2019九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题(新版)青岛版.pdf

1 四点共圆问题大盘点 1. 四点共圆的性质： （1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等； （2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的外角等于内对角。 2. 四点共圆常用的判定方法： 判定 1： 到定点的距离等于定长的点在同一圆上。 2 如果：OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。 判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直 径。 如果：ABD和BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。 判定 3： 共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。 如果：A、D在公共边BC同侧，且A=D，则A、B、C、D四点共圆。 判定 4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、 C、D四点共圆。 3 如果： 1+2=180°或 1=3，则A、B、C、D四点共圆。 判定 5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、 C、D四点共圆。（相交弦定理的逆定理） 例题（郑州模拟）如图，在正ABC 中，点 D，E分别在边AC ，AB上，且 AD= 3 1 AC， AE= 3 2 AB ， BD ，CE相交于点F。 （1）求证：A、E、F、D四点共圆； （2）若正ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径。 解析： （1） 依题意，可证得BADCBE， 从而得到ADB=BEC? ADF+AEF=180°， 即可证得A，E，F，D四点共圆； 4 （2） 取AE的中点G， 连接GD， 可证得AGD为正三角形，GA=GE=GD= 3 2 ， 即点G是AED 外接圆的圆心，且圆G的半径为 3 2 。 答案： （1）证明：AE= 3 2 AB， BE= 3 1 AB， 在正ABC中，AD= 3 1 AC， AD=BE， 又AB=BC，BAD=CBE， BADCBE， ADB=BEC， 即ADF+AEF=180°，所以A，E，F，D四点共圆。 （2）解：如图， 取AE的中点G，连接GD，则AG=GE= 1 2 AE， AE= 3 2 AB， AG=GE= 1 3 AB= 3 2 ， AD= 1 3 AC= 3 2 ，DAE=60°，AB=AC AGD为正三角形， GD=AG=AD= 3 2 ，即 GA=GE=GD= 3 2 ， 所以点 G是AED外接圆的圆心，且圆G的半径为 3 2 ， 由于 A，E， F，D四点共圆，即A，E，F， D四点共圆G，其半径为 3 2 。 点拨： 本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能 力的考查，属于难题。 【方法定位】 5 将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现， 适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说， 四点 共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。 例题（河南模拟）如图：AB是O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是O的 割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作O的切线，切 点为H。 （1）求证：C，D，E，F四点共圆； （2）若GH=6，GE=4，求EF的长。 解析： （1）连接 DB，利用 AB是O 的直径，可得 ADB=90 °，在RtABD和 RtAFG 中， ABD= AFE ，又同弧所对的圆周角相等可得ACD= ABD ，进而得到 ACD= AFE即可 证明四点共圆； （2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE·GF=GC·GD。由GH是O的切 线，利用切割线定理可得GH 2=GC ·GD，进而得到GH 2=GE ·GF。即可 答案： 证明： （1）连接 DB ，AB是O 的直径， ADB=90 °， 在 RtABD和 RtAFG中， ABD= AFE ， 又 ABD= ACD ， ACD= AFE 。 C，D，E，F四点共圆； （2）C，D，E，F四点共圆，GE·GF=GC·GD。 GH是O的切线，GH 2=GC ·GD，GH 2=GE ·GF。 又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。 EF=GFGE=94=5。 点拨： 熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切 割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及知识点较全面。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. 锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成 四点共圆的组数是（） A. 4组B. 5组C. 6组D. 7组 6 2. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD 边的中点，下列说法： 当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。 当ACBD时，M、E、N、F四点共圆。 当AC=BD且ACBD时，M、E、N、F四点共圆。 其中正确的是（） A. B. C. D. 3. 