2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章3.3直线的方向向量(含解析).pdf

33直线的方向向量 读教材 · 填要点 1直线的方向向量 一般地，如果向量v0 与直线 l 平行，就称v 为 l 的方向向量 2直线的方向向量的应用 (1)两条直线垂直? 它们的方向向量垂直 (2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量AB 与 CD 平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：CD k AB (k 是某个实 数) (3)求两条异面直线AB，CD 所成的角 若两条异面直线AB， CD 所成的角为 ， AB ， CD 所成的角为 1，则 cos |cos_ 1| |AB · CD | |AB | ·|CD | . 小问题 · 大思维 1直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？ 提示： 直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量 2两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？ 提示： 相等或互补 求异面直线所成的角 (2017 ·全国卷 )已知直三棱柱ABC-A1B1C1中， ABC120° ， AB2，BC CC1 1，则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为() A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 自主解答 以 B1为坐标原点， B1C1所在的直线为x 轴，垂直于 B1C1的直线为 y轴， BB1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图 所示由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1， 3，1)， 则 BC1 (1,0， 1)， AB1 (1，3， 1) 所以 cosAB1 ， BC 1 AB1 · BC1 |AB1 | ·|BC1 | 2 5×2 10 5 . 所以异面直线AB1与 BC1所成的角的余弦值为 10 5 . 答案 C 利用向量求异面直线所成角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)比较余弦值与0 的大小，确定向量夹角的范围； (4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量 夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角 1.如图，在四棱锥O-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的菱形， ABC 4.OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 解：作 APCD 于点 P.如图， 分别以 AB，AP，AO 所在直线为x，y， z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0)，B(1,0,0)， D 2 2 ， 2 2 ，0 ，M(0,0,1) 设 AB 和 MD 所成角为 ， AB (1,0,0)， MD 2 2 ， 2 2 ， 1 ， cos |AB · MD | | AB | ·|MD | 1 2. 3. 异面直线AB 与 MD 所成角的大小为 3. 证明线线垂直 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点， N 是侧棱 CC1 上的点，且CN1 4CC 1.求证： AB1MN . 自主解答 法一： (基向量法 ) 设 AB a， AC b， AA1 c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a| |b|c|1，a· cb· c0， AB1 ac， AM 1 2(ab)， AN b 1 4c， MN AN AM 1 2a 1 2b 1 4c， AB1 · MN (ac) · 1 2a 1 2b 1 4c 1 2 1 2cos 60 ° 1 4 0. AB1 MN .AB1MN . 法二： (坐标法 )设 AB 中点为 O，作 OO1AA1. 以 O 为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A 1 2，0，0 ，B 1 2，0，0 ， C 0， 3 2 ，0 ， N 0， 3 2 ， 1 4 ，B1 1 2， 0， 1 ， M 为 BC 中点， M 1 4， 3 4 ，0 . MN 1 4， 3 4 ， 1 4 ，AB1 (1,0,1)， MN · AB1 1 40 1 4 0. MN AB1 .AB1MN . 利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂 直 (1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标 (2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量 2直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形， AB2，AD1，AA13， M 是 BC 的中点在DD1上是否存在一点N，使 MN DC1？并说明理由 解： 如图所示，建立以D 为坐标原点，DA，DC，DD 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)， M 1 2，2，0 ，D(0,0,0)，设存在 N(0,0，h)， 则 MN 1 2， 2， h ， DC 1 (0,2,3)， MN · DC1 1 2， 2，h · (0,2,3) 43h， 当 h 4 3时， MN · DC1 0， 此时 MN DC1 ，存在NDD1，使 MN DC1. 解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 如图，已知空间四边形OABC 各边都相等， E，F 分别为 AB，OC 的中 点，求 OE 与 BF 所成的角的余弦值 巧思 求异面直线OE 与 BF 所成的角， 由于已知OA，OB，OC 的长 度及夹角，因此，可以用OA ， OB ， OC 表示 OE 与 BF ，然后利用向量的 夹角公式计算即可 妙解 设 OA a， OB b， OC c， 且|a|b|c|1，则 a· bb· cc·a1 2. 又 OE 1 2(a b)， BF 1 2cb，|OE | BF|3 2 . 所以 OE · BF 1 2(ab)· 1 2cb 1 4a· c 1 2a· b 1 4b· c 1 2|b| 21 2. 所以 cos OE ， BF OE · BF |OE | ·|BF | 2 3. 所以直线OE 与 BF 所成角的余弦值为 2 3. 1若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线l 的一个方向向量为() A (1,2,3)B(1,3,2) C (2,1,3) D(3,2,1) 解析： AB (2,4,6)，且 (2,4,6)2(1,2,3)，直线 l 的一个方向向量是(1,2,3) 答案： A 2设 l1的方向向量为 a(1,2， 2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若 l1l2，则 m () A 1 B2 C. 1 2 D3 解析： l1l2? a· b 262m0? m2. 