高考数学概率与统计专项练习(解答题含答案).pdf

概率与统计专项练习（解答题） 1 （2019 全国 卷， 文 19， 12 分）某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘 汰 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 在 机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元现需决策在购买机器时应同时购 买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数， 得下面柱状图： 记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件 上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数 （ ）若n19， 求y与x的函数解析式； （ ）若要求 “ 需更换的易损零件数不大于n” 的频率不小于0.5， 求n的最小值； （）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个 易损零件，分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作 为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件？ 解： （）当x 19 时，y3800 当x19 时，y3800500(x19)500x5700 y与x的函数解析式为y 3800， ?19 500?- 5700，?19 (xN) （）需更换的零件数不大于18 的频率为0.46， 不大于 19 的频率为0.7 n的最小值为19 （）若同时购买19 个易损零件 则这 100 台机器中，有 70 台的费用为3800 ， 20 台的费用为4300， 10 台的费用为 4800 平均数为 1 100(3800× 704300× 20 4800× 10)4000 若同时购买20 个易损零件 则这 100 台机器中，有 90 台的费用为4000 ， 10 台的费用为4500 平均数为 1 100(4000× 904500× 100)4050 40004050 同时应购买19 个易损零件 2 （2019 全国卷， 文 18， 12 分）某险种的基本保费为a（单位：元）， 继续购买该险种的 投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数0 1 2 3 4 5 161718192021 频数 更换的易损零件数 0 6 10 16 20 24 保费0.85aa 1.25a1.5a1.75a2a 随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数0 1 2 3 4 5 频数60 50 30 30 20 10 （ ）记A为事件： “ 一续保人本年度的保费不高于基本保费” ， 求P(A)的估计值； （ ）记B为事件： “ 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160” ， 求 P(B)的估计值； （）求续保人本年度的平均保费估计值 解： （）若事件A发生，则一年内出险次数小于2 则一年内险次数小于2 的频率为P(A) 60+50 200 0.55 P(A)的估计值为 0.55 （）若事件B发生，则一年内出险次数大于1 且小于 4 一年内出险次数大于1 且小于 4 的频率为P(B) 30+ 30 200 0.3 P(B)的估计值为0.3 （）续保人本年度的平均保费为 1 200(0.85a× 60a× 501.25a× 301.5a× 301.75a× 202a× 10)1.1925 a 3 （2019 全国 卷， 文 18， 12 分）下图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单 位：亿吨）的折线图 （ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （ ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01） ， 预测 2019 年我国生活垃圾无害化处 理量 附注： 参考数据： 7 1 9.32 i i y ， 7 1 40.17 ii i t y ， 7 1 2 )( i i yy 0.55， 7 2.646 参考公式：相关系数r n i n i ii n i ii yytt yytt 11 22 1 )()( )( 回归方程? ? ?t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ? n i i n i ii tt yytt 1 2 1 )( )( ，? ? ? ? ? ? 解： （）由折线图中数据得? ? 1 7(1234 567)4 1 分 由附注中参考数据得 7 1 )( i ii yytt 7 1i iiy t 7 1i i yt40.174× 9.322.89 2 分 7 1 2 )( i i tt (? 1- 4) 2 + (? 2- 4) 2 + (? 3- 4) 2 + (? 4- 4) 2 + (? 4- 4) 2 + (? 6- 4) 2 + (? 7- 4) 2 283 分 7 1 2 )( i i yy0.554 分 r n i n i ii n i ii yytt yytt 11 22 1 )()( )( n i i n i i yytt 1 2 1 2 )()( 89.2 55.028 89.2 0.99 5 分 y与t的相关关系r近似为 0.99， 说明y与t的线性相关程度相当高 可以用线性回归模型拟合y与t的关系 6 分 （）? ? 7 7 1i i y 9.32 7 1.3317 分 ? n i i n i ii tt yytt 1 2 1 )( )( 2.89 28 0.1038 分 ? ? ? ? ? ? 1.331 0.103× 4 0.929 分 y关于t的回归方程为? 0.920.103t10 分 2019 年对应的t911 分 把t9 代入回归方程得? 0.92 0.103× 91.82 预测 2019 年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82 亿吨 12 分 4 （2019 全国 卷，文 19， 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解 年宣传费x(单位：千元 )对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元 )的影响对近8 年的 年宣传费xi和年销售量yi(i1， 2， ， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一 些统计量的值 ? ?1 8 (xi?) 2 ?1 8 (wi?) 2 ?1 8 (xi?)