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1 高中数学知识点总结 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合，、Ax yxBy yxCx y yxABC|lg|lg( , )|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合，Ax xxBx ax| 2 2301 若，则实数 的值构成的集合为BAa （答：， ，）10 1 3 3. 注意下列性质： （ ）集合，的所有子集的个数是；12 12 aaan n （）若，；2ABABAABB （3）德摩根定律： CCCCCC UUUUUU ABABABAB， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax xa MMMa 5 035 2 的取值范围。 （， · ， · ，） 3 35 3 0 5 55 5 0 1 5 3 925 2 2 M a a M a a a 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和( )( ) “非” (). 若为真，当且仅当、 均为真pqpq 2 若为真，当且仅当、 至少有一个为真pqpq 若为真，当且仅当为假pp 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB， 是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对 应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0 义域是 _。 （答：，）aa 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数的定义域是y xx x 4 3 2 lg （答：，）022334 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：，求fxexf x x 1( ). 令，则txt10 xt 2 1 f tet t ( ) 2 12 1 f xexx x ( ) 2 12 10 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解 x；互换x、y；注明定义域） 如：求函数的反函数f x xx xx ( ) 10 0 2 3 （答：）fx xx xx 1 11 0 ( ) 13. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线yx 对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf 1( ) ba ff afbaf fbf ab 111 ( )( )( )( )， 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ （，则 （外层）（内层） yf uuxyfx( )( )( ) 当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）fxfx( )( ) 如：求的单调区间yxxlog 1 2 2 2 （设，由则uxxux 2 2002 且，如图：log1 2 2 11uux u O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log01 1 2 当，时，又，xuuy)log12 1 2 ） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x'( )( )0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx'()0 如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa01 3 ( ) 4 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 fxxax a x a '()33 33 0 2 则或x a x a 33 由已知在，上为增函数，则，即f x a a( )1 3 13 a 的最大值为3） 16. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( ) 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( ) 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0 如：若 · 为奇函数，则实数f x aa a x x ( ) 22 21 （为奇函数，又，f xxRRf( )( )000 即 · ，） aa a 22 21 01 0 0 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf x x x ( )()()( )1101 2 41 求在，上的解析式。f x( )11 （令，则，xxfx x x 1001 2 41 () 又为奇函数，f xf x x x x x ( )( ) 2 41 2 14 5 又， ， ， ）ff x x x x x x x x ( )( ) () 00 2 41 10 0 2 41 01 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( ) 函数，T 是一个周期。） 如：若，则f xaf x( ) （答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( )2 又如：若图象有两条对称轴，f xxaxb( ) 即，f axf axf bxf bx()()()() 则是周期函数，为一个周期f xab( )2 如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f xfxy( )()与的图象关于轴 对称 f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称 f xfx( )()与的图象关于 原点 对称 f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称 1 f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2 f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20 6 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa ( ) () () () () 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab () () () () 0 0 注意如下“翻折”变换： f xf x f xfx ( )( ) ( )(| |) 如： f xx( )log 2 1 作出及的图象yxyxloglog 22 11 y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k0) y=b O (a,b) O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k （ ）反比例函数：推广为是中心，200y k x kyb k xa kO ab'() 的双曲线。 （ ）二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbxc aa x b a acb a 顶点坐标为，对称轴 b a acb a x b a2 4 42 2 7 开口方向：，向上，函数ay acb a 0 4 4 2 min ay acb a 0 4 4 2 ，向下， max 应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程 axbxcxxyaxbxcx 2 12 2 00，时，两根、为二次函数的图象与轴 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc 2 00() 求闭区间m， n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程的两根都大于axbxck b a k f k 2 0 0 2 0( ) y (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )0 （ ）指数函数：，401yaaa x （ ）对数函数，501yx aa a log 由图象记性质！（注意底数的限定！） y y=a x(a1) (01) 1 O 1 x (01 e=1 0e1 P 6910 2 2 2 2 2 2 2 2 . 与双曲线有相同焦点的双曲线系为 x a y b x a y b 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为 零？ 0 的限制。 （求交点，弦长， 中点， 斜率， 对称存在性问题都在0 下进行。 ） 弦长公式 P Pkxxx x 12 2 12 2 12 14 1 1 4 2 12 2 12 k yyy y 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？ 如： y P(x0,y0) K F1O F2 x l x a y b 2 2 2 2 1 PF PK ePFe x a c exa 2 20 2 0 ， PFexa 10 39 y A P2 O F x P1 B ypx p 2 20 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。 如：椭圆与直线交于、两点，原点与中点连mxnyyxMNMN 22 11 线的斜率为，则的值为 2 2 m n 答案： m n 2 2 73. 如何求解“对称”问题？ （1）证明曲线C：F（x， y） 0 关于点 M（a， b）成中心对称，设 A（ x， y）为 曲线 C 上任意一点，设 A'（x'， y'）为 A 关于点 M 的对称点。 （由，）a xx b yy xaxyby '' '' 22 22 只要证明，也在曲线上，即AaxbyCf xy'( ')'22 （ ）点、关于直线对称 中点在上 2AA AA AA ' ' ' l l l kk AA AA' ' · 中点坐标满足方程 l l 1 74 222 . cos sin 圆的参数方程为（ 为参数）xyr xr yr 椭圆的参数方程为（ 为参数） x a y b xa yb 2 2 2 2 1 cos sin 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。 （直接法、定义法、转移法、参数法） 76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直 线，求出目标函数的最值。 40