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高中数学知识点总结空间向量与立体几何 一、考点概要： 1、空间向量及其运算 （1）空间向量的基本知识： 定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向 线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 空间向量基本定理： 定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量， 存在唯一的有序实数组 x、y、z， 使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。 正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常 用表示。 空间四点共面：设O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间中任意一点P， 都存在唯一的 有序实数组 x、y、z， 使。 共线向量（平行向量） ： 定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量 或平行向量，记作。 规定：零向量与任意向量共线； 共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数 ， 使 。 共面向量： 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向 量。 向量与平面平行： 如果直线 OA 平行于平面或在 内，则说向量平行于平面 ，记作。 平行于同一平面的向量，也是共面向量。 共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对 x、y， 使。 空间的三个向量共面的条件：当、 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、 、 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线 所确定的平面内。 共面向量定理的推论：空间一点P 在平面 MAB 内的充要条件是：存在有序实数对x、y， 使 得， 或对于空间任意一定点O， 有。 空间两向量的夹角：已知两个非零向量、， 在空间任取一点O， 作，（两 个向量的起点一定要相同） ， 则叫做向量与的夹角，记作， 且。 两个向量的数量积： 定义：已知空间两个非零向量、， 则叫做向量、的数量积， 记作， 即：。 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积）， 它的结果是一个实数，它等于两 向量的模与其夹角的余弦值。 数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影（其中为向量和的夹角）。 即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。 基本性质： 运算律： （2）空间向量的线性运算： 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下： 加法：减法： 数乘向量： 运算 律： 加法 交换律 ：加法 结 合 律： 数乘分配律： 二、复习点睛： 1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解 决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系， 形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循 “ 三步” ：一化向量问题，二进行向量 运算， 三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结 合律， 因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方 差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出， 下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：。 2、空间向量的坐标表示： （1）空间直角坐标系： 空间直角坐标系O-xyz， 在空间选定一点O 和一个单位正交基底， 以点 O 为原点， 分别以的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴， 它们都叫做坐标轴，点 O 叫做原点， 向量叫做坐标向量， 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面。 右手直角坐标系： 右手握住 z 轴， 当右手的四指从正向x 轴以 90°角度转向正向 y 轴时， 大拇 指的指向就是 z 轴的正向； 构成元素：点（原点） 、线（ x、y、z 轴） 、面（ xOy 平面， yOz 平面，zOx 平面） ； 空间直角坐标系的画法： 作空间直角坐标系O-xyz 时， 一般使 xOy=135° (或 45° ), yOz=90° ， z轴垂直于 y 轴， z 轴、y 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或 z 轴）的一半； （2）空间向量的坐标表示： 已知空间直角坐标系和向量， 且设为坐标向量（如图）， 由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。 在空间直角坐标系O-xyz 中， 对于空间任一点A， 对应一个向量， 若， 则有序数组 (x， y， z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A(x， y， z)， 其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能 变。 