2010年全国高考文科数学试题及答案-全国1.pdf

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 文科数学 ( 必修+选修) 本试卷分第I 卷( 选择题 )和第卷 (非选择题 ) 两部分。第I 卷 1 至 2 页。第卷3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 。 3第 I 卷共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式 ()()()P ABP AP B 2 4SR 如果事件A、B相互独立，那么其中 R表示球的半径 ()()()P A BP A P B球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率其中 R 表示球的半径 ( )(1)(0,1,2,) kknk nn P kC ppkn 一、选择题 (1)cos300 (A) 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2 (D) 3 2 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 1 cos300cos 36060cos60 2 (2) 设全集1,2,3,4,5U，集合1,4M，1,3,5N，则 U NMe A.1,3 B、1,5 C、3,5 D、4,5 2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】2,3,5 UM e，1,3,5N，则 U NMe1,3,52,3,5=3,5 (3) 若变量, x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy 则2zxy的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图）， 11 2 22 zxyyxz，由图可知 ,当直线l经过点 A(1,-1) 时， z 最大，且最大值为 max 12( 1)3z. （4）已知各项均为正数的等比数列 n a ， 123 a a a=5， 789 a a a=10，则 456 a a a= (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由 等 比 数 列 的 性 质 知 3 1231322 ()5a a aa aaa， 3 7897988 ()a a aa aaa10, 所以 1 3 28 50a a, 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa a (5) 43 (1) (1)xx的展开式 2 x的系数是 (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A、 【命题意图】 本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公 式的灵活应用， 以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些 基本运算能力 . 【解析】 13 43234 22 (1) (1)14641 33xxxxxxxxx 0xy 1 O yx y 20xy x A 0 :20lxy 2 2 A 2 x的系数是 -12+6=-6 (6) 直三棱柱 111 ABCA BC中，若90BAC， 1 ABACAA，则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 (A)30 °(B)45 °(C)60° (D)90° 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA B C的性质、异面直线所成的角、异 面直线所成的角的求法、 【解析】延长CA 到 D，使得ADAC，则 11 ADAC为平行四边形， 1 DA B就是异面直 线 1 BA与 1 AC所成的角，又三角形 1 ADB为等边三角形， 0 1 60DA B (7) 已知函数( )| lg|f xx. 若ab且，( )( )f af b，则ab的取值范围是 (A)(1,) (B)1,)(C) (2,) (D) 2,) 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做 本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b= 1 2a a ,从而错选D,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为f(a)=f(b), 所以 |lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去 )，或 1 b a ，所以 a+b= 1 a a 又 0f(1)=1+1=2, 即 a+b 的取值范围是 (2,+). 【解析2】由 0ab, 且f(a)=f(b) 得： 01 1 1 a b ab ，利用线性规划得： 01 1 1 x y xy ，化为求 zxy的取值范围问题，zxyyxz， 2 11 1yy xx 过点1,1 时 z 最小为 2, (C) (2,) （8）已知 1 F、 2 F为双曲线C: 22 1xy的左、右焦点，点P在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60， 则 12 | |PFPF A B C D A1 B1 C1 D1 O (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFF F PFPF 2 222 12 1212120 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFF F PF PFPFPF 12 | |PFPF4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPFPFPFPF 12 | |PFPF4 （9）正方体ABCD- 1111 A B C D中， 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值为 （A） 2 3 （ B ） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法，利用等体积转化求出D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在, 这也是转化思想 的具体体现 . 【解析 1】 因为 BB 1/DD1,所以B 1 B与平面 AC 1 D所成角和DD1与平 面 AC 1 D所成角相等 ,设DO 平面AC 1 D，由等体积法得 11 DACDDACD VV,即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD.设 DD1=a, 则 1 22 1 1133 sin60(2 ) 2222 ACD SAC ADaa, 2 11 22 ACD SAD CDa. 所 以 1 3 1 2 3 3 3 A C D A C D SD Da D Oa S a , 记DD1 与 平 面AC 1 D所 成 角为, 则 1 3 sin 3 DO DD ,所以 6 cos 3 . 