福建省厦门一中2019届中考数学一模试卷含答案解析.pdf

第 1 页（共 24 页） 2019 年福建省厦门一中中考数学一模试卷 一、选择题（本大题有10 小题，每小题4分，共 40 分） 1sin45° 的值等于（） ABCD1 2下列图形中，是轴对称图形的是（） ABCD 39 的算术平方根是（） A81 B3 C 3 D± 3 4若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（） Ax=1 Bx 1 Cx1 Dx1 5两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（） A一定有一个锐角B一定有一个钝角 C一定有一个直角D一定有一个不是钝角 62019 年的世界无烟日期间，小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100 个成年人，结果其中20 个成年人吸烟，对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是 （） A调查的方式是普查 B本地区约有20%的成年人吸烟 C样本是20 个吸烟的成年人 D本地区只有80 个成年人不吸烟 第 2 页（共 24 页） 7有一组数据0、1、2、3、4、x、6 的中位数是3，则这组数据x 的取值范围（） A5 Bx 4 Cx 3 Dx 3 8如图，已知点A，B 在半径为 1 的 O 上， AOB=60 ° ，延长 OB 至 C，过点 C 作直线 OA 的垂 线记为 l，则下列说法正确的是（） A当 BC 等于 0.5 时， l 与 O 相离 B当 BC 等于 2 时， l 与 O 相切 C当 BC 等于 1 时， l 与 O 相交D当 BC 不为 1 时， l 与 O 不相切 9二次函数y=（x1）（ x 2） 1 与 x 轴的交点x1， x2，x1x2，则下列结论正确的是（ ） Ax11x22 Bx112x2Cx2 x11 D2x1x2 10已知点 A 在半径为3 的 O 内， OA 等于 1，点 B 是 O 上一点，连接AB ，当 OBA 取最大 值时， AB 长度为（） A B2C3 D2 二、填空题（本大题6 小题，每题4 分，共 24 分） 112 的相反数是 12已知 =30° ， 的余角为 13不等式2x 40 的解集是 14如图，大圆半径为6，小圆半径为 2，在如图所示的圆形区域中，随机撒一把豆子，多次重复这 个实验，若把 “ 豆子落在小圆区域A 中” 记作事件W， 请估计事件W 的概率 P （W） 的值 第 3 页（共 24 页） 15已知 O 的半径 4，点 A，M 为 O 上两点，连接OM ，AO ，MOA=60 ° ，作点 M 关于圆心O 的对称点N，连接 AN ，则弧 AN 的长是 16如图，在直角坐标系中，直线y=x+4 交矩形 OACB 于 F 与 G，交 x 轴于 D，交 y 轴于 E若 FOG=45° ，求矩形OACB 的面积 三、解答题（本大题有9 小题，共89 分） 17在直角坐标系中画出双曲线y= 18解分是方程： 19如图，在四边形ABCD 中， ABCD， BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F， 若 CE=CF，求证：四边形ABCD 是平行四边形 第 4 页（共 24 页） 20有 3 张扑克牌，分别是红桃3、红桃 4和黑桃 5，把牌洗匀后先抽取一张，记下颜色和数字后将 牌放回，洗匀后再抽取一张，则两次抽得相同颜色的概率是多少？ 21如图，在 ABC 中， ACB=90 ° ，AB=5 ，AC=4 ，过点 C 作直线 MC 使得 BCM= BAC ，求 点 B 到直线 MC 的距离 22在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形 的四个顶点在同一个圆上，简称“ 四点共圆 ” 如图，已知四边形ABCD ，AD=4 ，CD=3 ，AC=5 ， cosBCA=sin BAC=，求 BDC 的大小 23据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100 米，宽 50 米的 长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法， 使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由 24 如图， 已知 A、 B、 C、 D 是 O 上四点，点 E 在弧 AD 上， 连接 BE 交 AD 于点 Q， 若 AQE= EDC， CQD= E，求证： AQ=BC 第 5 页（共 24 页） 25已知双曲线y=和直线 y=2x，点 C（a，b）（ ab2）在第一象限，过点C 作 x 轴的垂线交 双曲线于F，交直线于B，过点 C 作 y 轴的垂线交双曲线于E，交直线于A （1）若 b=1，则结论 “ A、E 不能关于直线FB 对称 ” 是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反 例 （2）若 CAB= CFE，设 w=AC ?EC，当 1 a2 时，求 w 的取值范围 26若抛物线y=ax 2+bx+c 上有两点 A，B 关于原点对称，则称它为“ 完美抛物线 ” （1）请猜猜看：抛物线y=x2+x1 是否是 “ 完美抛物线 ” ？