空间任一点的坐标的确定：过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面）， 分别交坐标轴 于 A、B、C 三点， x=OA ， y=OB ， z=OC ， 当与的方向相同时，x0， 当 与的方向相反时，x0， 同理可确 y、z（如图）。 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是， 空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设， 则： （3）空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离：； 空间线段的中点 M（x， y， z）的坐标：； 球面方程： 二、复习点睛： 4、过定点 O， 作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位。这三 条轴分别叫做 z 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）；统称坐标轴。通常把 x 轴和 y 轴配置在水 平面上， 而 z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空 间直角坐标系，点 O 叫做坐标原点。 5、空间直角坐标系中的特殊点: （1）点（原点）的坐标： (0,0,0)； （2）线（坐标轴）上的点的坐标：x 轴上的坐标为 (x,0,0)， y 轴上的坐标为 (0,y,0)， z 轴上的坐标 为(0,0,z)； （3）面（ xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面）内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标 为(0,y,z)、平面上的坐标为 (x,0,z) 6、要使向量与 z 轴垂直， 只要 z=0即可。事实上，要使向量与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为 0 即可。 7、空间直角坐标系中，方程 x=0 表示 yOz 平面、方程 y=0 表示 zOx 平面、方程 z=0 表示 xOy 平面， 方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、方程 y=b 表示平行于平面zOx 的平面、方程 z=c 表示平行于平 面 xOy 平面； 8、 只要将和代入， 即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样； 9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成任意不共面的 三个向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。 立体几何中的向量方法 1空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设 a(a1， a2， a3)， b(b1， b2， b3)， 则a± b(a1± b1， a2± b2， a3± b3)； a(a1， a2， a3)； a· ba1b1a2b2a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a(a1， a2， a3)， b(b1， b2， b3)， 则 ab? ab? a1b1， a2b2， a3b3( R)， ab? a· b0? a1b1a2b2a3b30(a， b 均为非零向量 ) (3)模、夹角和距离公式 设 a(a1， a2， a3)， b(b1， b2， b3)， 则|a|a· aa21a22a23， cosa， b a· b |a|b| a1b1a2b2a3b3 a2 1a22a23· b21b22b 2 3. 设 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)， 则 dAB|AB |a2a1 2 b2b12 c2c12. 2立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 直线的方向向量： l 是空间一直线，A， B 是直线 l 上任意两点，则称AB 为直线 l 的方向向量，与 AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量 平面的法向量可利用方程组求出：设a， b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求 法向量的方程组为 n· a0， n· b0. (2)用向量证明空间中的平行关系 设直线 l1和 l2的方向向量分别为v1和 v2， 则 l1l2(或 l1与 l2重合 )? v1v2. 设直线 l 的方向向量为 v， 与平面 共面的两个不共线向量v1和 v2， 则 l或 l? ? 存在两个实 数 x， y， 使 vxv1yv2. 设直线 l 的方向向量为 v， 平面 的法向量为 u， 则 l或 l? ? vu. 设平面 和 的法向量分别为 u1， u2， 则 ? u1u2. (3)用向量证明空间中的垂直关系 设直线 l1和 l2的方向向量分别为v1和 v2， 则 l1l2? v1 v 2? v1· v20. 设直线 l 的方向向量为 v， 平面 的法向量为 u， 则 l ? vu. 设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2， 则 ? u1 u 2? u1· u20. (4)点面距的求法 如图， 设 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离 d|AB · n| |n| . 