答案： B 3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于 () A ACBBD C A1DDA1A 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为1. 则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)， E 1 2， 1 2， 1 ， CE 1 2， 1 2，1 ， AC (1,1,0)， BD (1， 1,0)， A1D (1,0， 1)， A1A (0,0， 1) CE · BD (1)× 1 2 (1)× 1 2 0×10， CEBD. 答案： B 4直线l1的方向向量 v1(1,0， 1)，直线l2的方向向量为v2(2,0,2)，则直线l1 与 l2的位置关系是_ 解析： v1(1,0， 1)， v2(2,0,2)， v2 2v1， v1v2， l1与 l2平行或重合 答案： 平行或重合 5已知在棱长为a 的正方体ABCD-A BCD中， E 是 BC 的中点 则直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为_ 解析 ：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0,0，a)，C(a，a,0)， D(0，a,0)，E a， a 2，0 ， 则AC (a，a， a)， DE a， a 2，0 ， cos AC ， DE AC · DE |A C | ·|DE | 15 15 . 答案 ： 15 15 6.在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 DD1， BD 的中点，如图所示 求证： EF CF. 证明： 建立如图所示的空间直角坐标系 则 D(0,0,0)，E 0，0， 1 2 ， C(0,1,0)， F 1 2， 1 2，0 . EF 1 2， 1 2， 1 2 ， CF 1 2， 1 2，0 . EF · CF 1 2× 1 2 1 2× 1 2 1 2 ×00. EF CF ，即 EFCF . 一、选择题 1已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为 a(4， 1，0)，b(1,4,5)，c (3,12， 9)，则 () A l1l2，但 l1与 l3不垂直 B l1l3，但 l1与 l2不垂直 C l2l3，但 l2与 l1不垂直 D l1，l2，l3两两互相垂直 解析： a· b(4， 1,0) ·(1,4,5) 4400， a· c(4， 1,0) ·( 3,12， 9) 1212 240. b· c(1,4,5)·(3,12， 9) 348450， ab，a 与 c不垂直， b c. l1 l2，l2l3，但 l1不垂直于l3. 答案： A 2已知直线l1的一个方向向量为 a(1， 2,1)，直线l2的一个方向向量为b(2， 2,0)，则两直线所成角的余弦值为() A 1B. 6 3 C. 3 3 D. 3 2 解析： cosa，b |a· b| |a|b| | 1， 2，1 · 2， 2，0 | 1 2 2212· 22 22 |24| 6·8 3 2 . 答案： D 3在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB2，BC2，DD13，则 AC 与 BD1所成角的 余弦值为 () A 0 B.3 70 70 C 3 70 70 D. 70 70 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)所以 BD1 (2， 2,3)， AC (2,2,0)所以 cos BD1 ， AC BD1 · AC |BD1 | ·|AC | 0. 答案： A 4.如图， 在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA CC1 2CB，则直线BC1与直线 AB1夹角的余弦值为() A. 5 5 B. 5 3 C. 2 5 5 D.3 5 解析： 设 CA2，则 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量 AB1 (2,2,1)， BC1 (0,2， 1)，由向量的夹角公式得cos AB1 ，BC 1 2×02× 21× 1 04 1·441 1 5 5 5 . 答案： A 二、填空题 5 已知 a(2,4,5)， b(3， x， y)分别是直线l1， l2的方向向量， 若 l1l2， 则 x _， y_. 解析： l1l2， ab， 3 2 x 4 y 5， x6，y 15 2 . 答案： 6 15 2 6已知直线l1的方向向量为 a(1， 2,2)，l2的方向向量为b(x,3，x)，且 l1l2， 则 x_. 解析： l1l2， ab，即 a· b0， x62x 3x6 0， x2. 答案： 2 7若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为150° ，则 l1与 l2这两条异面直线所成 的角等于 _ 解析： 根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成 的角等于30° . 答案： 30° 8在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2 x2,0)和点 Q(cos x， 1,3)，其 中 x0， ，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则x 的值为 _ 解析： 由 OPOQ，得 OP · OQ 0. 即(2cos x1)· cos x(2cos 2x2)· (1)0. cos x0 或 cos x 1 2. x0， ， x 2或 x 3. 答案： 2 或 3 三、解答题 9.如图，在三棱锥V-ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点 处，顶点A，B，V 分别在x，y， z 轴上， D 是线段AB 的中点，且 ACBC 2， VDC 3 ，求异面直线AC 与 VD 所成角的余弦值 解： 因为 ACBC2， D 是 AB 的中点， 所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0) 在 RtVCD 中， CD2， VDC 3，故 V(0,0， 6) 所以 AC ( 2,0,0)， VD (1,1，6) 所以 cos AC ， VD AC · VD | AC |VD | 2 2· 2 2 2 4 . 所以异面直线AC 与 VD 所成角的余弦值为 2 4 . 10.如图， 在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG 1 4CD.应用空间向量方法解 决下列问题 (1)求证： EF B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值 解： 建立如图所示的空间直角坐标系 由已知有E 0， 0， 1 2 ，F 1 2， 1 2，0 ，C(0,1,0)， B1(1,1,1)，C1(0，1,1)，G 0，3 4，0 . (1)证明： EF 1 2， 1 2， 0 0，0， 1 2 1 2， 1 2， 1 2 ， B1C (0,1,0)(1,1,1)(1,0， 1)， EF · B1C 1 2×(1) 1 2×0 1 2 ×(1)0， 得 EF B1C ， EF B1C. (2) C1G 0，3 4，0 (0,1,1) 0， 1 4， 1 ， |C1G | 0 2 1 4 2 12 17 4 ， 由(1)得| EF |1 2 2 1 2 2 1 2 23 2 ， 且 EF · C1G 1 2×0 1 2× 1 4 1 2 ×(1) 3 8， cos EF ， C 1G EF · C1G |EF | ·|C1G | 51 17 ， 异面直线EF 与 C1G 所成角的余弦值为 51 17 .