如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为 100°、 40°，则P的度数为（） A. 40 °B. 35 ° C. 60 °D. 30 ° 4. （高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，CM切O于点C， BCM=60°，则B的正切值是（） A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 5. 已知Pi（i=1，2，3，4）是抛物线y=x 2+bx+1 上共圆的四点，它们的横坐标分别为 xi （i=1，2，3，4） ，又xi（i=1，2，3，4）是方程（x 24x+m ） （x 24x+n）=0 的根，则二次 函数y=x 2+bx+1 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 6. 如图，在ABC中，AD，BE分别是A，B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C， D，O，E四点共圆，DE=3，则ODE的内切圆半径为。 7 7. （济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76°，则CBD= 度。 8. 已知ABC的中线AD、BE交于K，AB=3，且K，D，C，E四点共圆， 则CK= 。 *9. 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B，E，F，C四点共圆。若DB=BE=EA，则过B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为。 三、解答题 10. （太原模拟）如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别 为B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E。ADDC，D为垂足。 （1）求证：A、D、F、B四点共圆； （2）求证：EF=FB。 8 *11. （贵阳模拟）如图，AP是圆O的切线，A是切点，ADOP于D点，过点P作圆O的 割线与圆O相交于B，C两点。 （1）证明：O、D、B、C四点共圆。 （2）设OPC=30°，ODC=40°，求DBC的大小。 *12. （长春模拟）如图，在ABC中，C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K 和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。 （1）求证：E、H、M、K四点共圆； （2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。 9 一、选择题 1. C 解析：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E） ， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D） ， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E） ， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B） ， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C） ， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C） ， 共 6 组。 故选C。 2. C 解析：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示， 点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点， EMBDNF，ENACMF，EM=NF= 1 2 BD，EN=MF= 1 2 AC， 四边形ENFM是平行四边形， 当AC=BD时， 则有EM=EN， 所以平行四边形ENFM是菱形， 而菱形的四个顶点不一定共圆， 故不一定正确； 当ACBD时， 由EMBD，ENAC可得：EMEN，即MEN=90°， 所以平行四边形ENFM是矩形， 则有OE=ON=OF=OM。 所以M、E、N、F四点共圆， 故正确； 当AC=BD且ACBD时， 同理可得：四边形ENFM是正方形。 则有OE=ON=OF=OM。 所以M、E、N、F四点共圆， 故正确。 故选C。 10 3. D 解：连接BD， AB=100°， ADB=100°× 1 2 =50°， 又CD=40°， B=20°， 在DBP中，P=ADBB=50°20°=30°。 故选D。 4. B 解：连接BD， AB是直径，则ADB=90°， CDB=BCM=60°， CDA=CDB+ADB=150°， CBA=180°CDA=30°， tanABC=tan30°= 3 3 ， 故选B。 5. C 解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。 所以由（x 24x+m ） （x 24x+n）=0 可知，该抛物线的对称轴为 x=2。 则b=4。 所以最小值为 2 4 1 1-4 =-3 4 1 （） 。 11 二、填空题 6. 解：作OFED于点F， AD，BE分别是A，B的角平分线， AOB=90°+ 1 2 C，CO平分ACB， 又DOE=AOB，DOE+C=180°， C=60°，DOE=AOB=120°， 90°+ 2 1 CC=180° 在 AB上截取 AM=AE ，可得AOEAOM OE=OM， DOE=120°， EOA=AOM=DOB=BOM=60°， BOMBOD OD=OM， OD=OE， OED=ODE=30°， FD= 3 2 ， tan30°= 3 2 FOFO DF ， FO= 3 2 ，OD=OE=3， ODE的周长为： 23+3， ODE的面积为： 1 2 ×3× 3 2 = 3 3 4 ， ODE的内切圆半径为 3 3 3 3 2 3 2 2 33 ， 故答案为： 3 3 3 2 。 