一种思想 向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本 定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化： (1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标； (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标 得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题 三种方法 主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题： (1)平行 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 (2)垂直 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 (3)点到平面的距离 求点到平面距离是向量数量积运算(求投影 )的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离 和平面与平面距离的基础 双基自测 1 两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则 l1与 l2的位置关系是 () A平行B相交C垂直D不确定 解析v2 2v1， v1 v 2. 答案A 2已知平面 内有一个点 M(1， 1,2)， 平面 的一个法向量是n(6， 3,6)， 则下列点 P 中在 平面 内的是 () AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3， 3,4) 解析n(6， 3,6)是平面 的法向量， nMP ， 在选项 A 中， MP (1,4,1)， n· MP 0. 答案A 3(2011 ·唐山月考 )已知点 A， B， C平面 ， 点 P? ， 则AP · AB 0， 且AP · AC 0 是AP · BC 0 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析由 AP · AB 0 AP · AC 0 ， 得AP · (AB AC )0， 即AP · CB 0， 亦即AP · BC 0， 反之， 若AP · BC 0， 则AP · (AC AB )0? AP · AB AP · AC ， 未必等于 0. 答案A 4(人教 A 版教材习题改编 )已知 a(2， 3,1)， b(2,0,4)， c(4， 6,2)， 则下列结论正确 的是() Aac， bcBab， ac Cac， abD以上都不对 解析c(4， 6,2)2(2， 3,1)2a， ac， 又 a· b2×2(3)×01×40， ab. 答案C 5(2012 ·舟山调研 )已知AB (2,2,1)， AC (4,5,3)， 则平面 ABC 的单位法向量是 _ 解析设平面 ABC 的法向量 n(x， y， z) 则 AB · n0， AC · n0， 即 2x2yz0， 4x5y3z0. 令 z1， 得 x 1 2， y1， n 1 2，1，1 ， 平面 ABC 的单位法向量为 ± n |n|± 1 3， 2 3， 2 3 . 答案±1 3， 2 3， 2 3 考向一利用空间向量证明平行问题 【例 1】?如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M、N 分别是 C1C、B1C1的中点求证： MN 平面 A1BD. 审题视点 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明 证明法一如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系，设正方体的棱长为1， 则 M 0，1，1 2 ， N 1 2，1，1 ， D(0,0,0)， A1(1,0,1)， B(1,1,0)， 于是MN 1 2，0， 1 2 ， 设平面 A1BD 的法向量是 n(x， y， z) 则 n· DA1 0， 且 n· DB 0， 得 xz0， xy0. 取 x1， 得 y 1， z1.n(1， 1， 1) 又MN · n 1 2，0， 1 2 · (1， 1， 1)0， MN n， 又 MN?平面 A1BD， MN平面 A1BD. 法二MN C1N C1M 1 2C 1B1 1 2C 1C 1 2(D 1A1 D1D )1 2DA 1 ， MN DA1 ， 又MN 与 DA1不共线，MNDA1， 又MN?平面 A1BD， A1D? 平面 A1BD，MN平面 A1BD. 【训练 1】 如图所示，平面 PAD平面 ABCD， ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PA AD2， E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点求证： PB平面 EFG. 证明平面 PAD平面 ABCD 且 ABCD 为正方形， AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则 A(0,0,0)、 B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0) PB (2,0， 2)， FE (0， 1,0)， FG (1,1， 1)， 设PB sFE tFG ， 即(2,0， 2)s(0， 1,0)t(1,1， 1)， t2， ts0， t 2， 解得 st2. PB 2FE 2FG ， 又FE 与FG 不共线，PB 、FE 与FG 共面 PB?平面 EFG， PB平面 EFG. 考向二利用空间向量证明垂直问题 【例 2】?如图所示，在棱长为 1 的正方体 OABC-O1A1B1C1中， E， F 分别是棱 AB， BC 上的动点， 且 AEBFx， 其中 0x1， 以 O 为原点建立空间直角坐标系O-xyz. (1)求证 A1FC1E； (2)若 A1， E， F， C1四点共面 ,求证： A1F 1 2A 1C1 A1E . 