2020-2021中考数学锐角三角函数综合试题及详细答案.pdf

2020-2021中考数学 锐角三角函数综合试题及详细答案 一、锐角三角函数 1如图， AB是O 的直径，点C，D 是半圆 O 的三等分点，过点C作 O 的切线交AD的 延长线于点E，过点 D 作 DFAB 于点 F，交 O 于点 H，连接 DC，AC （1）求证： AEC=90 ° ； （2）试判断以点A，O，C，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若 DC=2，求 DH 的长 【答案】（ 1）证明见解析； （2）四边形AOCD为菱形； （3）DH=2 【解析】 试题分析：（ 1）连接 OC，根据 EC与O 切点 C，则 OCE=90 ° ，由题意得 ， DAC= CAB，即可证明AEOC，则 AEC+ OCE=180 ° ，从而得出 AEC=90 °； （2）四边形AOCD为菱形由（ 1）得，则 DCA=CAB可证明四边形AOCD是 平行四边形，再由OA=OC ，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边 形是菱形）； （3）连接 OD根据四边形AOCD为菱形，得 OAD 是等边三角形，则AOD=60 °，再由 DHAB于点 F，AB为直径，在RtOFD 中，根据sinAOD=，求得 DH 的长 试题解析：（ 1）连接 OC， EC与O 切点 C， OCEC ， OCE=90 °， 点 CD是半圆 O 的三等分点， ， DAC= CAB， OA=OC， CAB= OCA， DAC= OCA， AEOC （内错角相等，两直线平行） AEC+ OCE=180 °， AEC=90 °； （2）四边形AOCD为菱形理由是： ， DCA= CAB， CDOA， 又 AEOC ， 四边形 AOCD是平行四边形， OA=OC， 平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接 OD 四边形 AOCD为菱形， OA=AD=DC=2 ， OA=OD， OA=OD=AD=2， OAD是等边三角形， AOD=60 °， DHAB于点 F，AB为直径， DH=2DF， 在 RtOFD中， sinAOD=， DF=ODsinAOD=2sin60°=， DH=2DF=2 考点： 1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形 2如图 13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形 为 （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若， 求的值； 若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以 的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点 ，到达点后停止运动当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的 长和点走完全程所需的时间 【答案】（ 1）详见解析；（2）和走完全程所需时间为 【解析】 试题分析：（ 1）利用四边相等的四边形是菱形；（2） 构造直角三角形求； 先确定点沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间. 试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形 . 与交于点 O,且 关于对称 四边形是菱形 . （2） 连接,直线分别交于点,交于点 关于的对称图形为 在矩形中，为的中点，且O 为 AC的中点 为的中位线 同理可得：为的中点， 过点 P作交于点 由运动到所需的时间为3s 由 可得， 点 O 以的速度从P到 A 所需的时间等于以从 M 运动到 A 即： 由 O 运动到 P所需的时间就是OP+MA 和最小 . 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短. 在中，设 解得： 和走完全程所需时间为 考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置 3如图，四边形ABCD是菱形，对角线 AC与 BD 交于点 O，且 AC 80，BD60动点 M、N 分别以每秒1 个单位的速度从点A、 D 同时出发，分别沿A OD 和 DA运动，当 点 N 到达点 A时， M、N 同时停止运动设运动时间为t 秒 (1)求菱形 ABCD的周长； (2)记DMN 的面积为 S，求 S关于 t 的解析式，并求S的最大值； (3)当 t=30 秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得 DPO= DON？若存在， 这样的点P有几个？并求出点P到线段 OD 的距离；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）在菱形ABCD中， ACBD，AC=80， BD=60，。 菱形 ABCD的周长为200。 （2）过点 M 作 MPAD，垂足为点P 当 0t 40 时，如答图1， ， MP=AM?sinOAD= t。 S= DN?MP= × t × t=t2。 当 40 t 50 时，如答图2，MD=70t， ， MP= （70t）。 SDMN= DN?MP= × t ×（ 70t） =t 2+28t= （t 35） 2+490。 S关于 t 的解析式为。 当 0t 40 时， S随 t 的增大而增大，当t=40 时，最大值为480； 当 40t 50 时， S随 t 的增大而减小，最大值不超过480。 综上所述， S的最大值为480。 （3）存在 2 个点 P，使得 DPO=DON。 如答图 3 所示，过点N 作 NFOD 于点 F， 则 NF=ND?sinODA=30 ×=24， DF=ND?cos ODA=30 ×=18。 OF=12。 。 作 NOD 的平分线交NF 于点 G，过点 G 作 GHON 于点 H， 则 FG=GH 。 SONF= OF?NF=SOGF+SOGN= OF?FG+ ON?GH= （OF+ON）?FG。 。 。 设 OD中垂线与OD 的交点为K，由对称性可知：DPK= DPO= DON=FOG ， 。 PK=。 根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于 OD 轴对称的点P 。 存在两个点P到 OD 的距离都是 【解析】 试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定 理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度第（2）问 中，动点M 在线段 AO 和 OD 上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问 中，满足条件的点有2 个，注意不要漏解. （1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长； （2）在动点M、N 运动过程中： 当 0 t 40 时，如答图1 所示， 当 40 t 50 时，如 答图 2 所示分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值； （3）如答图4 所示，作ON 的垂直平分线，交EF于点 I，连接 OI，IN过点 N 作 NGOD，NHEF ，垂足分别为G，H易得 DNGDAO，由 EF垂直平分OD，得到 OE=ED=15 ，EG=NH=3 ，再设 OI=R，EI=x，根据勾股定理，在Rt OEI和 RtNIH 中，得到 关于 R 和 x 的 方程组，解得R 和 x 的值，把二者相加就是点P到 OD 的距离，即PE=PI IE=R+x ，又根据对称性可得，在BD 下方还存在一个点P也满足条件，故存在两个点P，到 OD 的距离也相同，从而问题解决 试题解析：（ 1）如图 )在菱形 ABCD中， OA= AC=40， OD= BD=30， ACBD， AD=50， 菱形 ABCD的周长为200； （2）(如图 )过点 M 作 MHAD 于点 H ( 如图 甲) 当 0t 40 时， sinOAD= ， MH= t， S= DN· MH=t 2 (如图 乙)当 40t 50 时， MD=80-t ， sinADO=-， MH= (70-t) ， S= DN· MH, =- t228t - (t-35) 2 490 S=， 当 0t 40 时， S随 t 的增大而增大，当t=40 时，最大值为480 当 40t 50 时， S随 t 的增大而增大，当t=40 时，最大值为480 综上所述， S的最大值为480； (3)存在 2 个点 P，使得 DPO= DON (如图 )作 ON 的垂直平分线，交EF于点 I，连接 OI，IN 过点 N 作 NGOD， NHEF ，垂足分别为G，H 当 t=30 时， DN=OD=30，易知 DNGDAO， NG=24，DG=18 EF垂直平分OD， OE=ED=15 ，EG=NH=3 ， 设 OI=R，EI=x，则 在 RtOEI中，有 R 2=152 x 2， 在 RtNIH 中，有 R 2=32(24-x)2， 由, 可得：, PE=PI IE= 根据对称性可得，在BD 下方还存在一个点P 也满足条件， 存在两个点P，到 OD的距离都是 考点：相似性综合题. 4我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与 E处之间悬挂了一副宣传 条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45° ，条幅底端E点的俯角为30° ，若 甲、乙两楼之间的水平距离BD 为 12 米，求条幅AE的长度 (结果保留根号) 【答案】AE的长为 (124 3) 【解析】 【分析】 在Rt ACFV中求 AF的长 , 在Rt CEFV中求 EF的长 ,即可求解 . 【详解】 过点C作CFAB于点 F 由题知：四边形CDBF为矩形 12CFDB 在Rt ACFV中，45ACF tan1 AF ACF CF 12AF 在Rt CEFV中，30ECF tan EF ECF CF 3 123 EF 4 3EF 124 3AEAFEF 求得AE的长为124 3 【点睛】 本题考查了三角函数的实际应用,中等难度 ,作辅助线构造直角三角形是解题关键. 