7. 解：AB=AC=AD， 点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点， 12 CBD是弧CD所对的圆周角，CAD是弧CD所对的圆心角； CAD=76°， CBD= 1 2 CAD= 1 2 ×76°=38°。 8. 解：作ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，则K，D，C，E四点共圆， DEBA BHC=BAC=DEC=DKC， AKHB， D为BC的中点 点K是CH的中点，即CK=KH， 又K是重心， FK=HF= 1 3 CF， 由相交弦定理，得BF×FA=CF×FH， 3 2 · 3 2 = 1 3 CF 2， CF= 3 2 ， CK= 2 3 3 2 =1， 故答案为 1。 9. 解：如图所示， 连接EF。DC是ABC的外接圆的切线，DCB=EAF， BC·AE=DC·AF， BCDC AFAE ， BCDFAE， CBD=AFE， B、E、F、C四点共圆， AFE=CBE， CBD=CBE， 又CBD+CBE=180°，CBE=90°， AC是ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径。 不妨设DB=1，则BE=EA=DB=1， 由切割线定理可得：DC 2=DB ?DA=1×3， 3DC ， 13 在DCE中，由DB=BE，CBDE。CE=DC=3， 在RtCBE中，BC 2=CE2 BE 2 = 2 2 312， 在RtABC中，AC 2=BC2+AB2=2+22=6。 过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值= 2 2 2 2 () 31 2 62 () 2 CE CE AC AC 。 故答案为 1 2 。 三、解答题 10. 证明： （1）FB是半圆O的切线， ABF=90°， 又ADDC， ADF=90°， A，D，F，B四点共圆。 （2）解：连接BC，则BCAC， DF是半圆的切线， DCA=ABC， DCA=ECF， ECF=ABC， 在RtABE中，BCAE， ABC=E， ECF=E，EF=FC， FC，FB是半圆的切线， FC=FB， EF=FB。 11. 解： （1）证明：AP是圆O的切线，A是切点， OAAP， ADOP， 14 AP 2=PD ·PO， AP是圆O的切线，PBC是圆O的割线， AP 2=PB ·PC， PD·PO=PB·PC， PDPB PCPO ， DPB=CPO， DPBCPO， PDB=PCO， O，D，B，C四点共圆； （2）解：连接OB，则OBC=ODC=40°， OCB=40°， O，D，B，C四点共圆， PDB=OCB=40°， DBC=30°+40°=70°。 12. （1）证明：连接CH，AC=AH，AK=AE，四边形CHEK为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补， 故C，H，E，K四点共圆， 同理C，E，H，M四点共圆， 即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上。 （2）解：连接EM， 由（ 1）得E，H，M，C，K五点共圆， CEHM为等腰梯形，EM=HC， 故MKE=CEH， 由KE=EH可得KME=ECH， 故MKECEH， 即KM=EC=3。 一、选择题 下列属于相对脆弱的自然生态系统的是 绿洲荒漠交界带水土流失严重区 地质灾害易发区高寒带生态系统 解析：选D 相对脆弱的自然生态系统常见的有海岛生态系统、干旱区生态系统和高寒带生态系统等。 下列属于非洲的荒漠化问题特别严重的自然原因是( 气候干旱乱垦滥伐 过度放牧破坏植被 解析：选A 非洲北部为热带沙漠气候，降水稀少，气候干旱，荒漠化问题特别严重；乱垦滥伐、过度放牧和破坏植被为人为原因。 新中国成立以来，我国沙漠化土地面积不断扩大，河北怀来沙漠离北京天安门已不足70 km。我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果；10%是水资源利用不当和工矿建设破坏林草造成的；5% 是沙丘入侵农田和草场所致。据此完成题。 这些沙漠化土地主要分布在( 华南、华东和华北地区 西北、西南和东北地区 西北、东北和华北地区 东北、华北和西南地区 这些沙漠化土地的形成( 主要是人类对土地进行不合理的开发和利用，使植被受到破坏所致 是人类发展工农业所致 主要是由于降水减少，蒸发加剧 是由于气候干旱，沙丘不断向农牧业土地推进 解析：3.C 4.A第题，沙漠化土地主要分布在干旱、半干旱和具有旱害的半湿润地区，在我国主要分布在东北、华北和西北地区。第题，由材料可知，我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果。 位于长江中上游的某茶场，茶园面积600 亩，每年四月、七月、十一月要锄草三次，久而久之，茶园“消瘦”了。同时，锄草需要大量劳动力，困惑之际，茶场主人想到“羊喜吃嫩草，却不吃嫩茶”，于是把羊引进茶园，既节约人力、物力，又保持了水土，肥沃了茶园，可谓一举两得。据此完成题。 长江中上游植被破坏后，给下游地区带来的危害是( 泥沙淤积河、湖，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁 水土流失日趋严重 气候恶化，导致全球气候变暖 河流径流的季节变化减小 根据长江流域地理特征可以推知，三次锄草中，水土流失最严重的是( 四月、七月四月 七月十一月 茶园“消瘦”的主要原因是( 缺乏分解者 缺少枯枝落叶 土壤中有机质被微生物分解 表层土壤被大量冲走 解析：5.A 6.C7.D第题，长江中上游植被破坏后，导致水土流失加重，河流含沙量增大，因而造成下游淤积严重，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁。第题，长江流域降水夏季最为集中，在暴雨冲刷下，水土流失严重，因此四月、七月、十一月相比，水土流失最严重的是七月。第题，从材料中可以看出茶园“消瘦”的主要原因是水土流失造成的表层土壤被大量冲走。 二、综合题