审题视点 本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标 证明(1)由已知条件 A1(1,0,1)， F(1x,1,0)， C1(0,1,1)， E(1， x,0)， A1F (x,1， 1)， C1E (1， x1， 1)， 则A1F · C1E x(x1)10， A1F C1E ， 即 A1FC1E. (2)A1F (x,1， 1)， A1C1 (1,1,0)， A1E (0， x， 1)， 设A1F A1C1 A1E ， x ， 1 x， 1 ， 解得 1 2， 1. A1F 1 2A 1C1 A1E . 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂 直， 而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明 【训练 2】如图所示， 在四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD， ABAD， ACCD， ABC60° ， PAABBC， E 是 PC 的中点证明： (1)AECD； (2)PD平面 ABE. 证明AB、AD、AP 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，设 PAAB BC1， 则P(0,0,1) (1)ABC60° ， ABC 为正三角形 C 1 2， 3 2 ，0 ， E 1 4， 3 4 ， 1 2 . 设 D(0， y,0)， 由 ACCD， 得AC · CD 0， 即 y2 3 3 ， 则 D0，2 3 3 ，0 ， CD 1 2， 3 6 ，0 .又AE 1 4， 3 4 ，1 2 ， AE · CD 1 2× 1 4 3 6 × 3 4 0， AE CD ， 即 AECD. (2)法一P(0,0,1)， PD 0，2 3 3 ，1 . 又AE · PD 3 4 ×2 3 3 1 2×(1)0， PD AE ， 即 PDAE.AB (1,0,0)， PD · AB 0， PDAB， 又 ABAEA， PD平面 AEB. 法二AB (1,0,0)， AE 1 4， 3 4 ，1 2 ， 设平面 ABE 的一个法向量为 n(x， y， z)， 则 x0， 1 4x 3 4 y1 2z0， 令 y2， 则 z3， n(0,2， 3) PD 0，2 3 3 ，1 ， 显然PD 3 3 n. PD n， PD 平面 ABE， 即 PD平面 ABE. 考向三利用向量求空间距离 【训练 3】 (2020· 江西)如图， BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD， AB平面 BCD， AB2 3. (1)求点 A 到平面 MBC 的距离；(2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 解取 CD 中点 O， 连 OB， OM， 则 OBCD， OMCD. 又平面 MCD平面 BCD， 则 MO平面 BCD. 取 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴、y 轴、z轴， 建立空间直角坐标系如图 OBOM3， 则各点坐标分别为C(1,0,0)， M(0,0，3)， B(0， 3， 0)， A(0， 3， 2 3) (1)设 n(x， y， z)是平面 MBC 的法向量，则BC (1，3， 0)， BM (0，3，3)， 由 nBC 得 x3y0；由 nBM 得3y3z0. 取 n(3， 1,1)， BA (0,0,2 3)， 则d|BA · n| |n| 2 3 5 2 15 5 . (2)CM (1,0，3)， CA (1， 3， 2 3) 设平面 ACM 的法向量为 n1(x， y， z)， 由 n1CM ， n1CA 得 x3z0， x3y2 3z0， 解得 x3z， yz， 取 n1 ( 3， 1,1) 又平面 BCD 的法向量为 n2(0,0,1) sin 2 5 5 . 所以 cos n1， n2 n1· n2 |n1|n2| 1 5. 设所求二面角为 ， 则 【例 3】 ?在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为 4 的正三角形， 平面 SAC平面 ABC， SASC2 3， M、N 分别为 AB、SB 的中点， 如图所示，求点 B 到平面 CMN 的距离 审题视点 考虑用向量法求距离，距离公式不要记错 解取 AC 的中点 O， 连接 OS、OB. SASC， ABBC， ACSO， ACBO. 平面 SAC平面 ABC， 平面 SAC平面 ABCAC， SO平面 ABC， SOBO. 如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz， 则 B(0,2 3， 0)， C(2,0,0)， S(0,0,2 2)， M(1，3， 0)， N(0，3，2) CM (3，3， 0)， MN (1,0，2)， MB (1，3， 0) 设 n(x， y， z)为平面 CMN 的一个法向量， 则 CM · n3x3y0， MN · nx2z0， 取 z1， 则 x2， y6， n( 2， 6， 1) 点 B 到平面 CMN 的距离 d |n· MB | |n| 4 2 3 . 点到平面的距离， 利用向量法求解比较简 单，它的理论基础仍出于几何法，如本题， 事实上， 作 BH平面 CMN 于 H.由BH BM MH 及BH · n n· BM ， 得|BH · n|n· BM |BH | ·|n|， 所以|BH |n· BM | |n| ， 即 d|n· BM | |n| . 规范解答 15立体几何中的探索性问题 【问题研究】高考中立体几何部分在对有关的点、线、面位置关系考查的同时，往往也会考查一些探 索性问题，主要是对一些点的位置、线段的长度，空间角的范围和体积的范围的探究，对条件和结 论不完备的开放性问题的探究，这类题目往往难度都比较大，设问的方式一般是 “是否存在？