 10 . 14已知函数f(x)sin x 7 4 cosx3 4 ，xR. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知 cos( ) 4 5，cos( ) 4 5，0 2，求证： f( ) 220. (1)解f(x) sin x7 4 2cos x 4 2 sin x 4 sin x 4 2sin x 4 ， T2 ，f(x)的最小值为 2. (2)证明由已知得cos cos sin sin 4 5， cos cos sin sin 4 5， 两式相加得2cos cos 0， 0 2， 2， f( ) 224sin2 4 20. 15已知 f(x)(1 1 tan x)sin 2x2sin(x 4) · sin(x 4) (1)若 tan 2，求 f( )的值； (2)若 x 12， 2，求 f(x)的取值范围 精品文档 . 解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin x 4 · cos x 4 1cos 2x 2 1 2sin 2xsin 2x 2 1 2 1 2(sin 2xcos 2x)cos 2x 1 2(sin 2xcos 2x) 1 2. 由 tan 2，得 sin 2 2sin cos sin2 cos2 2tan tan2 1 4 5. cos 2 cos2 sin2 sin2 cos 2 1tan2 1tan2 3 5. 所以， f( ) 1 2(sin 2 cos 2 ) 1 2 3 5. (2)由 (1)得 f(x) 1 2(sin 2xcos 2x) 1 2 2 2 sin 2x 4 1 2. 由 x 12， 2 ，得 5 12 2x 4 5 4 . 所以 2 2 sin 2x 4 1,0f(x) 21 2 ， 所以 f(x)的取值范围是 0， 21 2 .