初三数学专题讲义-存在性问题.pdf

初三数学讲义 存在性问题 教学过程： 一、教学衔接（课前环节） 1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见； 2、检查学生的作业，及时指点 3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容 二、知识点解析 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较 强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中 考的“热点” 。 这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存 在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。 由于“存在性” 问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算， 对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知 识、能力的一次全面的考验。 一、函数中的存在性问题（相似） 1. （2011 枣 庄 10 分 ）如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线 2 yx向左平移1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 2 ()yxhk. 所得抛物线与x 轴交于 A， B两点（点A在点 B的左边），与y轴交 于点 C，顶点为D. （1）写出hk、的值； （2）判断 ACD的形状，并说明理由； （3）在线段 AC上是否存在点M ，使 AOM ABC ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 二、函数中的存在性问题（面积） 2. 如图，抛物线 2 0yaxbx a与双曲线 k y x 相交于点A，B已知点 B的坐标为（ 2， 2） ，点 A 在第一象限内，且tan AOX 4过点 A作直线 AC x轴，交抛物线于另一点C （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算 ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使 ABD的面积等于 ABC 的面积若存在，请你写出点D的坐标；若不 存在，请你说明理由 三、函数中的存在性问题（四边形） 3 如图，二次函数y= x 2 ax b 的图像与x 轴交于 A( 2 1 ，0)、 B(2， 0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断ABC 的形状； (2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点D，且以 A、C、D、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、 C、B、P 四点 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 巩固练习，及时反馈 1. 如图，已知抛物线经过A（ 2，0） ，B（ 3，3）及原点 O，顶点为C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O 、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点 D的坐标； （3） P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作 PMx轴，垂足为M ，是否存在点P，使得以P、M 、A为 顶点的三角形 BOC 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 y A B C O x 2. 如图，第一象限内半径为2 的C 与y轴相切于点A，作直径 AD ，过点 D作C 的切线 l 交x轴于点 B， P为直线 l 上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。 (1) 设点 P的纵坐标为p，写出 p 随 k 变化的函数关系式。 (2) 设C 与 PA交于点 M ，与 AB交于点 N ，则不论动点P处于直线l 上（除点B以外）的什么位置时，都 有AMN ABP 。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3) 是否存在使 AMN的面积等于 32 25 的 k 值？若存在，请求出符合的k 值；若不存在，请说明理由。 