高中数学第二章数列2.4等比数列第一课时等比数列学案含解析新人教A版必修598.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时等 比 数 列 等比数列的定义 提出问题 观察下面几个数列： (1)4， 4,4， 4，； (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一 个格子里的麦粒数的2 倍，且共有 64个格子， 各个格子里的麦粒数依次是1,2,2 2,23，263； (3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5 年内各年末的本利 和依次为10 000×1.05,10 000 × 1.05 2， 10 000×1.055. 问题 1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？ 提示：不是 问题 2：这三个数列，从第2 项起与前一项的比有什么特点？ 提示：都等于同一个常数 导入新知 等比数列的定义 如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q0)表示 化解疑难 1 “从第 2 项起” ，也就是说等比数列中至少含有三项； 2 “每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； 3 “同一常数q” ，q是等比数列的公比，即q an an1或 q an1 an .特别注意，q不可以为零， 当q1 时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列 等比中项 提出问题 问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？ 提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积 导入新知 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中 项，这三个数满足关系式G±ab. 化解疑难 1G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中 项 G±ab，即等比中项有两个，且互为相反数 2当G2ab时，G不一定是a与b的等比中项例如02 5×0，但 0,0,5 不是等比数 列. 等比数列的通项公式 提出问题 问题：若数列an为等比数列，公比为q，则a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q 3， a5 a4qa1q 4，由此你可以得出什么结论呢？ 提示：ana1q n1. 导入新知 等比数列 an的首项为a1，公比为q(q0)，则通项公式为ana1qn 1. 化解疑难 1在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式ana1qn 1可求出等比数列中的任 一项 2等比数列 an 的通项公式ana1qn1可改写为an a1 q ·qn.当q0 且q1 时，这是指 数型函数 等比数列的通项公式 例 1 在等比数列 an 中： (1)a42，a78，求an； (2)a2a518，a3a69，an 1，求n. 解 (1)因为 a4a1q3， a7a1q6， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 a1q32， a1q68， 由 得q34，从而q 3 4，而a1q32， 于是a1 2 q3 1 2，所以 ana1qn12 25 3 n- . (2)法一：因为 a2a5a1qa1q418， a3a6a1q2a1q59， 由 得q 1 2，从而 a132. 又an1，所以 32× 1 2 n 1 1， 即 26n20，所以n6. 法二：因为a3a6q(a2a5)， 所以q 1 2 . 由a1qa1q418，得a132. 由ana1qn11，得n6. 类题通法 与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程 的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式，ana1·qn 1(a1q0)中包含了四个量， 已知其中的三个量，可以求得另一个量求解时，要注意应用q0 验证求得的结果 活学活用 1若等比数列的前三项分别为5， 15,45，则第 5 项是 ( ) A 405 B 405 C135 D 135 解析：选 A a5a1q4，而a15，q a2 a1 3， a5405. 2(辽宁高考 )已知等比数列an为递增数列，且a 2 5a10,2(anan 2) 5an 1，则数列 an 的通项公式an_. 解析：由 2(anan2)5an 1? 2q25q20?q2 或 1 2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由a 2 5a10a1q 90? a10， 又数列 an 递增， 所以q2. a 2 5a100? (a1q 4)2 a1q 9? a1q2， 所以数列 an的通项公式为an2n. 答案： 2n 等比数列的判断与证明 例 2 已知数列 an是首项为2，公差为 1 的等差数列，令bn 1 2 an，求证数列 bn 是等比数列，并求其通项公式 解 依题意an2(n1)×(1)3n， 于是bn 1 2 3n. 而 bn bn1 1 2 3n 1 2 4n 1 2 12. 