【解析 2】 设上下底面的中心分别为 1, OO； 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D 所成角， 1 11 1 36 cos1/ 3 2 OO OOD OD （10）设 1 2 3 log 2,ln2,5abc则 （A）abc（B）bca (C) cab (D) cba 10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实 数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= 3 log2= 2 1 log 3 , b=In2= 2 1 log e ,而 22 log 3log1e,所以 ab, c= 1 2 5= 1 5 ,而 22 52log 4log 3,所以 ca,综上 cab. 【解析2】a= 3 log2= 3 2 1 log ,b=ln2= 2 1 log e , 3 22 1loglog2 e ， 3 22 111 1 2loglog e ； c= 1 2 111 5 254 ， cab （11）已知圆O的半径为1，PA 、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的 最小值为 (A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 11.D【命题意图】 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求 法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】 如图所示： 设 PA=PB=x(0)x, APO= , 则 APB=2，PO= 2 1x， 2 1 sin 1x ， | |cos2PA PBPAPB= 22 (1 2sin)x= 22 2 (1) 1 xx x = 42 2 1 xx x ，令PAPBy，则 42 2 1 xx y x ， 即 42 (1)0xy xy，由 2 x是实数，所以 2 (1)4 1 ()0yy， 2 610yy，解得32 2y或32 2y. 故 min ()32 2PA PB.此时21x. P A B O 【解析 2】设,0APB， 2 cos1/ tancos 2 PAPBPAPB 22 2 2 22 1 sin12sin cos 22 2 12sin 2 sinsin 22 换 元 ： 2 s i n, 01 2 xx， 112 1 23223 xx PAPBx xx 【解析 3】建系：园的方程为 22 1xy ，设 11110 (,),(,),(,0)A x yB xyP x， 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 22123223PAPBxx xxyxxxxx （12）已知在半径为2 的球面上有A、B 、C、D四点，若AB=CD=2, 则四面体ABCD的体积的 最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离, 通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过CD作平面PCD ，使 AB 平面PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD的距离为h, 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 ,当直径通过AB与 CD的中点时 , 22 max 2 212 3h, 故 max 4 3 3 V. 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共2 页，请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效 。 222 10110111001 ,2PA PBxxyxxyxx xxy 3.第卷共10 小题，共90 分。 二填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效 ) (13) 不等式 2 2 0 32 x xx 的解集是 . 13、21,2xxx或 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 【解析】 : 2 2 0 32 x xx 2 02210 21 x xxx xx ，数轴标根 得：21,2xxx或 (14) 已知为第二象限的角， 3 sin 5 a, 则tan 2 . 14. 24 7 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 正切公式 ,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为为第二象限的角, 又 3 sin 5 , 所以 4 cos 5 ， sin3 tan cos4 , 所 2 2tan24 tan(2) 1tan7 (15) 某学校开设A类选修课 3 门，B类选修课4 门，一位同学从中共选3 门，若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有种.( 用数字作答 ) 15、A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识, 以及分类讨论 的数学思想 . 【解析 1】:可分以下 2 种情况 :(1)A类选修课选 1 门,B 类选修课选2 门, 有 12 34 C C种不同的选法 ;(2)A类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门, 有 21 34 C C种不 同的选法 . 所以不同的选法共有 12 34 C C+ 21 34 18 1230C C种. 【解析 2】: 333 734 30CCC (16) 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点， 线段BF的延长线交C于点D， 且 BF2FD uu ruu r ，则C的离心率为 . 