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高考概率与统计10 大考点解析 概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和 概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变 量概率分布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考 查特点和命题趋向。下面对其常见题型和考点进行解析。 考点 1 考查等可能事件概率计算 在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如 果事件A 包含的结果有m 个，那么P（A）= n m 。这就是等可能事件的判断方法 及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以 及分析和解决实际问题的能力。 例 1（2004 天津）从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛. (I) 求所选 3 人都是男生的概率； (II) 求所选 3 人中恰有1 名女生的概率； (III) 求所选 3 人中至少有1 名女生的概率 . 考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件A、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为 A+B，用概率的加法公式)()()(BPAPBAP计算。 事件 A（或 B）是否发生对事件B（或 A）发生的概率没有影响，则A 、 B叫做相互独 立事件，它们同时发生的事件为BA。用概率的乘法公式BPAPBAP计 算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算 能力进行考查。 例 2.（2018 全国卷） 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙 都需要照顾的概率为0.18，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概 率为 0.125， （）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 考点 3 考查对立事件概率计算 必有一个发生的两个互斥事件A、B 叫做互为对立事件。即 AB或BA。 用概率的减法公式 _ 1APAP计算其概率。 高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行 考查。 例 3 （2018 福建卷文） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 考点 4 考查独立重复试验概率计算 若在n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则 此试验叫做n次独立重复试验。若在1 次试验中事件A 发生的概率为P，则在n次 独立惩处试验中，事件A 恰好发生k次的概率为 knkk nn PPCkP1。 高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算 方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 例 4 （2018 湖北卷） 某会议室用5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同. 假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1 年以上的概率 为 p1，寿命为2 年以上的概率为p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作， 只更换已坏的灯泡，平时不换. （） 在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2 只灯泡的概率； （）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯 泡的概率； （）当p1=0.8， p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4 只灯泡 的概率（结果保留两个有效数字）. 考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算 解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同 时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列 和期望、 方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用 概率知识解决实际问题的能力。 例 5 （2018 湖北卷） 某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内 最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考 试，否则就一直考到第4 次为止。 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通 过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列 和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率. 考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1 考查随机变量概率分布列与函数结合 例 6.（2018 湖南卷） 某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点 的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开 该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （）求 的分布及数学期望； （）记“函数f(x)x 23x1 在区间 2， )上单调递增”为事件A，求事件 A 的概率 . 2、考查随机变量概率分布列与数列结合 例 7 甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下： 若射击一次击中，原射击者继续射击，若 射击一次不中，就由对方接替射击。已知 甲乙两人射击一次击中的概率均为 8 7 ，且 第一次由甲开始射击。 （1）求前 4 次射击中，甲恰好射击3 次的概率。 （2）若第n次由甲射击的概率为 n a， 求 数 列 n a的 通 项 公 式 ； 求 n n alim，并说明极限值的实际意 义。 3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合 例 8（2018 辽宁卷） 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序 的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B 两个等级 .对每种产品， 两道工 序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分 别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙； （）已知一件产品的利润如表二所示，用、 分别表示一件甲、乙产品的利 润，在（ I）的条件下，求、的分布列及E、E； （）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40 名， 可用资金 60 万元 .设 x、 y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下， x、y 为何值时，yExEz最大？最大值是多少？（解答时须给出图示） 考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用 设离散型随机变量的分布列为 1 x 2 xix P 1 P 2 P i P 它有下面性质：),2, 1(0 iPi , 1 21i ppp即总概率为1； 期望; 11iiP xPxE 方差 ii PExPExD 2 1 2 1 )()( 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查. 例9 (2004 年 湖 北 高 考 题 ) 设 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 ,5 )( k a kPa为 常 数,k=1,2,则 a= 0.3 0.1 4.34.44.54.64.74.84.9 5.0 5.1 5.2 视力 频率 组距 例 10(2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规 定:每题回答正确得100 分,回答不正确得100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均 为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响. 求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望. 求这名同学总得分不为负分(即)0)的概率 . 例 11 (2002 年天津高考题) 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5 年的平均单位面积 产量如下（单位：t/hm 2） ： 其中产量比较稳定的小麦品种是_. 考点 8 样本抽样识别与计算 简单随机抽样,系统抽样 ,分层抽样得共同特点是不放回抽样,且各个体被抽取得 概率相等 ,均为 (N 为总体个体数,n 为样本容量 ).系统抽样 ,分层抽样的实质分别是等距 抽样与按比例抽样,只需按照定义,适用范围和抽样步骤进行,就可得到符合条件的样 本.高考常结合应用问题,考查构照抽样模型,识别图形 ,搜集数据 ,处理材料等研究性学 习的能力 . 例 12 （ 2018 年湖北湖北高考题）某初级中学有学生270 人，其中一年级118 人， 二、三年级各81 人，现要利用抽样方法抽取10 人参加某项调查，考虑选用简单随机 抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、 二、三年级依次统一编号为1，2， 270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号 1，2， 270，并将整个编号依次分为10 段.如果抽得号码有下列四种情况： 7，34，61，88，115，142，169，196，223， 250； 5，9，100，118，111， 121，180，195，200，265； 11，38，65， 92，119，146， 173，200，227，254； 30，57，84， 111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样 C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样 例 13 (2018 年湖南高考题 )一工厂生产了某种产品16800 件， 它们来自甲 乙 丙 3 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知 甲乙丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_ 件产品 . 考点 9 考查直方图。 例 14. （2018 江西卷） 为了解某校高 三学生的视力情况，随机地抽 查了该校100 名高三学生的视 力情况， 得到频率分布直方图， 如右，由于不慎将部分数据丢 失，但知道前4 组的频数成等 比数列，后6 组的频数成等差 数列，设最大频率为a，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为b，则 a, b 的值分别为 （） A0,27,78 B0,27,83 C2.7,78 D2.7,83 考点 10 考查正态分布 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100） 。 已知成绩在90 分以上（含90 分）的学生有12 名。 （）试问此次参赛的学生总数约为多少人？ （）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50 名的学生， 试问设奖的分数线约为多少分？ 可供查阅的（部分）标准正态分布表（x0）=P(xx0） 精品推荐强力推荐值得拥有
