高中数学第二讲一圆周角定理创新应用教学案新人教A版选修.pdf
-
资源ID:5585118
资源大小:326.96KB
全文页数:9页
- 资源格式: PDF
下载积分:4元
快捷下载
会员登录下载
微信登录下载
微信扫一扫登录
友情提示
2、PDF文件下载后,可能会被浏览器默认打开,此种情况可以点击浏览器菜单,保存网页到桌面,就可以正常下载了。
3、本站不支持迅雷下载,请使用电脑自带的IE浏览器,或者360浏览器、谷歌浏览器下载即可。
4、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰。
5、试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
|
高中数学第二讲一圆周角定理创新应用教学案新人教A版选修.pdf
积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 圆周角定理 对应学生用书P18 1圆周角定理 文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言 在O中, ? BC所对的圆周角和圆心角分别是BAC,BOC,则有BAC 1 2 BOC 作用确定圆中两个角的大小关系 2圆心角定理 文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A,B是O上两点,则弧 ? AB的度数等于AOB的度数 作用确定圆弧或圆心角的度数 3圆周角定理的推论 (1)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相 等 (2)推论 2:半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 说明 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的 弧” ; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中” 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书P18 与圆周角定理相关的证明 例 1 如图,已知:ABC内接于O,D、E在BC边上,且BD CE, 1 2,求证:ABAC. 思路点拨 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件,再由 圆周角定理及其推论证明 证明 如图,延长AD、AE分别交O于F、G,连接BF、CG, 1 2, ? BF ? CG, BFCG, ? BG ? CF, FBDGCE. 又BDCE, BFDCGE,FG, ? AB ? AC,ABAC. (1)有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证圆周角相等,可转化 为证明它们所对的弧相等;要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中 线段相等的常见策略 (2)若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题 1.如图,OA是O的半径,以OA为直径的C与O的弦AB相 交于点D. 求证:D是AB的中点 证明:连接OD、BE. 因为ADOABE90°, 所以OD和BE平行 又因为O是AE的中点, 所以D是AB的中点 2已知AD是ABC的高,AE是ABC的外接圆的直径 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证:BAEDAC. 证明:连接BE, 因为AE为直径, 所以ABE90°. 因为AD是ABC的高, 所以ADC 90°. 所以ADCABE. 因为EC, 所以BAE90°E, DAC90°C. 所以BAEDAC. 3已知O中,ABAC,D是BC延长线上一点,AD交O于E. 求证:AB 2 AD·AE. 证明:如图, ABAC, ? AB ? AC. ABDAEB. 在ABE与ADB中, BAEDAB, AEBABD, ABEADB. AB AD AE AB,即 AB2AD·AE. 利用圆周角进行计算 例 2 如图,已知BC为半O的直径,ADBC,垂足为D,BF 交AD于E,且AEBE. (1)求证: ? AB ? AF; (2)如果 sin FBC 3 5, AB45,求AD的长 思路点拨 BC为半O的直径,连接AC,构造 RtABC. 解 (1)证明:如图, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 连接AC. BC是半O的直径, BAC90°, 又ADBC,垂足为D, 1 3. 在AEB中,AEBE, 1 2. 2 3,即A BA F. (2)设DE3x, ADBC,sinFBC 3 5, BE5x,BD4x. AEBE, AE5x,AD8x. 在 RtADB中,ADB90°,AB45, (8x)2(4x)2(45)2, 解得x1, AD 8. 与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算,不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角 的度数来求相关的角、线段,有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算 4如图,ABC内接于O,ODBC于D,A50°,则OCD的度数是 ( ) A 40°B25° C50°D60° 解析:连接OB.