高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学案苏教版必修.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.1.2 第 1 课时 直线的点斜式 1掌握直线的点斜式与斜截式方程(重点、难点 ) 2能利用点斜式求直线的方程(重点 ) 3了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系(易混点 ) 基础·初探 教材整理 1 直线的点斜式方程 阅读教材 P80P81，完成下列问题 1过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程yy1k(xx1)叫做直线的点斜式方程 2过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为xx1. 1过点 (2,3)，斜率为 1 的直线的方程为_ 【解析】由点斜式方程得：y3 1·(x 2)， y3x2，即yx5. 【答案】yx5 2过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为_，垂直于x轴的直线方程为_ 【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y1，垂直于x轴的直线方程为x1. 【答案】y1 x1 3若直线l过点A(1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为 _ 【解析】k 41 21 1，l的方程为y 11·(x1)，即yx2. 【答案】yx 2 教材整理 2 直线的斜截式方程 阅读教材 P82探究以上部分内容，完成下列问题 斜截式方程：ykxb，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程其中b为直 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距 1判断 (正确的打“” ，错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0°时，过 (x0，y0)的直线l的方程为yy0.() (2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念(×) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线() (4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为xx1.() 2已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为_. 【导学号： 41292066】 【解析】ktan 60°3，且过点 (0，2)，所以直线方程为y23(x0)，即3 xy 20. 【答案】3xy20 小组合作型 利用点斜式求直线的方程 根据下列条件，求直线的方程 (1)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C(1， 1)，与x轴平行； (3)经过点A(1,1)，B(2,3) 【精彩点拨】先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程 【自主解答】(1)直线的倾斜角为45°， 此直线的斜率k tan 45° 1， 直线的点斜式方程为y3x2， 即xy10. (2)直线与x轴平行， 倾斜角为0°，斜率k0， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 直线方程为y10×(x1)， 即y 1. (3)直线的斜率k 31 212. 直线的点斜式方程为y3 2×(x2)， 即 2xy1 0. 1求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存 在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程 2求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解 再练一题 1求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点 (1,2)； (2)在x轴上的截距是5. 【解】(1)所求直线的倾斜角为135°， 斜率ktan 135° 1，又直线经过点(1,2)， 所求直线方程是y2 (x 1)， 即xy10. (2)所求直线在x轴上的截距是5，即过点 (5,0)，又所求直线的斜率为1， 所求直线方程是y0 (x 5)， 即xy50. 利用斜截式求直线的方程 根据条件写出下列直线的斜截式方程 (1)斜率为 2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程； (2)先求斜率，再用斜截式求方程； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)截距有两种情况 【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5. (2)倾斜角150°，斜率ktan 150° 3 3 . 由斜截式可得方程为y 3 3 x2. (3)直线的倾斜角为60°，其斜率ktan 60°3， 直线与y轴的交点到原点的距离为3， 直线在y轴上的截距b3 或b 3. 所求直线方程为y3x3 或y3x3. 1直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在 2当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程； 当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解 再练一题 2根据下列条件，求直线的斜截式方程 (1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0. (2)倾斜角为直线y3x1 的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为10. 【导学号： 41292067】 【解】(1)由题意可知所求直线的斜率ktan 30° 3 3 ， 由直线方程的斜截式可知，直线方程为y 3 3 x. (2)设直线y3x 1的倾斜角为，则 tan 3， 120°，所求直线的斜率ktan 60°3. 直线的斜截式方程为y3x10. 探究共研型 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用 探究 1 对于直线ykx 1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围 是多少？ 【提示】直线ykx1 过定点 (0,1)，直线不过第三象限，只需k0. 探究 2 已知直线l的方程是2xy10，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与 y轴交点P的坐标 【提示】 2xy10 可变形为y 2x1，斜率k 2.令x0，得y1，即b 1，直线l与y轴的交点为 (0,1) 已知直线l经过点P(4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8， 求直线l的点斜式方程 【精彩点拨】设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方 程，求解即可 【自主解答】设所求直线的点斜式方程为：y1k(x4)(k0)， 当x0 时，y14k；当y0 时，x4 1 k. 由题意，得 1 2×(14k)× 4 1 k 8. 解得k 1 4.所以直线 l的点斜式方程为y1 1 4(x 4) 在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距， 从而进一步表示直线与坐标轴 围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负 不确定时，要进行分类讨论 再练一题 3已知直线l的斜率为 1 6，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求l的方程 【解】设直线方程为y 1 6 xb，则x0 时，yb；y0 时，x 6b.由已知可得 1 2·| b| ·| 6b| 3， 即 6|b| 26， b± 1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故所求直线方程为y 1 6x1 或 y 1 6x1， 即x6y6 0或x 6y60. 1直线y23(x1)的倾斜角和所过的点分别为_ 【解析】由点斜式方程知，直线过点(1,2)，斜率为3，倾斜角为120°. 【答案】120°， (1,2) 2已知直线的方程为y2x1，则直线的斜率为_ 【解析】化直线方程为斜截式：yx3， 斜率为 1. 【答案】 1 3经过点 (1,1)，斜率是直线y 2 2 x2 的斜率的2 倍的直线方程是_ 【解析】由方程知，已知直线的斜率为 2 2 ， 所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y 12(x1)，即2xy 210. 【答案】2xy210 4直线xy10 的倾斜角与其在y轴上的截距分别是_. 【导学号： 41292068】 【解析】直线xy10 变成斜截式得yx 1，故该直线的斜率为1，在y轴 上的截距为 1.若直线的倾斜角为，则 tan 1，即135°. 【答案】135°， 1 5求经过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12 的直线方程 【解】设直线方程为y4k(x3)(k0) 当x0，y43k， 当y 0，x 4 k3， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3k4 4 k312，即 3k 211k4 0， k4 或k 1 3. 直线方程为y44(x 3)或y 4 1 3(x3)，即 4x y160 或x3y90.