若猜是，请写出 A，B 坐标，若不是，请 说明理由； （2）若抛物线y=ax2+bx+c 是“ 完美抛物线 ” 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于（，0），若 SABC=， 求直线 AB 解析式 第 6 页（共 24 页） 2019 年福建省厦门一中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10 小题，每小题4分，共 40 分） 1sin45° 的值等于（） ABCD1 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据特殊角度的三角函数值解答即可 【解答】 解： sin45° = 故选 B 【点评】 此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可 2下列图形中，是轴对称图形的是（） ABCD 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故正确； D、不是轴对称图形，故错误 故选 C 【点评】 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折 叠后可重合 39 的算术平方根是（） A81 B3 C 3 D± 3 【考点】 算术平方根 第 7 页（共 24 页） 【分析】 如果一个非负数x 的平方等于a，那么 x 是 a 的算术平方根，根据此定义即可求出结果 【解答】 解： 32 =9， 9 算术平方根为 3 故选 B 【点评】 此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误 4若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（） Ax=1 Bx 1 Cx1 Dx1 【考点】 二次根式有意义的条件 【分析】 二次根式有意义：被开方数是非负数 【解答】 解：由题意，得 x1 0， 解得， x 1 故选 B 【点评】 考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a 0）叫二次根式性质：二次根式中的 被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 5两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（） A一定有一个锐角B一定有一个钝角 C一定有一个直角D一定有一个不是钝角 【考点】 相交线 【专题】 分类讨论 【分析】 根据两条直线相交有垂直相交和斜交两种情况，所以A、B、C 均考虑不全面，故选D 【解答】 解：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论： 当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B 错误； 当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C 错误； 综上所述， D 正确 故选： D 【点评】 本题考查了相交线，需要灵活掌握相交直线的两种情况 第 8 页（共 24 页） 62019 年的世界无烟日期间，小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100 个成年人，结果其中20 个成年人吸烟，对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是 （） A调查的方式是普查 B本地区约有20%的成年人吸烟 C样本是20 个吸烟的成年人 D本地区只有80 个成年人不吸烟 【考点】 全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量 【分析】 根据调查方式，可判断A，根据样本估计总体，可判断B，D，根据样本容量的定义，可判 断 D 【解答】 解： A、调查方式是抽样调查，故A 错误； B、根据调查结果知20%的成年人吸烟，故 B 正确； C、样本是100 个成年人，故 C 错误； D、本地区80%的成年人不吸烟，故 D 错误； 故选： B 【点评】 本题考查了总体、个体、样本、样本容量，利用样本估计总体是解题关键 7有一组数据0、1、2、3、4、x、6 的中位数是3，则这组数据x 的取值范围（） A5 Bx 4 Cx 3 Dx 3 【考点】 中位数 【分析】 根据中位数的概念求解 【解答】 解：这组数据共有7 个， 3 为中位数， x 3 故选 C 【点评】 本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数 据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中 间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 第 9 页（共 24 页） 8如图，已知点A，B 在半径为1 的 O 上， AOB=60 ° ，延长 OB 至 C，过点 C 作直线 OA 的垂 线记为 l，则下列说法正确的是（） A当 BC 等于 0.5 时， l 与 O 相离 B当 BC 