高中数学第二讲四弦切角的性质学案含解析新人教A版选修.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四 弦切角的性质 弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 (2)图形语言叙述： 如图，AB与O切于A点，则BACD. 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所 对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数 弦切角定理 如图，已知圆上的 ? AC ? BD ，过C点的圆的切线与 BA的延长线交于E点 证明： (1)ACEBCD； (2)BC 2 BE·CD. 利用弦切角定理 (1)因为 ? AC ? BD ， 所以BCDABC. 又因为EC与圆相切于点C， 所以ACEABC. 所以ACEBCD. (2)因为ECBCDB，EBCBCD， 所以BDCECB. 故 BC BE CD BC， 即BC 2 BE·CD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 利用弦切角定理进行计算、证明时， 要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆 的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切 角 1如图，CD是O的切线，T为切点，A是 ? TB 上的一点， 若TAB100°，则BTD 的度数为 ( ) A 20°B40°C60 °D80° 解析：选 D 如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接 四边形， 所以E180°TAB80° . 又CD是O的切线，T为切点， 所以BTDE 80°. 2如图，AB是O的弦，CD是经过O上的点M的切线，求证： (1)如果ABCD，那么AMMB； (2)如果AMBM，那么ABCD. 证明： (1)CD切O于M点， CMAB. ABCD， CMAA. AB. AMMB. (2)AMBM， AB. CD切O于M点，CMAB， CMAA. ABCD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分 DAB. (1)求证：ADCD； (2)若AD2，AC5，求AB的长 解： (1)证明：如图，连接BC. 直线CD与O相切于点C， DCAB. AC平分DAB， DACCAB. ADCACB. AB为O的直径， ACB90°. ADC90°，即ADCD. (2)DCAB，DACCAB， ADCACB. AD AC AC AB， AC2AD·AB. AD 2，AC5， AB 5 2. 运用弦切角定理证明比例式或乘积式 如图，PA，PB是O的切线，点C在 ? AB 上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足 分别为D，E，F. 求证：CD 2 CE·CF. 连接CA，CB， CAPCBA， CBPCAB RtCAE RtCBD RtCBFRtCAD CE CD CD CF 结论 连接CA，CB. PA，PB是O的切线， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CAPCBA，CBPCAB. 又CDAB，CEPA，CFPB， RtCAERtCBD， RtCBFRtCAD， CA CB CE CD， CB CA CF CD. CE CD CD CF， 即CD2CE·CF. 证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形 相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件 4如图，已知MN是O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦 AB交CD于点E. 求证：AC2AE·AB. 证明：连接BC. MNCD? MACACD MN切O于A? MACB ? ACDB CAECAB ? ACEABC ? AC AB AE AC? AC 2 AB·AE. 5如图，AD是ABC的角平分线，经过点A，D的O和 BC切于点D，且AB，AC与O相交于点E，F，连接DF，EF. 求证： (1)EFBC； (2)DF2AF·BE. 证明： (1)O切BC于点D， CADCDF. AD是ABC的角平分线， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BADCAD. 又BADEFD， EFDCDF. EFBC. (2)连接DE. O切BC于D， BADBDE. 由(1)可得BDEFAD， 又O内接四边形AEDF， BEDDFA. BEDDFA. DE AF BE DF. 又BADCAD， DEDF. DF2AF·BE. 课时跟踪检测(九) 一、选择题 1P在O外，PM切O于C，PAB交O于A，B，则 ( ) AMCBBBPACP CPCABDPACBCA 解析：选 C 由弦切角定理知PCAB. 2如图，PC与O相切于C点，割线PAB过圆心O，P 40°，则ACP等于 ( ) A 20°B25°C30°D40° 解析：选 B 连接OC. PC切O于C点， OCPC.P40°， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 POC50° . 连接BC， 则B 1 2 POC25°， ACPB25°. 3如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC 的长为 ( ) A 2 B3 C23 D4 解析：选 C 连接BC，则ACB90°， 又ADEF， ADC90°， 即ADCACB， 又ACDABC， ABCACD， AC AD AB AC， AC2AD·AB12， 即AC23. 4如图，AB是O的直径，P在AB的延长线上，PD切O于C 点，连接AC，若ACPC，PB1，则O的半径为 ( ) A 1 B2 C3 D4 解析：选 A 连接BC. ACPC，AP. BCPA，BCPP. BCBP1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由BCPCAP得 PC PA PB PC. PC 2 PB·PA， 即AC2PB·PA. 而AC2AB2BC 2， 设O半径为r， 则 4r2121·(12r)，解得r1. 二、填空题 5如图，AB是O的直径，PB，PE分别切O于B，C，若ACE40°，则P _. 解析：连接BC， AB是O的直径， ACB90°. 又ACE40°， PCBPBC50°. P80°. 答案： 80° 6如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PBOB2，PC切圆O于C点，CD AB于D点，则CD_. 解析：连接OC. PC切O于C点， OCPC. PBOB2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OC2. PC23. OC·PCOP·CD， CD 2×23 4 3. 答案：3 7如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上 一点使得BC5，BACAPB，则AB_. 解析：由PA为O的切线，BA为弦， 得PABBCA， 又BACAPB， 于是APBCAB， 所以 PB AB AB BC. 而PB 7，BC5， 故AB2PB·BC7×535，即AB35. 答案：35 三、解答题 8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点 (异于A，B)，过C 作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于 点E. 求证：CBCE. 证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆 O的直径，C为圆周上一点， 所以ACB90°， 即BCFACD90°. 又因为ADl，所以DACACD90°. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以BCFDAC. 又因为直线l是圆O的切线，所以CEBBCF， 又DACCBE， 所以CBECEB， 所以CBCE. 9.如图所示， ABC内接于O，ABAC，直线XY切O于点C， 弦BDXY，AC，BD相交于点E. (1)求证：ABEACD； (2)若AB6 cm，BC4 cm，求AE的长 解： (1)证明：因为XY是O的切线， 所以 1 2. 因为BDXY，所以 1 3， 所以 2 3. 因为 3 4，所以 2 4. 因为ABDACD， 又因为ABAC， 所以ABEACD. (2)因为 3 2，ABCACB， 所以BCEACB，所以 BC AC CE CB， 即AC·CEBC2. 因为ABAC6 cm，BC4 cm， 所以 6·(6AE)16. 所以AE 10 3 (cm) 10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A 点，DC是ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点 (1)求ADF的度数； (2)若ABAC，求ACBC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： (1)AC为圆O的切线， BEAC. 又DC是ACB的平分线， ACDDCB. BDCBEACACD，即ADFAFD. 又BE为圆O的直径， DAE90°， ADF 1 2(180° DAE)45°. (2)BEAC，ACBACE， ACEBCA. AC BC AE AB. 又ABAC， BACB 2 3 ADF30° . 在 RtABE中， AC BC AE AB tan Btan 30° 3 3 .