(yi ?) ?1 8 (wi?)(yi ?) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi?，? 1 8 ?1 8 wi （）根据散点图判断，yabx与ycd?哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费 x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由 ) （）根据（ ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx根据（ ）的结果回答下列 问题： （）年宣传费x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)， (u2，v2)， ， (un，vn)， 其回归直线v u的斜率和 截距的最小二乘估计分别为? ?1 ? (?)(?) ?1 ? (?)2 ，? ? ? 解： （）ycd?适宜作为y关于x的回归方程类型 2 分 （）令w?， 先建立y关于w的回归方程 由于d i 1 8 (wiw)(yiy) i 1 8 (wiw)2 108.8 1.6 683 分 c yd w56368× 6.8100.64 分 y关于w的回归方程为y 100.668w5 分 y关于x的回归方程为y 100.668x 6 分 （） （）由（ ）知，当x49 时 y的预报值y 100.668 49576.67 分 z的预报值z 576.6× 0.249 66.329 分 （）根据（ ）的结果知 z 的预报值z 02(100.6 68x)xx13.6x20.12 10 分 当x 13.6 2 6.8， 即x46.24 时，z 取得最大值 11 分 年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大12 分 5 （2019 全国 卷， 文 18， 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区 分别随机调查了40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分 的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组50， 60) 60， 70) 70， 80) 80， 90) 90， 100 频数2 8 14 10 6 （）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分 的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； （）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 解： （） 4 分 B地区的平均值高于A地区的平均值 5 分 B地区比较集中，而A地区比较分散 6 分 （ ）A地区不满意的概率大 7 分 记CA表示事件： “A地区用户的满意度等级为不满意” CB表示事件： “B地区用户的满意度等级为不满意” 9 分 由直方图得P(CA)(0.010.020.03)× 10 0.6 10 分 P(CB)(0.0050.02)× 100.25 11 分 A地区不满意的概率大 12 分 6 （2014 全国 卷， 文 18， 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品 的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组75， 85) 85， 95) 95， 105) 105， 115) 115， 125) 频数6 26 38 22 8 （）作出这些数据的频率分布直方图； （）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)； （）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“ 质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80% ” 的规定？ 解： （） 4 分 （ ）平均数为x80× 0.0690× 0.26100× 0.38110× 0.22 120× 0.08100 方差为S 21 1006× (80100) 226× (90100)238× (100100)2 22× (110100) 28× (120100)2 104 平均数为100， 方差为 104 8 分 （ ）质量指标值不低于95 的比例为0.380.220.080.68 10 分 0.680.8 11 分 不能认为该企业生产的这种产品符合“ 质量指标值不低于95 的产品至少要占全部 产品的 80% ” 的规定 12 分 7 （2014 全国 卷， 文 19， 12 分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50 位市民根据这50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)， 绘制茎叶图 如下： 甲部门乙部门 3 5_9 4 4 0_4_4_8 9_7 5 1_2_2_4_5_6_6_7_7_7_8_9 9_7_6_6_5_3_3_2_1_1_0 6 0_1_1_2_3_4_6_8_8 9_8_8_7_7_7_6_6_5_5_5_5_5_4_4_4_3_3_3_2_1_0_0 7 0_1_1_3_4_4_9 6_6_5_5_2_0_0 8 1_2_3_3_4_5 6_3_2_2_2_0 9 0_1_1_4_5_6 10 0_0_0 （ ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （ ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90 的概率； （ ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价 解： （）甲的评分由小到大排序，排在第 25， 26 位的是 75， 75 样本中位数为 7575 2 75 甲的中位数是75 乙的评分由小到大排序，排在第 25， 26 位的是 66， 68 样本中位数为 6668 2 67 乙的中位数是67 （）甲的评分高于90 的概率为 5 50 0.1 乙的评分高于90 的概率为 8 50 0.16 甲、乙的评分高于90 