数列 bn是首项为 1 4，公比为 2 的等比数列，通项公式为bn2n3. 类题通法 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法： an 1 an q(q为常数且q0)或 an an1 q(q为常数且q0，n 2)?an为等比数 列； (2)等比中项法：a 2 n1an·an 2(an0，nN *)? an为等比数列； (3)通项公式法：ana1qn 1(其中a1，q为非零常数，nN *)? an为等比数列 活学活用 (全国丙卷改编 )已知各项都为正数的数列an 满足a11，a 2 n(2an11)an 2an10. (1)求a2，a3； (2)证明 an 是等比数列，并求an的通项公式 解： (1)由题意可得a2 1 2， a3 1 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)由a2 n(2an 11)an2an 1 0 得 2an1(an1)an(an1) 因此 an的各项都为正数，所以 an 1 an 1 2. 故an是首项为1，公比为 1 2的等比数列， 因此an 1 2n 1. 等比中项 例 3 设等差数列 an 的公差d不为 0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项， 则k等于 ( ) A 2 B4 C6 D8 解析 an(n8)d， 又a 2 ka1·a2k， (k8)d29d·(2k8)d， 解得k 2(舍去 )，k4. 答案 B 类题通法 等比中项的应用主要有两点 (1)计算与其他性质综合应用可以简化计算,提高速度和准确度 (2)用来判断或证明等比数列 活学活用 已知 1 既是a 2 与b 2 的等比中项，又是 1 a与 1 b的等差中项，则 ab a 2 b2的值是 ( ) A 1或 1 2 B1 或 1 2 C1 或 1 3 D1 或 1 3 解析：选 D 由题意得，a 2b2(ab )21， 1 a 1 b2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ab 1， ab2 或 ab 1， ab 2. 因此 ab a 2b2的值为 1 或 1 3. 4.求解等比中项中的误区 典例 等比数列 an(an0)满足a1a590，a2a436，求a5，a7的等比中项 解 设该等比数列的公比为q，首项为a1，由a1a590，a2a436 得 a1a1q490， a1qa1q336， 解得 a196， q 1 2， 或 a1 6， q2. (舍) 令G是a5，a7的等比中项，则应有G 2 a5a7a1q4·a1q 6 a 2 1q 10962× 1 2 109， 所以a5，a7的等比中项是±3. 易错防范 1误认为a5，a7的等比中项是a6，故a6a1q596× 1 2 53. 2要明确同号两数的等比中项G有两个，且互为相反数，若G为a，b的等比中项， 则G±ab. 成功破障 等比数列 an中，a1 1 8， q2，则a4与a8的等比中项是 ( ) A± 4 B4 C± 1 4 D. 1 4 解析：选 A 依题意得a4·a8(a1q3)· (a1q 7)(a 1q 5)2 1 8 ×25 242， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a4与a8的等比中项为±4. 随堂即时演练 1已知等比数列an 中，各项都是正数，且a1， 1 2a 3,2a2成等差数列，则 a9a10 a7a8 等于 ( ) A 12 B12 C322 D322 解析：选 C 设公比为q，由a12a2a3， 即a12a1qa1q2，得q22q 10. q21，q 12(舍去 )， 则 a9a10 a7a8 q2322. 2已知等差数列an的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于 ( ) A 9 B3 C 3 D 9 解析：选 D a1a23，a3a23，a4a2 3×2a26， 由于a1，a3，a4成等比数列， 则a 2 3a1a4， 所以 (a23)2(a23)(a26)， 解得a2 9. 3在数列 an 中，a12，且对任意正整数n,3an 1an0，则an_. 解析： 3an1an0， an1 an 1 3， 因此 an是以 1 3为公比的等比数列， 又a12，所以an2× 1 3 n1. 答案： 2× 1 3 n1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4(全国卷改编 )已知等比数列 an满足a1 1 4， a3a5 4(a41)，则a2_. 解析：a3a5a 2 4，a3a5 4(a41)， a 2 44(a41)，a 2 44a440，a42. 又q 3a 4 a1 2 1 4 8，q2， a2a1q 1 4×2 1 2. 答案： 1 2 5(1)已知 an 为等比数列，且a58，a7 2，该数列的各项都为正数，求an； (2)若等比数列 an的首项a1 9 8，末项 an 1 3，公比 q 2 3，求项数 n. 解： (1)由已知得 a1q48， a1q62， 得 q 21 4， a1128. an0， q 1 2， a1128. an128× 1 2 n 1 28n. (2)由ana1·qn 1，得 1 3 9 8 2 3 n1， 即 2 3 n1 2 3 3，得 n4. 课时达标检测 一、选择题 1设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 2a1a2 2a3a4的值为 ( ) A. 1 4 B. 1 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 1 8 D1 解析：选 A 原式 2a1a2 q22a1a2 1 q2 1 4. 