高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法新人教A版必修3.pdf
积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时数列的概念与简单表示法 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？ (2)数列的项与项数一样吗？ (3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？ 新知初探 1数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列 (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项a1称为数列 an的第 1 项(或称为首项 )，a2 称为第 2 项，an称为第n项 (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为 an 点睛 (1)数列中的数是按一定顺序排列的因此，如果组成两个数列的数相同而排列 顺序不同，那么它们就是不同的数列例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同 的数列 (2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以 重复出现例如：1， 1,1， 1,1，； 2,2,2， . 2数列的分类 分类标准名称含义 按项的个数 有穷数列项数有限的数列 无穷数列项数无限的数列 按项的变化 趋势 递增数列从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列各项相等的数列 摆动数列 从第 2 项起， 有些项大于它的前一项，有些项小于它的 前一项的数列 3数列的通项公式 如果数列 an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点睛 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集 1,2,3，n 为定义域的函数解析式 (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“×”) (1)数列 1,1,1，是无穷数列( ) (2)数列 1,2,3,4和数列 1,2,4,3是同一个数列( ) (3)有些数列没有通项公式( ) 解析： (1)正确每项都为1的常数列，有无穷多项 (2)错误，虽然都是由1,2,3,4 四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同， 不是同一个数列 (3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项 公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式 答案： (1)(2)×(3) 2在数列 1,0， 1 9， 1 8， n2 n2 ，中， 0.08是它的 ( ) A第 100项B第 12 项 C第 10项D第 8 项 解析：选 C an n2 n2 ，令 n2 n2 0.08，解得n10 或n 5 2(舍去 ) 3数列的通项公式为an 3n1，n为奇数， 2n2，n为偶数， 则a2·a3等于 ( ) A 70 B 28 C20 D 8 解析：选 C 由an 3n1，n为奇数， 2n2，n为偶数， 得a22，a310，所以a2·a320. 4在数列1,1,2,3,5,8 ，x,21,34,55，中，x_. 解析：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起， 每项的值都等于前两项值之和， 因此x 5813. 答案： 13 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数列的概念及分类 典例 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A 1， 1 3， 1 3 2， 1 33， Bsin 13，sin 2 13，sin 3 13， sin 4 13 ， C 1， 1 2， 1 3， 1 4， D 1,2,3,4， 30 解析 数列1， 1 3， 1 3 2， 1 33，是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列 sin 13，sin 2 13，sin 3 13， sin 4 13，是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列； 数列 1， 1 2， 1 3， 1 4，是无穷数列，也是递增数列；数列 1,2,3,4，30 是递增数列， 但不是无穷数列 答案 C 1有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列 含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列 2数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第2 项起， 观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 anan 1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若 an与an1的大小不确定时，则是摆动数列 活学活用 给出以下数列： 1， 1,1， 1，； 2,4,6,8， 1 000； 8,8,8,8，； 0.8,0.8 2,0.83,0.84， 0.810. