高中数学课时作业简单的线性规划问题新人教A版必修0.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时作业 18 简单的线性规划问题 | 基础巩固 |(25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1(全国卷 )设x，y满足约束条件 x3y3， xy 1， y0， 则zxy的最大值为 ( ) A 0 B1 C2 D3 解析： 本题考查简单的线性规划问题 作出约束条件表示的可行域如图： 平移直线xy0，可得目标函数zxy在A(3,0)处取得最大值，zmax3，故选 D. 答案： D 2(全国卷 )设x，y满足约束条件 3x2y 60， x0， y0， 则zxy的取值范围是( ) A3,0 B3,2 C0,2 D 0,3 解析： 画出可行域 (如图中阴影部分所示)，易知A(0,3)，B(2,0) 由图可知，目标函数zxy在点A，B处分别取得最小值与最大值，zmin03 3， zmax202， 故zxy的取值范围是 3,2故选 B. 答案： B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3(江西南昌十校二模)已知x，y满足约束条件 yx， xy1， y 1， 则z|x2y2| 的最小 值为 ( ) A 3 B0 C1 D. 3 2 解析： 作出可行域如图z5· x2y 2 12 2 2 表示的几何意义是可行域内的点到 直线x 2y20 的距离的5倍 易知A 1 2， 1 2 到直线x 2y20 的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，为 3 2 5 ， zmin 3 2. 答案： D 4(河南郑州一中押题卷二)若x，y满足约束条件 3xy3 0， 3xy3 0， y 0， 则当 y1 x3 取最 大值时，xy的值为 ( ) A 1 B1 C3 D.3 解析： 作出可行域如图中阴影部分所示， y1 x3 的几何意义是过定点M( 3， 1)与可行 域内的点 (x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，3)时，斜率取得最大值，此时 x，y的值分别为0，3，所以xy3.故选 D. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： D 5当变量x，y满足约束条件 yx， x3y4， xm 时，zx3y的最大值为8，则实数m的 值是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析： 画出可行域，如图所示，目标函数zx3y可变形为y x 3 z 3，当直线过点 C 时，z取到最大值， 由 yx， xm 得交点C(m，m)，所以 8m3m， 解得m 4. 答案： A 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6设x，y满足约束条件 2xy10， x 2y1 0， x 1， 则z 2x3y5 的最小值为 _ 解析： 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由题意可知， 当直线y 2 3x 5 3 z 3过点 A(1，1)时，z取得最小值， 即zmin2×( 1)3×(1) 5 10. 答案： 10 7若实数x，y满足 xy10， xy0， x0， 则z3 x2y的最小值是 _ 解析： 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 设tx2y， 则y 1 2x t 2， 当x0，y0 时，t最小0. z3x2y的最小值为1. 答案： 1 8 若变量x，y满足约束条件 yx， xy4， yk， 且z2xy的最小值为6， 则k_. 解析： 作出不等式组 yx， xy4， yk 表示的平面区域，如图所示， 由z 2xy得y 2xz， 易知当直线y 2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k 6，所以k 2. 答案： 2 三、解答题 (每小题 10 分，共 20分) 9设z2y2x5，其中x，y满足约束条件 1x0， 2y 0， x2y1， 求z的最大值和最小值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示， 平移直线 2y 2x0，当其经过点A( 1，1)时，z取得最大值，zmax2×( 1)2×( 1)55， 当其经过点C(0， 2)时，z取得最小值， zmin2×(2) 2×05 1. 10已知 xy20， xy40， 2xy5 0， 求： (1)zx2y210y25的最小值； (2)z 2y 1 x1 的范围 解析： 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9) (1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线 AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是 |MN| 29 2 . (2)z 2y 1 x1 2 y 1 2 x1 得k y 1 2 x1，则 z2k k表示为可行域内一点(x，y)与E点( 1， 1 2) 两点斜率 kAE 7 4 kBE 3 8 k 3 8， 7 4 z的取值范围为 3 4， 7 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 | 能力提升 |(20 分钟， 40 分) 11x，y满足约束条件 xy20， x2y2 0， 2xy2 0， 若zyax取得最大值的最优解不唯一，则 实数a的值为 ( ) A. 1 2 或 1 B2 或 1 2 C2 或 1 D2 或 1 解析： 作出可行域 (图中阴影部分 )，由图象可知直线zyax经过AB或AC时取得最 大值的最优解不唯一，此时a2 或 1.故选 D. 答案： D 12若实数x，y满足 x2y40， x0， y0， 则z y2 x1的取值范围为 _ 解析： 画出可行域如图， z y2 x1表示可行域内的点 P(x，y)与点 (1， 2)连线的斜率， 因为kAB 2 3，k OA 2， 由图知，z y2 x 1的取值范围为 (， 2 2 3， . 答案： (， 2 2 3， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13 如果点P在平面区域 2xy20， xy20， 2y10 上，点Q在曲线x2(y2)21 上，求|PQ| 的最小值 解析： 画出不等式组 2xy20， xy20， 2y10 所表示的平面区域，x2(y2)21 所表示的曲 线为以 (0， 2)为圆心， 1 为半径的圆 如图所示，只有当点P在点A0， 1 2 ，点Q在点B(0， 1)时， |PQ| 取最小值 3 2. 14已知x，y满足约束条件 x1， x3y 4， 3x5y30. (1)求目标函数z2xy的最大值和最小值； (2)若目标函数zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值 解析： 作出可行域如图所示 (1)作直线l：2xy0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值； 当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值 解 x1， x3y 4， 得A1， 5 3 .解 x3y 4， 3x5y30， 得B(5,3) 所以zmax2× 5313，zmin2×1 5 3 11 3 . (2)易知a0.一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线z 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 axy与直线 3x5y30 重合时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条 件的点即最优解有无数个 又kBC 3 5，所以 a 3 5， 所以a 3 5 .