3已知直角坐标系中有一点A（ 4，3） ，点 B 在 x 轴上， AOB 是等腰三角形 (1）求满足条件的所有点B 的坐标； (2）求过 O、A、B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）； (3）在（ 2）中求出的抛物线上存在点P，使得以 O，A，B，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条 件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积 4、在直角坐标系 xoy中，已知点 P 是反比例函数 2 3 =y x （ x 0）图象上一个动点，以P 为圆心的圆始 终与y轴相切，设切点为A （1）如图 1，P 运动到与 x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由 （2）如图 2，P 运动到与 x轴相交，设交点为B， C 当四边形ABCP是菱形时： 求出点A ，B，C的坐标 在过 A，B，C三点的抛物线上是否存在点M ，使 MBP的面积是菱形ABCP 面积的 1 2 若存在，试求出所 有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由 5 如图所示，抛物线与x轴交于点103 0AB， 、，两点，与y轴交于点03 .C，以AB为直径作M， 过抛物线上一点P作M的切线PD，切点为D，并与M的切线AE相交于点E，连结DM并延长交 M于点N，连结.ANAD、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD的面积为4 3 ，求直线PD的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于DAN的面积？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，说明理由. 1、 【答案】 解： （1）由平移的性质知， 2 ()yxhk的顶点坐标为（，）， 14hk，。 （2）由（ 1）得 2 =14yx. 当=0y时， 2 140x 解之，得 12 31xx，。 A(30)B 1 0， ， ( ， ). 又当0x时， 22 =140143yx， C 点坐标为（ 0， 3） 。 又抛物线顶点坐标D（ 1， 4） ， 作抛物线的对称轴1x交 x轴于点 E，DF y轴于点 F。易知 在 RtAED中， AD 2=22+42=20，在 RtAOC中， AC2=32+32=18， 在 RtCFD中， CD 2=12+12=2， AC2 CD2AD2。 ACD是直角三角形。 （ 3）存在作OM BC交 AC于 M ，点即为所求点。 由（ 2）知， AOC为等腰直角三角形， BAC 45 0，AC 183 2 。 由AOM ABC ，得 AOAM ABAC 。即 3AM9 , AM2 44 3 2 。 过 M点作 MG AB于点 G ，则 AG=MG= 2 9 2 8194 2164 ， OG=AO AG=3 93 44 。又点 M在第三象限，所以M （ 3 4 ， 9 4 ） 。 2、 【答案】 解： （1）把点 B（ 2， 2）的坐标代入 k y x 得，2 2 k ，k4。 双曲线的解析式为： 4 y x 。 设 A点的坐标为（m ，n） A点在双曲线上， mn 4。 又tan AOX 4， m n 4，即 m 4n。n 21，n±1。 A 点在第一象限， n 1，m 4。A点的坐标为（1，4） 。 把 A、B点的坐标代入 2 yaxbx得， 4 422 ab ab ，解得，a1，b3。 抛物线的解析式为： 2 3yxx。 （2）AC x轴，点C的纵坐标y4， 代入 2 3yxx得方程， 2 340xx，解得x1 4，x21（舍去）。 C 点的坐标为（4， 4） ，且 AC 5。 又 ABC的高为 6， ABC的面积 1 2 ×5×6 15。 （3）存在 D点使 ABD的面积等于 ABC 的面积。理由如下： 过点 C作 CD AB交抛物线于另一点D ，此时 ABD 的面积等于ABC的面积（同底：AB ，等高： CD和 AB的距离）。 直线 AB相应的一次函数是：22yx，且 CD AB ， 可设直线CD解析式为2yxp， 把 C点的坐标（4，4）代入可得，12p。 直线 CD相应的一次函数是：212yx。 解方程组 2 3 212 yxx yx ，解得， 3 18 x y 。 点 D的坐标为（ 3，18） 。 3、答案：解 (1) 根据题意，将 A( 2 1 ，0)，B(2，0)代入 y= x 2 ax b 中，得 024 0 2 1 4 1 ba ba ， 解这个 方程，得 a= 2 3 ，b=1，该拋物线的解析式为y= x2 2 3 x 1，当 x=0 时，y=1， 点 C 的坐标为 (0，1)。在 AOC 中，AC= 22 OCOA= 22 1) 2 1 (= 2 5 。 在BOC 中，BC= 22 OCOB= 22 12=5。 AB=OA OB= 2 1 2= 2 5 ，AC 2 BC 2= 4 5 5= 4 25 =AB 2，ABC 是直角三角形。 (2) 点 D 的坐标为 ( 2 3 ，1)。 (3) 存在。由 (1)知，AC BC。 若以 BC 为底边，则 BC/AP，如图 1 所示，可求得直线 BC 的解析式为 y= 2 1 x 1，直线 AP 可以看作是由直线 BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为 y= 2 1 x b， y A B C O x P 把点 A( 2 1 ，0)代入直线 AP 的解析式，求得b= 4 1 ， 直线 AP 的解析式为 y= 2 1 x 4 1 。点 P 既在拋物线上，又在直线AP 上， 点 P 的纵坐标相等，即x 2 2 3 x 1= 2 1 x 4 1 ，解得 x1= 2 5 ， x2= 2 1 (舍去)。当 x= 2 5 时，y= 2 3 ，点 P( 2 5 ， 2 3 )。 若以 AC 为底边，则 BP/AC，如图 2 所示。 可求得直线 AC 的解析式为 y=2x 1。 