16、 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识， 考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析 1】如图， 22 |BFbca, 作 1 DDy轴于点 D1, 则由BF2FD uu ruu r ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc, 即 3 2 D c x,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由|2|BFFD, 得 2 3 2, c aa a 3 3 e 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab ，设 22 ,D xy，F 分 BD所成的比为2， 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ，代入 22 22 91 1 44 cb ab ， 3 3 e 三解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分10 分） ( 注意：在试题卷 上作答无效 ) 记等差数列 n a的前n项和为 n S，设 3 12S，且 123 2,1a a a成等比数列，求 n S. (18)( 本小题满分12 分)( 注意：在试题卷上作答无效 ) 已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角C (19)( 本小题满分12 分) （ 注意：在试题卷上作答无效 ) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为0.3 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率； (II)求投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2篇被录用的概率 xO y B F 1 D D （20） （本小题满分12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 如图，四棱锥S-ABCD中， SD底面 ABCD ，AB/DC，ADDC ，AB=AD=1 ， DC=SD=2 ，E为 棱 SB上的一点，平面EDC平面 SBC . （）证明：SE=2EB ； （）求二面角A-DE-C 的大小 . （21）( 本小题满分12 分) （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数 42 ( )32(31)4f xaxaxx （I ）当 1 6 a时，求( )f x的极值 ; （II ）若( )f x在1,1上是增函数，求a的取值范围 (22)( 本小题满分12 分) （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点( 1,0)K的直线l与C相交于A、B两点， 点 A关于x轴的对称点为D . （）证明：点F在直线BD上； （）设 8 9 FA FB，求BDK的内切圆M的方程 . 三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17) 解： （1）由am=a1+（n-1）d 及 a1=5，aw=9 得 a1+2d=5 a1+9d=-9 解得a1=9 d=-2 数列am 的通项公式为 an=11-2n。 因为 Sm=(n-5) 2+25. 所以 n=5 时, Sm取得最大值。 （18）解： （1）因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 AC PH又 AC BD,PH,BD都在平面 PHD 内, 且 PH BD=H. 所以 AC 平面 PBD 故平面 PAC 平面 PBD (2)由（1）知 Sm=na1+n(n-1) 2 d=10n-n 2 (2)因为 ABCD 为等腰梯形， ABCD,ACBD,AB=6. 所以 HA=HB=3、因为APB=ADR=60 0 所以 PA=PB=6,HD=HC=1. 可得 PH=3. 等腰梯形 ABCD 的面积为 S= 1 2 AC x BD = 2+3、9分 所以四棱锥的体积为V= 1 3 x（2+3）x3= 32 3 3 12分 （19）解： （1）调查的 500位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 ,因此该地区 老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为 70 14% 500 、4 分 (2) 2 2 500(4027030 160) 9.967 20030070430 k 由于9.9676.635所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与 性别有关、8分 （3）由于（ 2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并 且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显 差异,因此在调查时 ,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男 ,女两 层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好、12 分 （20）解： （1）由椭圆定义知 22 F+F 又2 AB = AFFAB得 L 的方程式为 y=x+c,其中 c= 1-b 2 ,(2) 设 A,(x1,y1),B(x1,y1)则 A,B 两点坐标满足方程组 y=x+c x2+y 2 b 2=1 化简得 (1+b 2)x2+2cx+1-2b2=0 则 x1+x2= -2c 1+b 2.x1x2=1-2b 2 1+b 2 （2） 即 21 4 2 3 xx. 则 224 2 121 2 2222 84(1)4(1 2)8 ()4 9(1)11 bbb xxx x bbb 解得 2 2 b. （21）解： （） 1 2 a时， 2 1 ( )(1) 2 x f xx ex，'( )1(1)(1) xxx fxexexex。当 , 1x时'( )fx;当1,0x时，'( )0fx;当0,x时，'( )0fx。 故( )f x在, 1 ， 0,单调增加，在（ -1，0）单调减少。 （）( )(1) a f xx xax 。令( )1 a g xxax，则'( ) x g xea。若1a，则 当0,x时，'( )gx，( )g x为减函数，而(0)0g，从而当 x0 时( )g x 0，即( )f x0. 若a，则当0, lnxa 时，'( )gx，( )g x为减函数，而(0)0g，从而当 0,lnxa 时( )g x0，即( )f x0、综合得 a的取值范围为,1 (22) 解: (1)因为 AC=BD 所以 BCD=ABC 又因为 EC 与圆相切于点 C,故ACE=ABC 所以 ACE= BCD (II)因为 ECB= CDB, EBC= BCD, ,5 分 所以 BDC ECB, 故 BC BE = CD BC 即BC 2=BE ×CD ,10分 （23）解： （I）当 3 时，C1的普通方程为 3(1)yx ，C2的普通方 程为 22 1xy. 联立方程组 22 3(1), 1, yx xxy 解得 C1与 C2的交点为（ 1,0） ， 13 (,) 22 （II）C1的普通方程为sincossin0xy. A 点坐标为 2 (sin,cos sin )aaa ，故当 a变化时， P点轨迹的参数方程为 21 sin 2 1 sincos 2 xa yaa （ a为参数） P 点轨迹的普通方程为 22 11 () 416 xy 故 P 点是圆心为 1 (,0) 4 ，半径为 1 4 的 圆 (24)解：: -2x+5,x2 (1)由于 f (x)= 2x-3,x2 则函数 y=f(x)的图像如图所示 .。 ,5 分 （）由函数 x yf与函数yax的图像可知， 当且仅当2a时，函数 x yf 与函数yax的图像有交点。故不等式 x fax的解集非空时， a 的取值范围为 1 , 2, 2 。10 分