的概率分别为0.1， 0.16 （）甲的中位数高于对乙的中位数 甲的标准差要小于对乙的标准差 甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大 8 （2019 全国 卷， 文 18， 12 分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗 效，随机地选取20 位患者服用A药，20 位患者服用B药，这 40 位患者在服用一段时 间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下： 服用A药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 解： （）设A的平均数为x，B的平均数为y x 1 20(0.61.21.21.51.51.82.2 2.32.32.4 2.52.62.7 2.72.8 2.9 3.03.13.23.5)2.3 y 1 20(0.50.50.60.80.91.11.2 1.21.31.4 1.61.71.8 1.92.1 2.4 2.52.62.73.)1.6 xy A药的疗效更好 （）茎叶图如下： 从茎叶图可以看出 A的结果有 7 10的叶集中在茎 2， 3 上 B的结果有 7 10的叶集中在茎 0， 1 上 A药的疗效更好 9 （2019 全国 卷，文 19， 12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t该产品获利润500 元，未售出的产品，每 1t亏损 300 元根据历史资料，得到销售 季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X(单位：t， 100X 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （）将T表示为X的函数； （）根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率 解： （）当X 100， 130)时，T500X300(130X)800X 39000 当 X 130， 150 时，T500× 13065000 T 800X39000， 100X130 65000， 130X 150 （）由（ ）知利润T不少于 57000 元，当且仅当120X 150 由直方图知需求量X120， 150 的频率为 0.7 下一个销售季度内的利润T不少于 57000 元的概率的估计值为0.7 10 （2012 全国卷， 文 18， 12 分）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然 后以每枝10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 （） 若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝， nN)的函数解析式； （）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝 )， 整理得下表： 日需求量n14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 （）假设花店在这100 天内每天购进17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润 (单位：元 ) 的平均数； （）若花店一天购进17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量 发生的概率，求当天的利润不少于75 元的概率 解： （）当日需求量n 17 时，利润y85 当日需求量n17 时， 利润y10n85 所以y关于n的函数解析式为y 10n85，n17 85，n 17 (nN) （） （）解法一： 由表格可得 有 10 天的日利润为5× 145× 355 元 有 20 天的日利润为5× 155× 265 元 有 16 天的日利润为5× 165× 175 元 有 1615131054 天的日利润为85 元 这 100 天的日利润的平均数为 1 100(55× 1065× 20 75× 1685× 54)76.4 （）解法二： 由（）y 10n85，n17 85，n 17 (nN)得 当n 14 时，10 天的日利润为10n8510× 148555 元 当n 15 时，20 天的日利润为10n8510× 158565 元 当n 16 时，16 天的日利润为10n8510× 168575 元 当n 17 时，54 天的日利润为85 元 这 100 天的日利润的平均数为 1 100(55× 1065× 20 75× 1685× 54)76.4 （）利润不低于75 元，当且仅当日需求量不少于16 枝 当天的利润不少于75 元的概率为P0.160.16 0.150.130.1 0.7 11 （2011 全国卷，文 19， 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表 明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品现用两种新配方(分别称为A 配方和B配方 )做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得 到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组90， 94) 94， 98) 98 ， 102) 102， 106) 106 ， 110 频数8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组90， 94) 94， 98) 98 ， 102) 102， 106) 106 ， 110 频数4 12 42 32 10 （ ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （ ）已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元 )与其质量指标值t的关系式为 y 2，t94 2， 94t102 4，t 102 ， 估计用B配方生产的一件产品的利润大于0 的概率，并求用 B配方生产的上述100 件产品平均一件的利润 解： （）A配方的优质品的频率为 228 100 0.3 A配方的优质品率为0.3 B配方的优质品的频率为 3210 100 0.42 B配方的优质品率为0.42 （）用B配方的利润大于0， 当且仅当t 94 t 94 的频率为0.96 B配方的利润大于0 的概率为 0.96 B配方的利润为 1 100× 4× (2)54× 242× 42.68(元)