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 其中， 有穷数列为 _；无穷数列为 _；递增数列为 _；递减数列为 _；摆动数列为 _；常数列为 _(填序号 ) 解析：有穷数列为；无穷数列为；递增数列为；递减数列为；摆动数列为 ；常数列为. 答案： 由数列的前几项求通项公式 典例 (1)数列 3 5， 1 2， 5 11， 3 7，的一个通项公式是 _ (2)根据以下数列的前4 项写出数列的一个通项公式 1 2×4， 1 3×5， 1 4×6， 1 5× 7，； 3,7， 15,31，； 2,6,2,6， . 解析 (1)数列可写为： 3 5， 4 8， 5 11， 6 14，分子满足： 3 12,422,53 2,64 2， 分母满足： 53×12,83×22,113×3 2,14 3×42， 故通项公式为an n2 3n2. 答案 an n2 3n2 (2)解：均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第 二个因数比第一个因数大2， an 1 n 1n3 . 正负相间，且负号在奇数项，故可用(1) n 来表示符号，各项的绝对值恰是2 的整数 次幂减 1， an(1)n(2n11) 为摆动数列，一般求两数的平均数 26 2 4，而2 42,6 42，中间符号用(1)n 来表示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 an4(1)n·2 或an 2，n是奇数， 6，n是偶数 . 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系 (2)若n和n1 项正负交错，那么符号用(1)n或(1)n 1或(1)n1来调控 (3)熟悉一些常见数列的通项公式 (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结 构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差” “积”“商”后 再进行归纳 活学活用 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24 ，； (2)1， 3,5， 7,9，； (3)1 1 2，2 2 3，3 3 4，4 4 5，； (4)1,11,111,1 111 ， . 解：(1)观察数列中的数，可以看到011,3 41，891,15161,24251， 所以它的一个通项公式是ann21. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9 ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数 项为负，所以它的一个通项公式为an(1) n 1(2n1) (3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为 n n1，故所 求的数列的一个通项公式为ann n n1 n 2 2n n1 . (4)原数列的各项可变为 1 9×9， 1 9×99， 1 9×999， 1 9×9 999，易知数列 9,99,999,9 999 ， 的一个通项公式为an10 n1.所以原数列的一个通项公式为 an 1 9(10 n1). 判定数列中项的问题 典例 已知数列 an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2 倍 (1)求这个数列的第4 项与第 25 项； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)253和 153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)由题设条件，知ann2n. a442×410，a2525 2×2555. (2)假设 253是这个数列中的项，则253n2n，解得n121. 253 是这个数列的第 121项 假设 153 是这个数列中的项，则153n2n，解得n72 1 4，这与 n是正整数矛盾， 153不是这个数列中的项 已知数列 an的通项公式， 判断某一个数是否是数列an的项， 即令通项公式等于该数， 解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列an的第k项，若关于n的方程无解 或有解且为非正整数解则该数不是数列an 中的项 活学活用 数列 1， 1 2， 2 1， 1 3， 2 2， 3 1， 1 4， 2 3， 3 2， 4 1，则 8 9是该数列的 ( ) A第 127项B第 128项 C第 129项D第 130项 解析：选 B 把该数列的第一项1 写成 1 1，再将该数列分组，第一组一项： 1 1；第二组两 项： 1 2， 2 1；第三组三项： 1 3， 2 2 ， 3 1；第四组四项： 1 4， 2 3， 3 2， 4 1；容易发现：每组中每个分 数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1 开始逐一增加，因此 8 9应位于第 十六组中第八位由1 2 158128，得 8 9是该数列的第 128项 层级一学业水平达标 1有下面四个结论： 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； 数列的项数一定是无限的； 数列的通项公式的形式是唯一的； 数列 1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ，不存在通项公式 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 其中正确的是( ) ABCD 解析：选 A 结合数列的定义与函数的概念可知，正确； 有穷数列的项数就是有限的， 因此错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ，存在 通项公式，错误故选A. 