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2018 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分） 1. 设71a，则 32 312612aaa（） A.24. B. 25. C. 4 710. D. 4 712. 2在 ABC 中，最大角 A 是最小角 C 的两倍，且AB 7，AC 8，则 BC（） A.7 2. B. 10. C. 105. D. 7 3. 3用 x表示不大于x的最大整数，则方程 2 2 30xx的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4设正方形ABCD 的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两 个，它们的面积相等的概率为（） A. 3 14 . B. 3 7 . C. 1 2 . D. 4 7 . 5如图，在矩形ABCD 中， AB 3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半 圆的切线AE，则sinCBE（D ） A. 6 3 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 10 10 . 6设n是大于 1918 的正整数，使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n的个数是（） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分） 1已知t是实数，若,a b是关于x的一元二次方程 2 210xxt的两个非负实根，则 22 (1)(1)ab的 最小值是 _. 2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点，作DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已知 ADE 、 DBF 的面积分别为m和n，则四边形DECF 的面积为 _. 3如果实数,a b满足条件 22 1ab， 22 |12| 21ababa，则ab_. 4已知,a b是正整数，且满足 1515 2() ab 是整数，则这样的有序数对( , )a b共有 _对. D A B C E 第一试答案：ACCBDB ； 3，2 mn，1，7 第二试（A） 一 （本题满分20 分） 已知二次函数 2 (0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的 交点为 C.设 ABC 的外接圆的圆心为点P. （ 1）证明： P 与y轴的另一个交点为定点. （ 2）如果 AB 恰好为 P的直径且2 ABC S ，求b和c的值 . 解 : （1）易求得点C的坐标为(0, )c，设 1 A(,0)x， 2 B(,0)x，则 12 xxb， 12 x xc. 设 P与y轴的另一个交点为D，由于 AB 、CD 是 P 的两条相交弦，它们的交点为点O，所以 OA×OB OC×OD，则 12 1 x xc OA OB OD OCcc . 因为0c，所以点C在y轴的负半轴上， 从而点 D 在y轴的正半轴上， 所以点 D 为定点， 它的坐标为 (0,1). （ 2）因为 AB CD，如果 AB 恰好为 P 的直径，则C、D 关于点 O 对称，所以点C的坐标为(0, 1)， 即1c. 又 222 121212 ()4()44ABxxxxx xbcb，所以 211 4 12 22 ABC SAB OCb ，解得2 3b. 二 （本题满分25 分）设 CD 是直角三角形ABC 的斜边 AD 上的高， 1 I、 2 I分别是 ADC 、BDC的内心， AC 3， BC4，求 1 I 2 I. 解作 1 IEAB 于 E， 2 IFAB 于 F. 在直角三角形ABC 中， AC3，BC4， 22 AB =AC +BC5. 又 CDAB ，由射影定理可得 2 AC9 A D = AB5 ，故 16 BD = ABAD 5 ， 2212 CD =ACAD 5 . 因为 1 IE 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以 1 I E 13 (ADCDAC) 25 . 连接 D 1 I、 D 2 I， 则 D 1 I、 D 2 I分别是 ADC 和 BDC 的平分线，所以 1 IDC 1 IDA 2 IDC 2 IDB 45°，故 1 ID 2 I 90°，所以 1 ID 2 ID， 1 1 1 3 I E3 2 5 DI sinADIsin 455 . F E I1 I2 D B A C 同理，可求得 2 4 I F 5 ， 2 4 2 D I 5 . 所以 1 I 2 I 22 12 D ID I2. 三 （本题满分25 分） 已知, ,a b c为正数，满足如下两个条件： 32abc 1 4 bcacababc bccaab 证明：以,abc为三边长可构成一个直角三角形. 证法 1将两式相乘，得()()8 bcacababc abc bccaab ， 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 0 bcacababc bccaab ， 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababcabc bccaab ， 即 () ()()()0 bca a bcab cabc abc abc ， 即 222 () 20 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ， 即 () ()()0 bca cab cab abc ， 所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形. 证法 2结合式，由式可得 3223223221 4 abc bccaab ， 变形，得 222 1 10242() 4 abcabc 又由式得 2 ()1024abc，即 222 1024 2()abcabbcca， 代入式，得 1 1024210242() 4 abbccaabc，即16()4096abcabbcca. 3 (16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc 3 409625632160， 所以16a或16b或16c. 结合式可得bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形. 第二试（B） 一 （本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二 （本题满分25 分）已知 ABC 中， ACB 90°， AB 边上的高线 CH 与 ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P、 Q 两点 .PM、QN 的中 点分别为E、F.求证： EF AB. 解因为 BN 是 ABC 的平分线，所以ABNCBN. 又因为 CHAB，所以 CQNBQH90ABN90CBNCNB， 因此CQNC. 又 F 是 QN 的中点，所以CFQN，所以CFB90CHB，因此 C、F、 H、 B 四点共圆 . 又FBH =FBC，所以 FCFH，故点 F 在 CH 的中垂线上 . 同理可证，点E 在 CH 的中垂线上 . 因此 EF CH.又 AB CH，所以 EFAB. 三 （本题满分25 分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试（C） 一 （本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二 （本题满分25 分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三 （本题满分25 分） 已知, ,a b c为正数，满足如下两个条件： 32abc 1 4 bcacababc bccaab 是否存在以,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法 1将两式相乘，得()()8 bcacababc abc bccaab ， 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 0 bcacababc bccaab ， F Q E P H N M A C B 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababcabc bccaab ， 即 () ()()()0 bca a bcab cabc abc abc ， 即 222 () 20 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ， 即 () ()()0 bca cab cab abc ， 所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba. 因此，以 ,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90°. 解法 2结合式，由式可得 3223223221 4 abc bccaab ， 变形，得 2221 10242() 4 abcabc 又由式得 2 ()1024abc，即 222 1024 2()abcabbcca， 代入式，得 1 1024210242() 4 abbccaabc，即16()4096abcabbcca. 3 (16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc 3 409625632160， 所以16a或16b或16c. 结合式可得bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.