等于 2 时， l 与 O 相切 C当 BC 等于 1 时， l 与 O 相交D当 BC 不为 1 时， l 与 O 不相切 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离，圆心到直线的距离小于半径，直线与圆 相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，可得答案 【解答】 解：A、BC=0.5， OC=OB+CB=1.5 ； AOB=60 ° ， ACO=30 ° ，AO=OC=0.5 1， l 与 O 相交，故A 错误； B、BC=2 ，OC=OB+CB=3 ； AOB=60 ° ， ACO=30 ° ，AO=OC=1.51，l 与 O 相离， 故 B 错误； C、 BC=1 ， OC=OB+CB=2 ； AOB=60 ° ， ACO=30 ° ，AO=OC=1， l 与 O 相切，故 C 错误； D、 BC 1， OC=OB+CB 2； AOB=60 ° ， ACO=30 ° ，AO=OC 1， l 与 O 不相切， 故 D 正确； 故选： D 【点评】 本题考查了直线与圆的位置关系，利用了直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离大于半 径，直线与圆相离；圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直 线与圆相切 9二次函数y=（x1）（ x 2） 1 与 x 轴的交点x1， x2，x1x2，则下列结论正确的是（ ） Ax11x22 Bx112x2Cx2 x 11 D2x1 x 2 【考点】 抛物线与x 轴的交点 【分析】 由 y=0，解方程求出x1 、x 2，根据 x1 、x 2的大小，即可得出结果 第 10 页（共 24 页） 【解答】 解：当 y=（x 1）（ x2） 1=0 时， 解得： x1= ，x2=， 01，23， x112x2 故选： B 【点评】 本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标的求法；熟练掌握抛物线与x 轴的交点坐标的求法是 解决问题的关键 10已知点 A 在半径为3 的 O 内， OA 等于 1，点 B 是 O 上一点，连接 AB ，当 OBA 取最大 值时， AB 长度为（） A B2C3 D2 【考点】 垂径定理 【分析】 当 ABOA 时， AB 取最小值，OBA 取得最大值，然后在直角三角形OBA 中利用勾股 定理求 PA 的值即可 【解答】 解：在 OBA 中，当 OBA 取最大值时，OA 取最大值， BA 取最小值， 又 OA 、OB 是定值， BA OA 时， BA 取最小值； 在直角三角形OBA 中， OA=1 ，OB=3 ， ABA=2 故选 B 【点评】本题考查了解直角三角形解答此题的关键是找出“ 当 BAOA 时， BA 取最小值 ” 即“ BA OA 时， OBA 取最大值 ” 这一隐含条件 二、填空题（本大题6 小题，每题4 分，共 24 分） 112 的相反数是2 【考点】 相反数 【分析】 根据相反数的定义可知 【解答】 解： 2 的相反数是2 第 11 页（共 24 页） 【点评】 主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数0 的相反数是其本身 12已知 =30° ， 的余角为60° 【考点】 余角和补角 【分析】 本题考查角互余的概念：和为90 度的两个角互为余角 【解答】 解：根据定义的余角度数是90° 30° =60° 故答案为： 60° 【点评】 此题考查了余角，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90 度 13不等式2x 40 的解集是x 2 【考点】 解一元一次不等式 【分析】 两边同时加4，再同时除以2，不等号不变 【解答】 解： 2x 40， 2x 4， x2 【点评】 不等式两边同时加上一个数或除以一个正数，不等式方向不变 14如图，大圆半径为6，小圆半径为2，在如图所示的圆形区域中，随机撒一把豆子，多次重复这 个实验，若把 “ 豆子落在小圆区域A 中” 记作事件 W，请估计事件W 的概率 P（W）的值 【考点】 模拟实验；几何概率 【分析】 本题可以按照几何概型来估计事件W 的概率 P（W）的值，首先求出两个圆的面积，再由 小圆的面积：大圆的面积，其比值即为P（W）的值 【解答】 解：大圆半径为6，小圆半径为2， S 大圆=36 ，S小圆=4 ， 第 12 页（共 24 页） P（W）=， 故答案为： 【点评】 本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，题目的运算比较简单，注意不要丢分 15已知 O 的半径 4，点 A，M 为 O 上两点，连接OM ，AO ，MOA=60 ° ，作点 M 关于圆心O 的对称点N，连接 AN ，则弧 AN 的长是 【考点】 弧长的计算 【分析】 首先求得圆心角AON ，然后利用弧长公式即可求解 【解答】 解： AON=180 ° 60° =120° ， 则弧 AN 的长是：= 故答案是： 【点评】 本题考查了弧长公式，正确记忆公式是关键 16如图，在直角坐标系中，直线y=x+4 交矩形 OACB 于 F 与 G，交 x 轴于 D，交 y 轴于 E若 