2下列说法正确的是( ) A数列 1,3,5,7与数集 1,3,5,7 是一样的 B数列 1,2,3与数列 3,2,1是相同的 C数列1 1 n 是递增数列 D数列1 1 n n 是摆动数列 解析：选 D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B 不正确；选项C 中的数列是 递减数列；选项D 中的数列是摆动数列 3数列 an中，an3 n1，则 a2等于 ( ) A 2 B3 C9 D32 解析：选 B 因为an3 n1，所以 a2 3 21 3. 4数列 0， 3 3 ， 2 2 ， 15 5 ， 6 3 ，的一个通项公式是( ) Aan n2 n Ban n1 n Can n1 n1 Dan n2 n2 解析：选 C 已知数列可化为：0， 1 3， 2 4， 3 5， 4 6，故 an n1 n1. 5已知数列 1 2， 2 3， 3 4， n n1 ，则 0.96是该数列的 ( ) A第 20 项B第 22 项 C第 24项D第 26项 解析：选 C 由 n n10.96，解得 n24. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6已知数列2，5，22，11，则25是该数列的第 _项 解析：a12，a25，a38，a411， an3n1. 由3n125? 3n120?n7， 25是该数列的第7 项 答案： 7 7数列a，b，a，b，的一个通项公式是_ 解析：a ab 2 ab 2 ，b ab 2 ab 2 ，故an ab 2 (1)n1 ab 2 . 答案： ab 2 (1)n1 ab 2 8 已知数列 an的通项公式an192n， 则使an0 成立的最大正整数n的值为 _ 解析：由an192n0，得n 7 6， n0，即an 1an； 当n9 时，an1an0，即an 1an； 当n9 时，an1ana11a12， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故数列 an 有最大项，为第9 项和第 10项，且a9a1010× 10 11 9. 法二：根据题意，令 an 1an， anan1， (n1) 即 n× 10 11 n 1 n1 10 11 n， n 1 10 11 n n2 10 11 n 1， (n1) 解得 9n 10. 又nN *，则 n9 或n10.故数列 an有最大项，为第9 项和第 10 项，且a9a10 10 × 10 11 9. (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质， 如单调性、 最大值、 最小值等， 此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2， n这一条件 (2)可以利用不等式组 an 1an， anan 1， (n1)找到数列的最大项；利用不等式组 an1an， anan1， (n1)找到数列的最小项 活学活用 定义：F(x，y)y x(x0，y0)，已知数列 an 满足：an Fn， 2 F2，n (nN *)，若对任意正 整数n，都有anak(kN *)成立，则 ak的值为 ( ) A. 1 2 B2 C. 8 9 D. 9 8 解析：选 C 由题得an Fn， 2 F2，n 2n n2且 ak (an)min，由指数函数y2x与二次函数y x2图象的对比可得an 2n n2先减后增，故 an 2 n n2有最小值，而 a12a21a3 8 9 a41，所以 (an)mina3 8 9，则 ak 8 9，故选 C. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 层级一学业水平达标 1已知数列 an 的首项为a11，且满足an 1 1 2a n 1 2 n，则此数列的第 4 项是 ( ) A 1 B. 1 2 C. 3 4 D. 5 8 解析：选 B 由a11，a2 1 2 a1 1 2 1，依此类推a4 1 2. 2在递减数列an 中，ankn(k为常数 )，则实数k的取值范围是 ( ) AR B(0， ) C(， 0) D (， 0 解析：选 C an是递减数列， an1ank(n1)knk0. 3数列 an中，a11，对所有的n 2，都有a1·a2·a3··ann2，则a3a5等于 ( ) A. 25 9 B. 25 16 C. 61 16 D. 31 15 解析：选 C 由题意a1a2a3 3 2，a 1a22 2， a1a2a3a4a55 2，a 1a2a3a44 2， 则a3 32 22 9 4 ，a5 5 2 4 2 25 16 .故a3a5 61 16. 4已知数列 an 满足要求a11，an 12an1，则a5等于 ( ) A 15 B16 C31 D 32 解析：选 C 数列 an 满足a11，an12an1， a22×113，a32×317，a42×7115，a52×15131. 5由 1,3,5， 2n1，构成数列 an，数列 bn 满足b12，当n2 时，bnabn 1， 则b6的值是 ( ) A 9 B17 C33 D 65 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 选 C bnabn 1，b2ab1a23，b3ab2a3 5，b4ab3a5 9，b5ab4 a917，b6ab5a1733. 6已知数列 an 满足a1 2 3， an1 n n1a n，得an_. 解析：由条件知 an1 an n n1，分别令 n1,2,3，n1，代入上式得n1 个等式，即 a2 a1· a3 a2· a4 a3·· an an 1 1 2× 2 3× 3 4 ×× n 1 n ? an a1 1 n.