存在给 出证明， 不存在说明理由 .” 【解决方案】解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一 些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就 说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在 . 【示例】? (本小题满分 14 分) (2011·福建 )如图， 四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD.四边形 ABCD 中， ABAD， ABAD4， CD2， CDA45° . (1)求证：平面 PAB平面 PAD； (2)设 ABAP. ()若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30° ， 求线段 AB 的长； ()在线段 AD 上是否存在一个点G， 使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等？ 解答示范 (1)因为 PA平面 ABCD， AB? 平面 ABCD， 所以 PAAB. 又 ABAD， PAADA，所以 AB平面 PAD. 又 AB? 平面 PAB， 所以平面 PAB平面 PAD.(4 分) (2)以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图) 在平面 ABCD 内， 作 CEAB 交 AD 于点 E， 则 CEAD. 在 RtCDE 中， DECD· cos 45 °1，CECD· sin 45 °1. 设 ABAPt， 则 B(t,0,0)， P(0,0， t)由 ABAD4 得， AD4t， 所以 E(0,3t,0)， C(1,3t,0)， D(0,4t,0)， CD (1,1,0)， PD(0,4t， t)(6 分) ()设平面 PCD 的法向量为 n(x， y， z)， 由 nCD ， nPD ， 得 xy0， 4t ytz0. 取 xt， 得平面 PCD 的一个法向量 n(t， t,4t) 又 PB (t,0， t)， 故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30° 得 cos 60 ° n· PB |n| ·|P B | ， 即 |2t24t| t2t2 4t 2·2t2 1 2， 解得 t4 5或 t4(舍去 )， 因为 AD4t0， 所以 AB 4 5.(9 分) ()法一假设在线段 AD 上存在一个点 G， 使得点 G 到 P， B， C， D 的距离都相等， 设 G(0， m,0)(其中 0m4t)， 则 GC (1,3tm,0)， GD (0,4tm,0)， G P (0， m， t) 由|GC |GD |得 12(3tm)2(4tm)2，即 t3m；(1) 由|GD |GP |得(4tm)2m2t2.(2) 由(1)、(2)消去 t， 化简得 m23m40.(3)(12 分) 由于方程 (3)没有实数根， 所以在线段 AD 上不存在一个点G，使得点 G 到点 P、 C、 D 的距离都相等从 而， 在线段 AD 上不存在一个点G， 使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等 (14 分) 法二(1)同法一 (2)()以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图) 在平面 ABCD 内， 作 CEAB 交 AD 于点 E， 则 CEAD. 在 RtCDE 中， DECD· cos 45 °1， CECD· sin 45 °1. 设 ABAPt， 则 B(t,0,0)， P(0,0， t)，由 ABAD4 得 AD4t. 所以 E(0,3t,0)， C(1,3t,0)， D(0,4t,0)， CD (1,1,0)， PD (0,4t， t) 设平面 PCD 的法向量为 n(x， y， z)，由 nCD ， nPD ， 得 xy0， 4t ytz0. 取 xt， 得平面 PCD 的一个法向量 n(t， t,4t) 又 PB (t,0， t)， 故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30° 得 cos 60 ° n ·PB |n| ·|PB | ， 即 |2t24t| t2t2 4t 2·2t2 1 2， 解得 t4 5或 t4(舍去， 因为 AD4t0)， 所以 AB4 5. 法二假设在线段 AD 上存在一个点 G， 使得点 G 到点 P， B， C， D 的距离都相等 由 GCGD， 得GCDGDC45° ， 从而CGD90° ， 即 CGAD，所以 GDCD· cos 45 °1. 设 AB ， 则 AD4 ， AGADGD3 ， (11 分) 在 RtABG 中，GBAB2AG2 2 32 2 3 2 29 21， 这与 GBGD 矛盾 所以在线段 AD 上不存在一个点 G， 使得点 G 到点 B， C， D 的距离都相等 从而， 在线段 AD 上不存在一个点 G， 使得点 G 到点 P， B， C， D 的距离都相等 (14 分) 解答示范 函数 ycx在 R 上单调递减，0c1.(2 分) 即 p：0c1.c0 且 c1， 綈 p：c1.(3 分) 又f(x)x22cx1 在 1 2， 上为增函数， c 1 2.即 q：0c 1 2. c0 且 c1， 綈 q：c1 2且 c1.(6 分) 又“pq”为真，“pq”为假，p 真 q 假或 p 假 q 真(7 分) 当 p真， q 假时， c|0c1 c|c1 2且c1 c 1 2c1 ；(9 分) 当 p假， q 真时， c|c1 c|0c1 2 ?.(11 分) 综上所述，实数 c 的取值范围是c 1 2 c1 .(12 分)