FOG=45° ，求矩形OACB 的面积8 【考点】 一次函数综合题 【分析】 根据一次函数解析式求得OD=OE=4 ，则 EOD 是等腰直角三角形，得出 ODE=OED=45 ° ， 由 OGE=ODF+ DOG=45 ° +DOG， DOF=EOF+ DOG=45 ° +DOG 得出 DOF=OGE， 从而证得 DOF EGO， 得出=， DF?EG=OE?OD=16 ， 过点 F 作 FM x 轴于点 M， 过点 G 作 GN y 轴于点 N 则易知 DF=b， GE=a， 得出 DF?GE=2ab=16， 求得 ab=8 【解答】 解：直线y=x+4 与 x 轴， y 轴分别交于点D，点 E， OD=OE=4 ， 第 13 页（共 24 页） ODE= OED=45 ° ； OGE= ODF+ DOG=45 ° +DOG， EOF=45° ， DOF= EOF+DOG=45 ° +DOG， DOF= OGE， DOF EGO， =， DF?EG=OE?OD=16 ， 过点 F 作 FMx 轴于点 M，过点 G 作 GN y 轴于点 N DMF 和 ENG 是等腰直角三角形， NG=AC=a ， FM=BC=b ， DF=b，GE=a， DF?GE=2ab， 2ab=16， ab=8， 矩形 OACB 的面积 =ab=8 故答案为 8 【点评】 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性 质找出辅助线构建等腰直角三角形，求得DF=b，GE=a 是解题的关键 三、解答题（本大题有9 小题，共89 分） 17在直角坐标系中画出双曲线y= 【考点】 反比例函数的图象 第 14 页（共 24 页） 【分析】 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表描点连线 【解答】 解：列表如下： x 1 1 2 2 y 4 4 2 2 1 1 函数图象如下： 【点评】 本题考查了反比例函数的图象列表取值时，x 0，因为 x=0 函数无意义，为了使描出的点 具有代表性，可以以“ 0” 为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便 于求 y 值 18解分是方程： 【考点】 解分式方程 【专题】 计算题 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方 程的解 【解答】 解：去分母得：x=2， 经检验 x=2 是增根，分式方程无解 【点评】 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“ 转化思想 ” ，把分式方程转化为整式方 程求解解分式方程一定注意要验根 19如图，在四边形ABCD 中， ABCD， BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F， 若 CE=CF，求证：四边形ABCD 是平行四边形 第 15 页（共 24 页） 【考点】 平行四边形的判定 【专题】 证明题 【分析】 根据角平分线的性质可得 1=2，再根据平行线的性质可得1=F，由CE=CF，可得 F=3，再利用等量代换可得2=3，进而可得判定 AD BC，然后可得四边形ABCD 是平行四 边形 【解答】 证明： BAD 的平分线交直线BC 于点 E， 1=2， AB CD， 1=F， CE=CF， F=3， 1=3， 2=3， AD BC， AB CD， 四边形ABCD 是平行四边形 【点评】 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形 20有 3 张扑克牌，分别是红桃3、红桃 4和黑桃 5，把牌洗匀后先抽取一张，记下颜色和数字后将 牌放回，洗匀后再抽取一张，则两次抽得相同颜色的概率是多少？ 【考点】 列表法与树状图法 【专题】 计算题 第 16 页（共 24 页） 【分析】 红桃 3、红桃 4 和黑桃 5 分别用 A、B、C 表示，画出树状图，展示所有9 种等可能的结果 数，找出两次抽得相同颜色的结果数，然后利用概率公式求解 【解答】 解：画树状图：红桃3、红桃 4 和黑桃 5 分别用 A、B、C 表示， 共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽得相同颜色的结果数为5 种， 所有两次抽得相同颜色的概率= 【点评】 本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再 从中选出符合事件A 或 B 的结果数目m，然后根据概率公式求事件A 或 B 的概率 21如图，在 ABC 中， ACB=90 ° ，AB=5 ，AC=4 ，过点 C 作直线 MC 使得 BCM= BAC ，求 点 B 到直线 MC 的距离 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 利用勾股定理求出BC，过 B 向 MC 作垂线，利用三角形相似求BE 【解答】 解：如图：在RtABC 中， BC=3， 作 BEMC，垂足是E， ACB= BEC=90 ° ， ACB BCE， ， ， BE=， 点 B 到直线 MC 的距离 第 17 页（共 24 页） 【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键 