又 a1 2 3， an 2 3n. 答案： 2 3n 7数列 an的通项公式为ann26n，则它最小项的值是_ 解析：ann26n(n3) 29，当 n3 时，an取得最小值9. 答案： 9 8已知数列 an ，anbnm(b0，nN *)，满足 a12，a24，则a3_. 解析： 2bm， 4b2m， b 1， m3. an(1)n 3，a3(1)332. 答案： 2 9根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式 (1)a10，an 1an2n1(nN *)； (2)a11，an 1an an n1(nN *)； (3)a12，a23，an 23an1 2an(nN *) 解： (1)a10，a21，a34，a49.猜想an(n1)2. (2)a11，a2 3 2，a 3 4 2，a 4 5 2 .猜想an n1 2 . (3)a12，a23，a35，a4 9.猜想an2n 11. 10已知数列 an中，a11，当nN 且n2 时， (2n 1)an(2n3)an1，求通项公式 an. 解：当n2， (2n 1)an(2n3)an1， an an1 2n3 2n1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a2 a1· a3 a2· a4 a3·· an1 an2· an an1 1 5· 3 7· 5 9·· 2n 5 2n 1· 2n3 2n1 1·3 2n 12n1 . an a1 3 2n12n1 ，an 3 2n 12n1 ，当n1 时符合上式，an 3 2n12n1 ，nN * . 层级二应试能力达标 1若数列 an 满足an 1 4an3 4 (nN *)，且 a11，则a17( ) A 13 B14 C15 D 16 解析：选 A 由an1 4an3 4 ?an1an 3 4 ，a17a1 (a2a1)(a3a2) (a17a16)1 3 4×1613，故选 A. 2在数列 an 中，a12，an 1an lg 1 1 n ，则an( ) A 2lg nB2(n1)lg n C2nlg nD 1nlg n 解析：选 A 由an1anlg 1 1 n ?an 1anlg 1 1 n ，那么ana1(a2a1) (an an 1)2 lg 2lg 3 2 lg 4 3 lg n n1 2lg2× 3 2× 4 3×× n n1 2lg n. 3已知数列 an ，an 2n2 n，若该数列是递减数列，则实数的取值范围是 ( ) A(， 3 B(， 4 C(， 5) D (， 6) 解析：选D 依题意，an 1an 2(2n1)0，即2(2n1)对任意的nN *恒成 立注意到当nN *时， 2(2n1)的最小值是 6，因此6，即的取值范围是 (， 6) 4已知函数f(x) x 1 2，x 1 2， 2x1， 1 2x1， x1，x1， 若数列 an满足a1 7 3， an1f(an)，nN *， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则a2 015a2 016等于 ( ) A 4 B1 C. 7 6 D. 11 6 解析：选 B a2f 7 3 7 31 4 3； a3f 4 3 4 31 1 3； a4f 1 3 1 3 1 2 5 6 ； a5f 5 6 2× 5 61 2 3； a6f 2 3 2× 2 31 1 3； 即从a3开始数列 an是以 3 为周期的周期数列 a2 015a2 016a5a31.故选 B. 5若数列 an 满足 (n1)an(n1)an1，且a11，则a100_. 解析：由 (n1)an(n1)an 1? an an1 n1 n1，则 a100a1· a2 a1· a3 a2·· a100 a99 1× 3 1× 4 2 × × 101 99 5 050. 答案： 5 050 6已知数列 an满足：a1m(m为正整数 )，an1 an 2 ，an为偶数， 3an1，an为奇数 . 若a61，则m 所有可能的取值为_ 解析：若a5为奇数，则3a511，a50(舍去 ) 若a5为偶数，则 a5 2 1，a52. 若a4为奇数，则3a4 12，a4 1 3 (舍去 ) 若a4为偶数，则 a4 2 2，a44. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若a3为奇数，则3a3 14，a31，则a22，a14. 若a3为偶数，则 a3 2 4，a38. 若a2为奇数，则3a2 18，a2 7 3 (舍去 ) 若a2为偶数，则 a2 2 8，a216. 若a1为奇数，则3a1 116，a15. 若a1为偶数，则 a1 2 16，a132. 答案： 4,5,32 7已知数列 an的通项公式为an n2 2 n(nN *)，则这个数列是否存在最大项？若存在， 请 求出最大项；若不存在，请说明理由 解：存在最大项理由：a1 1 2， a2 2 2 2 21，a3 32 23 9 8， a4 42 241， a5 52 25 25 32， .当 n3 时， an1 an n1 2 2 n1 × 2n n2 n1 2 2n2 1 2 1 1 n 21， an1an，即n 3时， an 是递减数列 又a1a3，a2a3，ana3 9 8. 当n3 时，a3 9 8 为这个数列的最大项 8已知数列 an 满足a1 1 2， anan1an1an(n2)，求数列 an的通项公式 解：anan1an1an， 1 an 1 an 11. 1 an 1 a1 1 a2 1 a1 1 a3 1 a2 1 an 1 an 1 2111 n 1个 1n1. 1 an n1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 an 1 n1(n2) 又n1 时，a1 1 2，符合上式， an 1 n1.