因为A 50°,所以弦BC所对的圆心角BOC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 100°,COD 1 2BOC50°, OCD90°COD 40°. 答案: A 5.如图,ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明:ABEADC; (2)若ABC的面积S 1 2AD ·AE, 求BAC的大小 解: (1)证明:由已知条件可得BAECAD. 因为AEB与ACB是同弧上的圆周角, 所以AEBACD. 故ABEADC. (2)因为ABEADC, 所以 AB AE AD AC,即 AB·ACAD·AE. 又S 1 2AB ·AC· sin BAC,且S 1 2AD· AE, 所以AB·AC·sin BACAD·AE. 则 sin BAC1. 又BAC为三角形内角, 所以BAC90° . 对应学生用书P20 一、选择题 1如图,在O中,BOC50°,则A的大小为 ( ) A 25°B50° C75°D100° 解析:由圆周角定理得A 1 2 BOC25°. 答案: A 2.如图所示,若圆内接四边形的对角线相交于E,则图中相似三角形有 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ( ) A 1对B2 对 C3 对D4 对 解析:由推论1 知: ADBACB,ABDACD, BACBDC,CADCBD, AEBDEC,AEDBEC. 答案: B 3RtABC中,C90°,A30°,AC23,则此三角形外接圆半径为( ) A.3 B2 C23 D4 解析:由推论2 知AB为 RtABC的外接圆的直径,又AB 23 cos 30°4,故外接圆半 径r 1 2AB2. 答案: B 4.如图, 已知AB是半圆O的直径, 弦AD,BC相交于P,若CD 3, AB 4,则 tan BPD等于 ( ) A. 3 4 B. 4 3 C.5 3 D. 7 3 解析:连接BD,则BDP90°. CPDAPB, CD AB PD PB 3 4. 在 RtBPD中, cos BPD PD PB 3 4, tan BPD 7 3 . 答案: D 二、填空题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5在O中,已知ACBCDB60°,AC3,则ABC的周长 是_ 解析:由圆周角定理, 得ADACB 60°. ABBC. ABC为等边三角形 周长等于9. 答案: 9 6如图,AB为半圆O的直径,OCAB,OD平分BOC,交半圆于点D,AD交 OC于点E,则AEO的度数是 _ 解析:因为OD平分BOC, 且BOC90°, 所以BOD 1 2BOC45°, 所以OAD 1 2BOD 22.5°. 在 RtAEO中,AOE90°, 则AEO90°OAE67.5°. 答案: 67.5° 7如图所示, 已知O为ABC的外接圆,ABAC6,弦AE交BC 于D,若AD4,则AE_. 解析:连接CE,则AECABC, 又ABC中,ABAC, ABCACB, AECACB, ADCACE, AD AC AC AE, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AE AC2 AD 9. 答案: 9 三、解答题 8.(2012·江苏高考 )如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于 AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BDDC,连结AC,AE, DE. 求证:EC. 解:连结OD,因为BDDC,O为AB的中点, 所以ODAC,于是ODBC. 因为OBOD,所以ODBB.于是BC. 因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异 侧的两点,所以E和B为同弧所对的圆周角,故EB.所以E C. 9如图,已知ABC内接于圆,D为 ? BC中点,连接AD交BC于 E. 求证: (1)AE EC BE ED ; (2)AB·ACAE 2 EB·EC. 证明: (1)连接CD. 1 3, 4 5, ABECDE. AE EC BE ED . (2)连接BD. AE EC BE DE , AE·DEBE·EC. AE2BE·ECAE 2AE· DE AE(AEDE)AE·AD. 在ABD与AEC中,D为 ? BC的中点, 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又ACEACBADB, ABDAEC. AB AE AD AC, 即AB·ACAD·AE 由知:AB·ACAE 2 EB·EC. 10如图,已知A,B,C,D,E均在O上,且AC为O的直 径 (1)求ABCDE的值; (2)若O的半径为 3 2 ,AD与EC交于点M,且E,D为弧AC的三等分点,求MD的 长 解: (1)连接OB,OD,OE,则ABCDE 1 2( CODDOEEOAAOBBOC) 1 2 ×360° 180°. (2)连接OM和CD,因为AC为O的直径, 所以ADC 90°,又E,D为 ? AC的 三等分点, 所以AECA 1 2EOA 1 2× 1 3×180° 30°, 所以OMAC.因为O的半径为 3 2 ,即OA 3 2 , 所以AM OA cosA OA cos 30 ° 1. 在 RtADC中,ADAC· cosA2× 3 2 × 3 2 3 2. 则MDADAM 1 2 .