22在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形 的四个顶点在同一个圆上，简称“ 四点共圆 ” 如图，已知四边形ABCD ，AD=4 ，CD=3 ，AC=5 ， cosBCA=sin BAC=，求 BDC 的大小 【考点】 圆内接四边形的性质；解直角三角形 【专题】 新定义 【分析】 先利用勾股定理的逆命题得到ADC=90 ° ，再根据特殊角的三角函数值得到BCA=60 ° ， BAC=30 ° ，则 ABC=90 ° ，根据新定义得到四边形ABCD 的四个点在以AC 为直径的圆上，然后 根据圆周角定理即可得到BDC= BAC=30 ° 【解答】 解： AD=4 ，CD=3 ，AC=5 ， AD 2+CD2=AC2， ADC 为直角三角形，ADC=90 ° ， cosBCA=sin BAC=， BCA=60 ° ， BAC=30 ° ， ABC=180 ° 60° 30° =90° ， 四边形ABCD 的四个点在以AC 为直径的圆上， BDC= BAC=30 ° 【点评】 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外 角等于它的内对角也考查了解直角三角形和圆周角定理 第 18 页（共 24 页） 23据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100 米，宽 50 米的 长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法， 使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由 【考点】 一元一次方程的应用 【分析】 可设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100× 50x）平方米，根据 甲、乙两种作物的总产量的比为3：4，列出方程求解即可 【解答】 解：设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100× 50x）平方米，依 题意有 x：2（100× 50x）=3：4， 解得 x=3000， 100× 50x =50003000 =2000 故种植作物甲的面积是3000 平方米，种植作物乙的面积是2000 平方米，使甲、乙两种作物的总产 量的比为3：4 【点评】 此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，得出两部分面积之比 24 如图， 已知 A、 B、 C、 D 是 O 上四点，点 E 在弧 AD 上， 连接 BE 交 AD 于点 Q， 若 AQE= EDC， CQD= E，求证： AQ=BC 【考点】 圆周角定理 【专题】 证明题 第 19 页（共 24 页） 【分析】首先根据圆周角定理，可得 A=E， 再根据 CQD= E， 可得 CQD=A， 所以 AB CQ； 然后根据圆内接四边形的性质，以及AQE= EDC，判断出BCAQ，即可判断出四边形ABCQ 是平行四边形，所以AQ=BC ，据此解答即可 【解答】 证明：如图： ， 根据圆周角定理，可得A=E， CQD= E， CQD= A， AB CQ， EBC+ EDC=180° ， AQB+ AQE=180 ° ， EBC+ EDC= AQB+ AQE， AQE= EDC， EBC= AQE ， BCAQ ， 又 AB CQ， 四边形ABCQ 是平行四边形， AQ=BC 【点评】 （1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆 或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 （2）此题还考查了平行四边形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确平行四 边形的判定方法，以及平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边相等 角：平行四边形的对 角相等 对角线：平行四边形的对角线互相平分 （3）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 圆内接四边 形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） 第 20 页（共 24 页） 25已知双曲线y=和直线 y=2x，点 C（a，b）（ ab2）在第一象限，过点C 作 x 轴的垂线交 双曲线于F，交直线于B，过点 C 作 y 轴的垂线交双曲线于E，交直线于A （1）若 b=1，则结论 “ A、E 不能关于直线FB 对称 ” 是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反 例 （2）若 CAB= CFE，设 w=AC ?EC，当 1 a2 时，求 w 的取值范围 【考点】 反比例函数综合题；因式分解 -提公因式法；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】 综合题；反比例函数及其应用 【分析】 （1）要说明一个结论错误，只需举一个反例即可，事实上，当a= 时，可证到A、E 关于 