5如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到 达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为 30° ，再向主 教学楼的方向前进24 米，到达点E处（ C，E，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为60° ，已知测角器CD的高度为1.6 米，请计算主教学楼AB 的高 度（ 3 1.73 ，结果精确到0.1 米） 【答案】 22.4m 【解析】 【分析】 首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构 造等量关系，进而求解 【详解】 解：在 RtAFG中， tanAFG= 3， FG= tan 3 AGAG AFG ， 在 RtACG中， tanACG = AG CG ， CG= tan AG ACG = 3AG 又 CG FG=24m， 即3AG 3 AG =24m， AG=12 3 m， AB=12 3+1.6 22.4 m 6某条道路上通行车辆限速60 千米 /时，道路的AB 段为监测区，监测点P 到 AB的距离 PH 为 50 米（如图）已知点P在点 A 的北偏东45° 方向上，且在点B的北偏西60° 方向 上，点 B在点 A的北偏东75° 方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为 超速？（参考数据： 3 1.7 ， 2 1.4 ） 【答案】车辆通过AB段的时间在8.1 秒以内，可认定为超速 【解析】 分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解 直角三角形即可. 详解：如图，由题意知CAB=75 ° ，CAP=45 ° ， PBD=60 ° ， PAH= CAB CAP=30 °， PHA=PHB=90 °，PH=50，AH= tan PH PAH = 50 3 3 =50 3， ACBD， ABD=180 ° CAB=105 °，PBH=ABD PBD=45 °， 则 PH=BH=50，AB=AH+BH=50 3+50， 60 千米 /时= 50 3 米/秒， 时间 t= 50 350 50 3 =3+3 3 8.1 （秒）， 即车辆通过AB 段的时间在8.1 秒以内，可认定为超速 点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即 实际路程，并进行判断相关的量。 7如图，在 ABC中， A=90° ，ABC=30° ，AC=3，动点 D 从点 A 出发，在AB 边上以每 秒 1 个单位的速度向点B 运动，连结CD，作点 A 关于直线CD的对称点E，设点 D 运动时 间为 t（s） （1）若 BDE是以 BE为底的等腰三角形，求t 的值； （2）若 BDE为直角三角形，求t 的值； （3）当 S BCE 9 2 时，所有满足条件的t 的取值范围（所有数据请保留准确值，参考 数据： tan15° =23） 【答案】（ 1） 3 3 2 ；（ 2）3秒或 3 秒；（ 3）633 t 3 【解析】 【分析】 （1）如图 1，先由勾股定理求得AB 的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直 平分 AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE ，所以 AD=DE=BD ，由 AB=3 3，可得 t 的值； （2）分两种情况： 当DEB=90° 时，如图2，连接 AE，根据 AB=3t=3 3，可得 t 的值； 当EDB=90° 时，如图3，根据 AGC EGD ，得 AC=DE ，由 ACED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3 ，即 t=3； （3）BCE中，由对称得：AC=CE=3 ，所以点 D 在运动过程中，CE的长不变，所以BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化， 当BCE在 BC的下方时， 当BCE在 BC的上方时， 分别计算当高为3 时对应的 t 的值即可得结论 【详解】 解：（ 1）如图 1，连接 AE， 由题意得： AD=t， CAB=90 °，CBA=30 °， BC=2AC=6 ， AB= 22 63 =3 3， 点 A、E关于直线 CD的对称， CD 垂直平分 AE， AD=DE， BDE是以 BE为底的等腰三角形， DE=BD， AD=BD， t=AD= 3 3 2 ； （2）BDE为直角三角形时，分两种情况： 当DEB=90° 时，如图2，连接 AE， CD 垂直平分 AE， AD=DE=t， B=30 °， BD=2DE=2t， AB=3t=3 3 ， t= 3； 当EDB=90° 时，如图 3， 连接 CE ， CD 垂直平分 AE， CE=CA=3 ， CAD= EDB=90 °， ACED， CAG= GED， AG=EG ，CGA= EGD ， AGC EGD ， AC=DE ， ACED， 四边形 CAED是平行四边形， AD=CE=3 ，即 t=3； 综上所述， BDE为直角三角形时，t 的值为 3秒或 3 秒； （3）BCE中，由对称得：AC=CE=3 ，所以点 D 在运动过程中，CE的长不变，所以BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化， 当BCE在 BC的下方时，过B 作 BHCE，交 CE的延长线于H，如图 4，当 AC=BH=3 时， 此时 S BCE= 1 2 AE?BH=1 2 × 3× 3= 9 2 ， 易得 ACG HBG， CG=BG ， ABC= BCG=30 °， ACE=60 °30 °=30 °， AC=CE ，AD=DE，DC=DC ， ACDECD， ACD= DCE=15 °， tanACD=tan15 °= t 3 =2 3， t=63 3， 由图形可知： 0t63 3时， BCE的 BH 越来越小，则面积越来越小， 当BCE在 BC的上方时，如图3，CE=ED=3 ，且 CE ED， 此时 S BCE= 1 2 CE?DE= 1 2 × 3× 3= 9 2 ，此时 t=3， 综上所述，当S BCE 9 2 时， t 的取值范围是633 t 3 【点睛】 本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问 题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题， 学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题 8如图，在平面直角坐标系中，直线DE交 x 轴于点 E（30，0），交 y 轴于点 D（0， 40），直线AB：y 1 3 x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，交直线DE于点 P，过点 E作 EF x 轴交直线AB 于点 F，以 EF为一边向右作正方形EFGH （1）求边 EF的长； （2）将正方形EFGH沿射线 FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形 E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与 y 轴垂直，设平移的时间为t 秒（ t0） 当点 F1移动到点B 时，求 t 的值； 当 G1 ，H 1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与APE 重叠部分的面积 【答案】（ 1）EF 15；（ 2）10 ；120 ； 【解析】 【分析】 （1）根据已知点E（30，0），点 D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=- 4 3 x+40，可 求出 P点坐标，进而求出F 点坐标即可； （2） 易求 B（0，5），当点F1移动到点 B时， t=10 10÷10=10； F点移动到F'的距离是 10 t，F垂直 x 轴方向移动的距离是t，当点 H 运动到直线DE 上时，在 RtF'NF中， NF NF = 1 3 ，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在 RtDMH'中， 4 3 MH EM ， t=4，S=1 2 × (12+ 45 4 ) × 11= 1023 8 ；当点 G 运动到直线DE上时，在RtF'PK中， PK F K = 1 3 ， PK=t-3，F'K=3t-9，在 RtPKG'中， PK KG 3 1539 t t 4 3 ，t=7，S=15 × （15-7） =120. 【详解】 （1）设直线DE的直线解析式ykx+b， 将点 E（30，0），点 D（0，40）， 300 40 kb b ， 4 3 40 k b ， y 4 3 x+40， 直线 AB与直线 DE的交点 P（21，12）， 由题意知F（30，15）， EF15； （2） 易求 B（0，5）， BF10 10， 当点 F1移动到点B 时， t10 101010； 当点 H 运动到直线DE上时， F点移动到F'的距离是10 t， 在 RtF'NF中， NF NF = 1 3 ， FNt，F'N3t， MH' FNt， EMNG'15F'N153t， 在 RtDMH'中， 4 3 MH EM ， 4 1533 t t ， t4， EM3，MH'4， S 1451023 (12)11 248 ； 当点 G 运动到直线DE上时， F点移动到F'的距离是10 t， PF3 10， PF' 10t310， 在 RtF'PK中， 1 3 PK F K ， PKt3，F'K 3t9， 在RtPKG'中， PK KG 3 1539 t t 4 3 ， t7， S15 × （157） 120. 