2已知一等比数列的前三项依次为x,2x 2,3x 3，那么 13 1 2是此数列的第 ( ) A 2项B4 项 C6 项D8 项 解析：选 B 由x,2x2,3x3 成等比数列， 可知 (2x2)2x(3x3)， 解得x 1 或 4. 又当x 1 时， 2x20，这与等比数列的定义相矛盾x 4， 该数列是首项为4，公比为 3 2的等比数列， 其通项an 4 3 2 n 1， 由 4 3 2 n 1 131 2 ，得n4. 3若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a 3bc10， 则a的值是 ( ) A 1 B 1 C 3 D 4 解析：选 D 由题意，得 2bac， a 2 bc， a3bc10， 解得a 4，b2，c8. 4若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax 2bxc0( ) A必有两个不等实根 B必有两个相等实根 C必无实根 D以上三种情况均有可能 解析：选 C a，b，c成等比数列， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 b2ac0. 又b24ac 3ac0， 方程无实数根 5等比数列 an 中， |a1| 1，a5 8a2，a5a2，则an等于 ( ) A(2)n 1B (2n1) C(2)nD ( 2) n 解析：选 A 设公比为q，则a1q4 8a1q， 又a10，q0，所以q3 8，q 2， 又a5a2，所以a20，a50， 从而a10，即a11，故an(2)n 1. 二、填空题 6等比数列 an 中，a1 2，a3 8，则an_. 解析： a3 a1 q 2， q 2 8 2 4，即q± 2. 当q 2 时，ana1qn1 2×(2)n 1 (2)n； 当q2 时，ana1qn1 2× 2 n 1 2n. 答案： ( 2) n 或 2n 7已知等比数列an中，a33，a10384，则a4_. 解析：设公比为q，则a1q 23， a1q9384， 所以q7128，q2，故a4a3q3×26. 答案： 6 8若数列 an 的前n项和为Sn，且an2Sn3，则 an 的通项公式是 _ 解析：由an2Sn3 得an 12Sn13(n 2)，两式相减得anan 1 2an(n2)， anan1(n2)， an an1 1(n 2) 故an是公比为 1 的等比数列 令n1 得a12a13，a13，故an3·( 1) n1. 答案：an3·(1)n 1 三、解答题 9数列 an是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列 bn中相邻的三项，若 b25，求bn. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： an 是等差数列， a5a1 4d，a8a17d， a13a112d， 又a5，a8，a13是等比数列 bn中相邻的三项， a 2 8a5a13，即 (a17d) 2(a 14d)·(a112d)， 解得d2a1. 设等比数列 bn的公比为q(q0)， 则qa 8 a5 5 3 ， 又b2b1q5，即 5 3b 15，解得b13， bn3· 5 3 n 1. 10已知数列 an满足an1 1 2a n 1 3(n1,2,3， ) (1)当an 2 3时，求证 an 2 3 是等比数列； (2)当a1 7 6时，求数列 an的通项公式 解： (1)证明：因为an 1 1 2a n 1 3， 改写成an 1 2 3 1 2 an 2 3 . 故当an 2 3时数列 an 2 3 是以 1 2 为公比的等比数列 (2)当a1 7 6时， a1 2 3 1 2. 故数列an 2 3 是首项为a1 2 3 1 2，公比为 1 2的等比数列 an 2 3 1 2 n，即数列 an 的通项公式为an 2 3 1 2 n. 11已知数列 an的前n项和为Sn，Sn 1 3(a n1)(nN *) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求a1，a2； (2)求证：数列 an是等比数列 解： (1)由S1 1 3 (a11)， 得a1 1 3(a 11)， a1 1 2. 又S2 1 3(a 21)， 即a1a2 1 3(a 21)，得a2 1 4. (2)证明：当n2 时，anSnSn 1 1 3 (an 1) 1 3 (an 11)， 得 an an1 1 2，又 a1 1 2， 所以 an是首项为 1 2，公比为 1 2的等比数列 12已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn14an2(nN *)， a11，数列 bn满足bn an 12an. (1)求证：数列 bn 是等比数列； (2)求数列 bn的通项公式 解： (1)证明：由Sn 14an 2(nN *)， 得Sn4an 1 2(n2)， 由，得an14an4an1(n2) 又bnan 12an4an4an12an2an4an 1 2(an 2an 1) 2bn 1(n2)， 数列 bn是公比为2 的等比数列 (2)又a11，S24a126， 即a2a16， a25， b1a22a13， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 bn3× 2 n 1.