直线 FB 对称； （2）根据点 C 的坐标可得到点A、E、B、F 的坐标（用a和 b 的代数式表示），由ab2 可证到点 F在点 C 的上方，结合图象用a和 b 的代数式分别表示出 CA 、 CE、 CB 、 CF 的长， 然后由 CAB= CFE 证到 ACB FCE，运用相似三角形的性质可得到CA?CE=CB ?CF，由此结合因式分解可得到a 与 b的等量关系，从而得到w 与 a 的函数关系，然后只需运用函数的增减性就可解决问题 【解答】 解：（ 1）结论 “ A、E 不能关于直线FB 对称 ” 不正确 反例：当a= 时， 由 b=1 可得 yA=yE=1 点 A 在直线 y=2x 上，点 E 在双曲线y=上， xA = ，x E=2， AC=（）=，CE=2=， AC=CE AEBF， A、E 关于直线FB 对称， 结论 “ A、E 不能关于直线FB 对称 ” 不正确； （2）由题可得：yA=yE=yC=b，xB=xF=xC=a 点 A、B 在直线 y=2x 上，点 E、F 在双曲线y=上， xA = ，y B=2a， xE= ，y F= 第 21 页（共 24 页） ab2， b， yC y F， 点 F 在点 C 的上方（如图所示）， AC=a（） =a+=， CE=a=， CF=b=， CB=b （ 2a）=b+2a， w=AC ?EC=? CAB= CFE， ACB= FCE=90° ， ACB FCE， =，即 CA?CE=CB?CF， ?=（b+2a）?， a（2a+b）（ 2ab） =2b（2a+b）（ 2ab）， a（2a+b）（ 2ab） 2b（2a+b）（ 2ab）=0， （ a2b）（ 2a+b）（ 2ab）=0 a0，b0， 2a+b0 又 ab2， 2ab0， a2b=0， w=?=a2+5 0， 当 a0 时， w 随 a 的增大而减小 1 a2， × 2 2+5w × 1 2+5，即 0w ， 第 22 页（共 24 页） w 的取值范围为0w 【点评】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、因式分解、 二次函数的增减性等知识，在解决问题的过程中，用到了反证法，它是证明一个命题是假命题的常 用的方法；另外，运用相似三角形性质及因式分解得到a与 b 的等量关系，是解决第（2）小题的关 键 26若抛物线y=ax 2+bx+c 上有两点 A，B关于原点对称，则称它为“ 完美抛物线 ” （1）请猜猜看：抛物线y=x 2+x1 是否是 “ 完美抛物线 ” ？若猜是，请写出 A，B 坐标，若不是，请 说明理由； （2）若抛物线y=ax2+bx+c 是“ 完美抛物线 ” 与 y 轴交于点C，与 x 轴交于（ ，0），若 SABC= ， 求直线 AB 解析式 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式 【专题】 新定义 【分析】 （1）首先设 A 点的坐标是（ m，n），根据 A，B 关于原点对称，判断出B 点的坐标是（ m， n）；然后根据A，B 都是抛物线y=x 2+x1 上的点，求出 m、n 的值各是多少，判断出抛物 线 y=x 2+x1 是“ 完美抛物线 ” ，并写出 A，B 坐标即可 （2）首先根据抛物线y=ax 2+bx+c 上有两点 A，B 关于原点对称，可得直线 AB 经过原点，设直线 AB 解析式是： y=kx ；设点 A 的坐标是（ p，q），则 B 点的坐标是（p， q）；然后根据A、B 都是抛物线y=x 2+x1 上的点， 抛物线与 x 轴交于（， 0） ， 可得 2bac=4； 最后根据SABC=， 求出 b 的值是多少，进而判断出直线AB 的斜率是多少，求出直线AB 解析式即可 【解答】 解：（ 1）设 A 点的坐标是（ m，n）， 第 23 页（共 24 页） A，B 关于原点对称， B 点的坐标是（m， n）， A，B 都是抛物线y=x 2+x1 上的点， ， 解得 m=1 或 m=1， 当 m=1 时， n=1 2+11=1， 当 m=1 时， n=（ 1） 211=1， 抛物线y=x 2+x1 是“ 完美抛物线 ” ， A（1，1）、 B（ 1， 1）或 A（ 1， 1）、 B（ 1，1） （2）抛物线y=ax 2+bx+c 上有两点 A，B 关于原点对称， 直线 AB 经过原点， 设直线AB 解析式是： y=kx ， 设点 A 的坐标是（ p，q）， 则 B 点的坐标是（p， q）， ， ap 2+c=0， bp=q， ， 抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于（ ，0）， ， 2b ac=4， 点 C 的坐标是（ 0，c）， | cp× 2|=， 第 24 页（共 24 页） ， p2= ， 又， ， b2=ac， 又 2bac=4， b2+2b4=0， b=1， SABC= 0， b0， b=1， 又 bp=q， ， 即直线 AB 的斜率是： k=， 直线 AB 解析式是： y=（1）x 【点评】（ 1）此题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征，以及对 “ 完美抛物线 ” 的含义的理解， 要熟练掌握 （2）此题还考查了直线的解析式的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出直线AB 的斜率是多 少