【点睛】 本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键 9如图，公路AB为东西走向，在点 A北偏东36.5 方向上，距离5千米处是村庄 M ， 在点A北偏东53.5方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产 收购站 P(取点P在AB上)，使得M ，N两村庄到 P站的距离之和最短，请在图中作出 P的位置（不写作法）并计算： （1）M，N两村庄之间的距离； （2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据： sin36.5 °0.6，cos36.5 °0.8， tan36.5 ° 0.75 计算结果保留根号 .） 【答案】 (1) M， N 两村庄之间的距离为29千米 ;(2) 村庄 M、N 到 P 站的最短距离和是 5 5千米 【解析】 【分析】 （1）作 N 关于 AB的对称点N'与 AB交于 E，连结 MN 与 AB 交于 P，则 P为土特产收购站 的位置求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题 （2）由题意可知，M、N 到 AB上点 P的距离之和最短长度就是MN 的长 【详解】 解：作 N 关于 AB的对称点N'与 AB交于 E，连结 MN 与 AB 交于 P，则 P为土特产收购站 的位置 （1）在 RtANE中， AN=10， NAB=36.5° NE=AN?sinNAB=10?sin36.5° =6， AE =AN?cosNAB=10?cos36.5° =8， 过 M 作 MCAB 于点 C， 在 RtMAC中， AM=5， MAB=53.5° AC=MA?sinAMB=MA?sin36.5° =3， MC=MA?cosAMC=MA?cos36.5 ° =4， 过点 M 作 MDNE 于点 D， 在 RtMND 中， MD=AE-AC =5， ND=NE-MC=2， MN= 22 52 = 29 ， 即 M，N 两村庄之间的距离为29 千米 （2）由题意可知，M、N 到 AB上点 P的距离之和最短长度就是MN 的长 DN =10，MD=5，在 RtMDN中，由勾股定理，得 MN= 22 510 =5 5（千米） 村庄 M、N 到 P站的最短距离和是5 5千米 【点睛】 本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题 10兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现 代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31° ，拉索 AB 的长 为 152 米，主塔处桥面距地面7.9 米（ CD的长），试求出主塔BD的高（结果精确到0.1 米，参考数据：sin31 °0.52，cos31°0.86，tan31°0.60） 【答案】主塔BD 的高约为86.9 米 【解析】 【分析】 根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出 . 【详解】 在 RtABC中， ACB =90° ， sin BC A AB sin152sin311520.5279.04BCABA 79.047.986.9486.9BDBCCD（米） 答：主塔BD 的高约为86.9 米 【点睛】 本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键. 11如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边 AB在 x 轴上，点 B 坐标（ 6， 0），点 C在 y 轴正半轴上，且cosB 3 5 ，动点 P从点 C出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点 移动（ P点到达 D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P作平行于y 轴的直线l 与菱形 的其它边交于点Q （1）求点 D 坐标； （2）求 OPQ的面积 S关于 t 的函数关系式，并求出S的最大值； （3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使 S 3 20 ABCD S菱形 ？若存在，求出t 的值；若 不存在，请说明理由 【答案】（ 1）点 D 的坐标为（ 10，8）（ 2）S关于 t 的函数关系式为 S 2 4 (04) 220 (410) 33 tt ttt 剟 , ，S的最大值为 50 3 （ 3）3 或 5+ 7 . 【解析】 【分析】 （1）在 RtBOC中，求 BC,OC, 根据菱形性质再求D 的坐标；（ 2）分两种情况分析： 当 0 t4时和 当 4t10 时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两 种情况分析：当0 t4时， 4t12，；当 4t10 时， 2 220 12 33 tt 【详解】 解：（ 1）在 RtBOC中， BOC 90° ， OB6，cosB 3 5 ， 10 cos OB BC B 22 8OCBCOB 四边形 ABCD为菱形， CDx 轴， 点 D 的坐标为（ 10，8） （2）ABBC10，点 B 的坐标为（ 6，0）， 点 A 的坐标为（ 4，0） 分两种情况考虑，如图1 所示 当 0 t4时， PQOC8，OQt， S 1 2 PQ?OQ4t， 40， 当 