直线 BP 可以看作是由直线AC 平移得到的， 所以设直线 BP 的解析式为 y=2x b，把点 B(2，0)代 入直线 BP 的解析式，求得b= 4， 直线 BP 的解析式为 y=2x 4。点 P 既在拋物线 上，又在直线 BP 上，点 P 的纵坐标相等， 即 x 2 2 3 x 1=2x 4，解得 x1= 2 5 ，x2=2(舍去)。 当 x= 2 5 时，y= 9，点 P 的坐标为 ( 2 5 ， 9)。 综上所述，满足题目条件的点P 为( 2 5 ， 2 3 )或( 2 5 ， 9)。 练习 1、 【答案】 解： （1）设抛物线的解析式为 2 0yaxbxc a， 抛物线过A（ 2，0） ，B（ 3，3） ，O（0，0）可得 42=0 93=3 =0 abc abc c ，解得 =1 =2 =0 a b c 。 抛物线的解析式为 2 2yxx。 （ 2）当 AE为边时， A、 O 、D、E为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2， 则 D在x轴下方不可能，D在x轴上方且DE=2 ，则 D1（1，3） ，D2（ 3，3） 。当 AO 为对角线时，则DE与 AO互相平分。 点 E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1， 由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C （ 1， 1） 。 故符合条件的点D有三个，分别是D1（ 1，3） ， D2（ 3， 3） ，C（ 1， 1） 。 （3）存在，如图： B（ 3，3） ，C （ 1， 1） ，根据勾股定理得： BO 2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2 BOC是直 角三角形。 假设存在点P， 使以 P，M ，A为顶点的三角形与 BOC 相似， y A B C O P x 设 P（x，y） ，由题意知x0，y 0，且 2 2yxx， 若 AMP BOC ，则 AMPM BOCO 。 即x+2=3（x 2+2 x）得：x1= 1 3 ，x2=2（舍去） 当x= 1 3 时，y= 7 9 ，即 P（ 1 3 ， 7 9 ） 。 若 PMA BOC ，则， BOPM COBO 。 即：x 2+2 x=3（x+2）得：x1=3，x2= 2（舍去） 当x=3时，y=15，即 P（3，15） 故符合条件的点P有两个，分别是P（ 1 3 ， 7 9 ）或（ 3，15） 。 2、解： （1）y轴和直线l 都是C 的切线， OA AD BDAD 。 又 OAOB ， AOB= OAD= ADB=90 °。四边形OADB 是矩形。 C 的半径为2，AD=OB=4。 点 P在直线 l 上，点P的坐标为（ 4，p） 。 又点 P也在直线AP上， p=4k+3。 （2）连接 DN 。AD是C 的直径， AND=90 °。 AND=90 ° DAN ，ABD=90 ° DAN ， AND= ABD 。 又 ADN= AMN ， ABD= AMN 。 MAN= BAP AMN ABP 。 （3）存在。理由如下：把x=0 代入y=kx+3，得 y=3，即 OA=BD=3 。 AB= 2222 ADBD435。 SABD= 1 2 AB ·DN=1 2 AD ·DB ，DN= AD DB AB = 4312 55 。 AN 2=AD2DN2= 2212256 4() 525 。 AMN ABP ， 2 AMN ABP SAN () APS 即 2 2 ABP AMNABP 2 ANAN S() APAP S S。 当点 P在 B点上方时， AP 2=AD2PD2 = AD2(PB BD)2 =42(4k 33)2 =16(k2 1) ， 或 AP 2=AD2PD2 = AD2(BDPB)2 =42(34k3)2 =16(k21)， SABP= 1 2 PB ·AD=1 2 (4k 3)×4=2(4k 3) ， 2 ABP AMN 222 AN2562(43)32(43)32 S AP25 16(1)25(1)25 Skk kk 。 整理得 k 24k2=0 ， 解得 k1 =2 6， k2=26。 当点 P在 B 点下方时， AP 2=AD2PD2 =42 (34k3)2 =16(k21) ， SABP= 1 2 PB ·AD= 1 2 (4k 3) ×4= 2(4k 3) ， 2 ABP AMN 22 AN2562(43)32 S AP25 16(1)25 Sk k 。 整理得 k 2+1=（ 4k3） ， 解得 k=2。 综合以上所得，当k=2±6或 k=2 时， AMN的面积等于 32 25 。 3、 【答案】 解：作 ACx 轴，由已知得OC4，AC3， OA 22 ACOC5 (1）当 OAOB 5时， 如果点 B 在 x 轴的负半轴上，如图（1） ，点 B 的坐标为（5，0） 如果点 B 在 x 轴的正半轴上，如图（2） ，点 B 的坐标为（ 5，0） 当 OAAB 时，点 B 在 x轴的负半轴上，如图（3） ，BCOC，则 OB 8，点 B 的坐标为（ 8，0） 当 ABOB 时，点 B 在 x 轴的负半轴上， 如图（4） ，在 x 轴上取点 D，使 ADOA，可知 OD8由 AOB OAB ODA，可知 AOB ODA，则 OD OA OA OB ，解得 OB 8 25 ，点 B 的坐标为（ 8 25 ， x y B C A O x y B C A O (2) (1) 0） (2） 当 ABOA 时， 抛物线过O （0， 0） ， A （ 4， 3） ， B （ 8， 0） 三点，设抛物线的函数表达式为bxaxy 