2018版数学人教A版选修2-2学案：第一章导数及其应用1-1-1~1-1-2含答案精品.pdf

11.1变化率问题 11.2导数的概念 学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导 数的定义求函数在某点处的导数 知识点一函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A 是出发点， H 是山 顶爬山路线用函数y f(x)表示 自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A 的 坐标为 (x1，y1)，点 B 的坐标为 (x2，y2) 思考 1若旅游者从点A 爬到点 B，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案自变量 x 的改变量为x2x1，记作 x，函数值的改变量为y2y1，记作 y. 思考 2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案对山路 AB 来说，用 y x y2y1 x2x1可近似地刻画其陡峭程度 思考 3观察函数yf(x)的图象，平均变化率 y x f x2 f x1 x2 x1 表示什么？ 答案观察图象可看出， y x表示曲线 yf(x)上两点 (x1，f(x1)， (x2，f(x2)连线的斜率 梳理函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率 (1)定义式： y x f x2f x1 x2x1 . (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比 (3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢 (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数 yf(x)的图象上两点，则平均变化率 y x f x 2 f x1 x2x1 表示割线 P1P2的斜率 知识点二瞬时速度 思考 1物体的路程s与时间 t的关系是 s(t) 5t2.试求物体在 1,1 t这段时间内的平均速度 答案 s5(1 t)2510 t5( t)2， v s t 105 t. 思考 2当 t 趋近于 0 时，思考1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 答案当 t 趋近于 0 时， s t 趋近于 10，这时的平均速度即为当t1 时的瞬时速度 梳理瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 (2)一般地，设物体的运动规律是ss(t)， 则物体在t0到 t0 t 这段时间内的平均速度为 s t s t0 t s t0 t .如果 t 无限趋近于0 时， s t 无限趋近于某个常数v，我们就说当 t 趋近于 0 时， s t 的极限是v，这时 v 就是物体在时刻tt0时的瞬时速度，即瞬时速度v lim t0 s t lim t0 s t0 t s t0 t . 知识点三函数在某点处的导数 对于函数f(x) x21. 思考如何求 f(x0)? 答案f(x0) lim x0 x0 x 2 1 x2 01 x lim x0 (2x0 x) 2x0. 梳理函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率lim t0 y x lim t0 f x0 x f x0 x ，我们称它为函数y f(x)在 xx0处的导数，记作f(x0)或 y|x x0，即 f (x0)lim t0 y xlim t0 f x0 x f x0 x . 类型一函数的平均变化率 命题角度1求函数的平均变化率 例 1(1)已知函数yf(x)2x23x5. 求：当x14，x25 时，函数增量 y和平均变化率 y x； 求：当x14，x24.1 时，函数增量 y 和平均变化率 y x. (2)求函数 yf(x)x 2 在 x1,2,3 附近的平均变化率，取 x 都为 1 3，哪一点附近的平均变化 率最大？ 解(1)因为 f(x)2x 23x5， 所以 yf(x1 x)f(x1) 2(x1 x)2 3(x1 x)5(2x2 13x15) 2( x)22x1 x3 x 2( x) 2 (4x 1 3) x. y x 2 x 2 4x 13 x x 2 x(4x13) 当 x14， x25 时， x1， y2( x) 2(4x 13) x21921， y x21. 当 x14， x24.1 时， x0.1， y2( x) 2(4x 13) x0.021.91.92. y x2 x (4x1 3)19.2. (2)在 x1 附近的平均变化率为 k1 f 1 x f 1 x 1 x 2 1 x 2 x； 在 x2 附近的平均变化率为 k2 f 2 x f 2 x 2 x 2 22 x 4 x； 在 x3 附近的平均变化率为 k3 f 3 x f 3 x 3 x 2 32 x 6 x. 当 x 1 3时， k12 1 3 7 3， k241 3 13 3 ，k36 1 3 19 3 . 由于 k1v乙 Bv甲0)围成的 OAB 的面积为 S(t)，则 S(t)在 t2 时的瞬时变化率是_ 答案2 3 解析由 ABOB 2OA2 3t， S(t) 1 2· OA· AB 1 2t· 3t 3 2 t 2， S(2) lim t0 S 2 t S 2 t lim t0 3 2 2 t 2 2 3 t 2 3. 三、解答题 11若函数yf(x) x 2x 在2,2 x( x0)上的平均变化率不大于 1，求 x 的取值范 围 解函数 f(x)在2,2 x上的平均变化率为 y x f 2 x f 2 x 2 x 2 2 x 42 x 3 x， 由 3 x1，得 x2. 又 x0， x 的取值范围是 (0， ) 12已知 f(x)x 2，g(x)x3，求适合 f(x0)2g(x0)的 x0的值 解由导数的定义知， f(x0) lim x0 x0 x 2x2 0 x 2x0， g(x0) lim x0 x0 x 3x3 0 x 3x2 0. 因为 f(x0)2g (x0)， 所以 2x023x 2 0，即 3x 2 02x020. 解得 x0 17 3 或 x01 7 3 . 13某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位： m)是 yf(x) 2 3x 3 x2 2x. (1)求在第 1s 内的平均速度； (2)求在 1s末的瞬时速度； (3)经过多长时间该物体的运动速度达到14m/s? 解(1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度 )为 f 1 f 0 1 0 11 3 m/s. (2) y x f 1 x f 1 x 2 3 1 x 3 1 x2 2 1 x 11 3 x 63 x 2 3( x) 2. 当 x0 时， y x6， 所以物体在1s 末的瞬时速度为6m/s. (3) y x f x x f x x 2 3 x x 3 x x22 x x 2 3x 3x22x x 2x22x22 3( x) 22x· x x. 当 x0 时， y x2x 22x 2， 令 2x22x 214，解得 x2， 即经过 2s 该物体的运动速度达到14m/s. 四、探究与拓展 14.如图所示，物体甲、乙在时间0 到 t1范围内路程的变化情况，则在 0 到 t0范围内甲的平 均速度 _乙的平均速度，在t0到 t1范围内甲的平均速度_乙的平均速度(填 “等于”、 “大于”或“小于”) 答案等于大于 解析由图可知，在 0，t0上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在 t0，t1上，甲的平均 速度大于乙的平均速度 15跳水运动员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位： s)存在函数关系h(t) 4.9t 26.5t10. (1)求运动员在 0， 65 49这段时间内的平均速度； (2)运动员在 0， 65 49这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ 解(1) v h 65 49 h 0 65 490 4.9× 65 49 2 6.5×65 49 1010 65 490 0(m/s)， 即运动员在 0，65 49这段时间内的平均速度是 0m/s. (2)运动员在这段时间里显然不是静止的 (3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动 的方向改变时 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有