t4 时， S取得最大值，最大值为16； 当 4t 10 时，设直线AD 的解析式为ykx+b（k0 ）， 将 A（4，0）， D（10，8）代入 ykx+b，得： 4kb0 10kb8 ，解得： 4 k 3 16 b 3 ， 直线 AD 的解析式为 416 33 yx 当 xt 时， 416 33 yt， 4164 8(10) 333 PQtt 2 1220 233 SPQ OPtt 22202502 (5),0 33333 StttQ当 t5 时， S取得最大值，最大值为 50 3 综上所述： S关于 t 的函数关系式为 S 2 4 (04) 220 (410) 33 tt ttt 剟 , ，S的最大值为 50 3 （3）S菱形ABCDAB?OC 80 当 0 t 4 时， 4t12， 解得： t3； 当 4t10时， 2220 33 tt12， 解得： t1 5 7（舍去）， t25+ 7 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使 S 3 20 ABCD S菱形，t 的值为 3 或 5+ 7 【点睛】 考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键. 12如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为 ，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度 .（参考数据： , ，） 【答案】旗杆的高度约为. 【解析】 【分析】 在 RtBDC中，根据tan BDC=求出 BC ，接着在Rt ADC中，根据 tanADC=即可求出AB的长度 【详解】 解： 在 RtBDC中， tan BDC=1，BC=CD= 40m 在 RtADC中， tanADC= tan50°= =1.19 AB7.6m 答：旗杆AB的高度约为7.6m. 【点睛】 此题主要考查了三角函数的应用 13如图 ,在菱形ABCD中,60B，4AB.点P从点 A出发以每秒 2 个单位的速 度沿边 AD向终点D运动，过点P作 PQAC交边 AB于点Q，过点P向上作 /PNAC，且 3 2 PNPQ，以PN、PQ为边作矩形 PQMN.设点P的运动时间为t （秒），矩形 PQMN 与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S. （1）用含t的代数式表示线段PQ的长 . （2）当点 M落在边BC上时，求 t的值 . （3）当0t1时，求S与t之间的函数关系式， （4）如图 ,若点O是AC的中点，作直线OM .当直线 OM 将矩形PQMN分成两部分图 形的面积比为 1 2：时，直接写出 t的值 【答案】（ 1） 2 3PQt；（ 2） 4 5 ；（ 3） 2 19340316 3tt ；（ 4） 2 3 t或 8 7 t 【解析】 【分析】 （1）由菱形性质得D= B=60 ° ， AD=AB=CD=4 ，ACD是等边三角形，证出APQ是等腰 三角形，得出PF=QF ， PF=PA?sin60 °= 3t，即可得出结果； （2）当点 M落在边BC上时，由题意得： PDN是等边三角形，得出PD=PN，由已知得 PN= 3 2 PQ=3t，得出 PD=3t，由题意得出方程，解方程即可； （3）当 0t 4 5 时， PQ=2 3t，PN= 3 2 PQ=3t，S=矩形 PQMN 的面积 =PQ × PN ，即可得出 结果；当 4 5 t1 时， PDN 是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t ， FEN=PED=60 °，得出 NE=PN-PE=5t-4 ，FN= 3 NE= 3（5t-4）， S=矩形 PQMN 的面积 - 2EFN的面积，即可得出结果； （4）分两种情况：当0t 4 5 时， ACD是等边三角形，AC=AD=4，得出 OA=2，OG是 MNH 的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可； 当 4 5 t 2 时，由平行线得出OEF MEQ，得出 EFOF EQMQ ，即 2 33 EFt tEFt ， 解得 EF= 2 4 3 2 32tt t ，得出 EQ= 2 332 2 3 4 tt t t ，由三角形面积关系得出方程，解方 程即可 【详解】 （1）在菱形 ABCD中， B=60 ° ， D=B=60 °，AD=AB=CD=4 ， ACD是等边三角形， CAD=60 °， PQAC， APQ是等腰三角形， PF=QF ， PF=PA?sin60° =2t × 3 2 = 3t， PQ=2 3t； （2）当点 M 落在边 BC上时，如图2 所示： 由题意得： PDN 是等边三角形， PD=PN， PN= 3 2 PQ= 3 2 ×23t=3t， PD=3t， PA+PD=AD ， 即 2t+3t=4 ， 解得： t= 4 5 （3）当 0t 4 5 时，如图1 所示： PQ=2 3t，PN= 3 2 PQ= 3 2 ×23t=3t， S=矩形 PQMN 的面积 =PQ × PN=23t × 3t=63t2； 当 4 5 t1 时，如图3 所示： PDN是等边三角形， PE=PD=AD-PA=4-2t ， FEN= PED=60 °， NE=PN-PE=3t- （4-2t）=5t-4， FN= 3NE=3（5t-4）， S=矩形 PQMN 的面积 -2EFN的面积 =6 3t 2-2 × 1 2 × 3（5t-4） 2=-19t2+40 3t-163， 即 S=-19t2+40 3 t-16 3； （4）分两种情况：当0t 4 5 时，如图4 所示： ACD是等边三角形， AC=AD=4， O 是 AC的中点， OA=2，OG 是MNH 的中位线， OG=3t-（2-t）=4t-2，NH=2OG=8t-4， MNH 的面积 = 1 2 MN × NH=1 2 ×23t × （ 8t-4）= 1 3 ×63t 2， 解得： t= 2 3 ； 当 4 5 t 2 时，如图5 所示： ACQM， OEF MEQ， EFOF EQMQ ，即 2 33 EFt tEFt ， 解得： EF= 2 4 3 2 32tt t ， EQ= 2 332 2 3 4 tt t t ， MEQ的面积= 1 2 × 3t ×（ 2 332 2 3 4 tt t t ）= 1 3 ×6 3 t2， 解得： t= 8 7 ； 综上所述，当直线 OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，t的值为 2 3 或 8 7 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾 股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较 大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键 14如图，在ABC中，10ACBC， 3 cos 5 C,点P是BC边上一动点（不与点,A C 重合），以 PA长为半径的 Pe与边 AB的另一个交点为D，过点D作DE CB于点 E. 1 当Pe与边BC相切时，求Pe的半径； 2 联结BP交DE于点F，设AP的长为 x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式， 并直接写出x的取值范围； 3在2的条件下，当以 PE长为直径的 Qe 与Pe相交于AC边上的点G时，求相交 所得的公共弦的长. 【答案】（ 1） 40 9 ；（ 2） 2 5880 010 320 xxx yx x ；（ 3）102 5 【解析】 【分析】 （1）设 P与边 BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接 HP，则 HPBC， cosC=3 5 ，则 sinC= 4 5 ，sinC= HP CP = R 10R = 4 5 ，即可求解； （2）PD BE ，则 EB PD BF PF ，即： 2 2 4 880 5 x xxy xy ，即可求解； （3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD ，即： AB=DB+AD=AG+AD=4 5，即可 求解 【详解】 （1）设 P与边 BC相切的切点为H，圆的半径为R， 连接 HP，则 HPBC， cosC=3 5 ，则 sinC= 3 5 ， sinC= HP CP = R 10R = 4 5 ，解得： R= 40 9 ； （2）在 ABC中， AC=BC=10 ，cosC=3 5 ， 设 AP=PD=x ，A= ABC= ，过点 B作 BHAC， 则 BH=ACsinC=8 ， 同理可得： CH=6，HA=4， AB=4 5，则： tanCAB=2BP= 2 2 84x = 2 880xx ， DA= 2 5 5 x，则 BD=4 5- 2 5 5 x， 如下图所示， PA=PD， PAD= CAB=CBA= ， tan =2，则 cos = 1 5 ，sin = 2 5 ， EB=BDcos= （4 5- 2 5 5 x）× 1 5 =4- 2 5 x， PDBE ， EB PD BF PF ，即： 2 2 4 880 5 x xxy xy ， 整理得： y= 2 5xx8x80 0x10 3x20 ； （3）以 EP为直径作圆Q 如下图所示， 两个圆交于点G，则 PG=PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD 为相交 所得的公共弦， 点 Q 时弧 GD的中点， DGEP ， AG 是圆 P的直径， GDA=90 °， EPBD， 由（ 2）知， PDBC，四边形 PDBE为平行四边形， AG=EP=BD ， AB=DB+AD=AG+AD=4 5， 设圆的半径为r，在 ADG 中， AD=2rcos = 2 5 r ，DG= 4 5 r ，AG=2r， 2 5 r +2r=4 5，解得： 2r= 20 51 ， 则： DG= 4 5 r =10-2 5， 相交所得的公共弦的长为10-2 5 【点睛】 本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要 关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大 15如图所示，一堤坝的坡角62ABC，坡面长度 2