2 ， 可得方程组 3416 0864 ba ba ，解得 a 16 3 ， 2 3 b，xxy 2 3 16 32 (当 OAOB 时，同理 得xxy 4 15 4 3 2 (3）当 OAAB 时，若 BPOA，如图（ 5） ，作 PEx 轴，则 AOC PBE， ACO PEB90° ， AOC PBE， 4 3 OC AC BE PE 设 BE4m，PE3m，则点 P 的坐标为（ 4m8， 3m） ，代入 xxy 2 3 16 3 2 ，解得 m3 则点 P 的坐标为（ 4， 9） ， S梯形ABPOSABOSBPO 48 若 OPAB（图略），根据抛物线的对称性可得点P 的坐标为（ 12， 9） ， S梯形AOPBSABOSBPO 48 (5) O y B C A x P E y B C A x O (3) (4) y A B D x O (当 OAOB 时，若 BPOA，如图（ 6） ，作 PF x轴，则 AOC PBF， ACO PFB90° ， AOC PBF， 4 3 OC AC BF PF 设 BF4m， PF3m，则点 P 的坐标为（ 4m5， 3m） ，代入 xxy 4 15 4 3 2 ，解得 m 2 3 则点 P 的坐标为（ 1， 2 9 ） ， S梯形ABPOSABOSBPO 4 75 若 OPAB（图略），作 PFx 轴，则 ABC POF， ACB PFO 90° ， ABC POF， 3 BC AC OF PF 设点 P 的坐标为（n， 3n） ，代入xxy 4 15 4 3 2 ，解得 n9则点 P 的坐标为 （ 9， 27） ，S梯形AOPBSABOSBPO 75 4、 【答案】 解： （1） 四边形 OKPA 是正方形。理由如下： P 分别与两坐标轴相切，PA OA ，PK OK 。 PAO= OKP=90 °。 又 AOK=90 °， PAO= OKP= AOK=90 °。四边形OKPA 是矩形。 又OA=OK，四边形OKPA 是正方形。 （2） 连接 PB ， 设点 P的横坐标为x ， 则其纵坐标为 2 3 x 。 过点 P作 PG BC于 G 。 四边形 ABCP为菱形， BC=PA=PB=PC。 PBC为等边三角形。 (6) x y B A O C P F 在 RtPBG中， PBG=60 °， PB=PA=x ，PG=2 3 x 。 sin PBG=PG PB ，即 2 3 3 2 x x 解之得：x =± 2（负值舍去）。 PG=3，PA=BC=2 。 易知四边形OGPA 是矩形， PA=OG=2 ，BG=CG=1 ， OB=OG BG=1 ，OC=OG+GC=3。 A（ 0，3） ，B（1，0）C（ 3，0） 。 设二次函数解析式为： 2 yaxbxc。据题意得： 0 90 3 abc abc c 解之得： 34 3 3 33 abc，。 二次函数关系式为： 2 34 3 3 33 yxx 设直线 BP的解析式为：ykxb，据题意得： 0 23 kb kb 解之得：3,3kb。 直线 BP的解析式为：33yx。 过点 A作直线 AM PB ，则可得直线AM的解析式为：33yx。 解方程组： 2 33 34 3 3 33 yx yxx 得 12 12 =0 =7 38 3 xx yy ， 过点 C作直线 CM PB ，则可得直线CM的解析式为：33 3yx。 解方程组： 2 33 3 34 3 3 33 yx yxx 得 2 1 1 2 =4 =3 0 3 x x y y ， 综上可知，满足条件的M的坐标有四个： （0，3） ， （7，83） ， （3，0） ， （4，3） 。 5、答案 ：解：（ 1）因为抛物线与x轴交于点1 03 0AB， 、，两点，设抛物线的函数关系式为： 13ya xx， 抛物线与y轴交于点03C，30103a，1.a 所以，抛物线的函数关系式为： 2 23yxx，又 2 14yx， 因此，抛物线的顶点坐标为14， (2）连结EM，EAED、是M，的两条切线， EAEDEAAMEDMN，EAMEDM 又四边形EAMD的面积为4 3，2 3 EAM S， 1 2 3 2 AM AE·， 又2AM，2 3.AE因此，点E的坐标为 1 1 2 3E，或 2 12 3 .E， 当E点在第二象限时，切点D在第一象限 . 在直角三角形 EAM 中， 2 3 tan3 2 EA EMA AM ， 60EMA° ，60DMB° 过切点D作DFAB，垂足为点F， 13MFDF， 因此，切点D的坐标为 23， 设直线PD的函数关系式为ykxb，将12 323ED，、， 的坐标代入得 32 2 3 kb kb 解之，得 3 3 5 3 3 k b 所以，直线PD的函数关系式为 35 3 . 33 yx 当E点在第三象限时，切点D在第四象限 . 同理可求：切点D的坐标为 23，-，直线PD的函数关系式为 35 3 . 33 yx 因此，直线 PD的函数关系式为 35 3 33 yx或 35 3 . 33 yx (3）若四边形EAMD的面积等于DAN的面积 又22 EAMDANAMDEAMD SSSS 四边形 ， AMDEAM SS ED、两点到x轴的距离相等， PD与 M 相切，点 D与点E在x轴同侧， 切线PD与x轴平行， 此时切线PD的函数关系式为2y或2.y 当2y时，由 2 23yxx得，16x； 当2y时，由 2 23yxx得，12x. 故满足条件的点P的位置有4 个，分别是 123 16 216 2122PPP， 、， 、，、 4 122 .P， 说明 ：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.