高中数学第一章1.1.2集合间的基本关系学案含解析新人教A版必修052.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.2 集合间的基本关系 子集 提出问题 具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B. 问题 1：集合A中元素与集合B有关系吗？ 提示：有关系，集合A中每一个元素都属于集合B. 问题 2：集合A与集合B有什么关系？ 提示：集合B包含集合A. 导入新知 子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 任意一个元素都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集 记法与读法 记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B 包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A. (2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C， 则A?C 化解疑难 对子集概念的理解 (1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 即由xA能推出xB.例如 0,1 ? 1,0,1，则 00,1 ，01，0,1 (2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A， 此时记作AB或B?A. (3)注意符号“”与“? ”的区别：“? ”只用于集合与集合之间，如0 ? N，而不能 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 写成 0 N ； “”只能用于元素与集合之间，如0N ，而不能写成0? N. 集合相等 提出问题 设Ax|x是有三条边相等的三角形 ，B x|x是等边三角形 问题 1：三边相等的三角形是何三角形？ 提示：等边三角形 问题 2：两集合中的元素相同吗？ 提示：相同 问题 3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？ 提示：是是. 导入新知 集合相等的概念 如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且集合B是集合A的子集 (B?A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB. 化解疑难 对两集合相等的认识 (1)若A?B，且B?A，则AB；反之，如果AB，则A?B，且B?A.这就给出了证 明两个集合相等的方法，即欲证AB，只需证A?B与B?A同时成立即可 (2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关. 真子集 提出问题 给出下列集合： A a，b，c，Ba，b，c，d，e 问题 1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A?B. 问题 2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中 导入新知 真子集的概念 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 定义 如果集合A?B，但存在元素xB，且x?A，我们称集合A 是集合B的真子集 记法记作AB(或BA) 图示 结论 (1)AB且BC，则AC； (2)A?B且AB，则AB 化解疑难 对真子集概念的理解 (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个xB，但x?A. (2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集 . 空集 提出问题 一个月有 32 天的月份组成集合T. 问题 1：含有 32 天的月份存在吗？ 提示：不存在 问题 2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在是空集 导入新知 空集的概念 定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集 记法? 规定空集是任何集合的子集，即? ?A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，? ? (2)A? ，则 ?A 化解疑难 ? 与0 的区别 (1)? 是不含任何元素的集合； (2)0 是含有一个元素0 的集合， ?0 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 集合间关系的判断 例 1 (1)下列各式中，正确的个数是( ) 0 0,1,2 ； 0,1,2 ? 2,1,0 ； ? ? 0,1,2 ； ? 0 ； 0,1 (0,1) ； 0 0 A 1 B2 C3 D4 (2)指出下列各组集合之间的关系： A 1,1，B(1， 1)，( 1,1)，(1， 1)，(1,1)； A x|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形； Mx|x2n1，nN *， Nx|x2n1，nN * 解 (1)选 B 对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2 ；对于，实际为同一 集合，任何一个集合是它本身的子集；对于，空集是任何集合的子集；对于，0 是含 有单元素0 的集合， 空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?0 ； 对于， 0,1 是含有两个元素0与 1 的集合，而 (0,1) 是以有序数组 (0,1)为元素的单元素集 合，所以 0,1 与(0,1) 不相等；对于，0 与0 是“属于与否”的关系，所以00 故 是正确的 (2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含 关系 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. 法一： 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN *， 因此集合 M含有元素 “1” ， 而集合N不含元素“ 1” ，故NM. 法二：由列举法知M1,3,5,7， ，N 3,5,7,9， ，所以NM. 类题通法 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不 是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 B不是A的子集； 若既有A?B，又有B?A，则AB. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点 值的取舍 活学活用 已知集合M x|x1a 2，a N *，P x|xa 24a 5，aN *，则 M与P的关系为 ( ) AMPBM?P CP?MDMP 解析：选 D 对于任意xM，x1a 2(a 2) 24(a 2)5， aN *， a2N *， xP，由子集定义知M?P. 1P，此时a 24a 51，即a2N *，而 1? M， 1a21 在aN *时无解 综合知，MP. 有限集合子集的确定 例 2 (1)已知集合Ax|0 x3 且xN ，则A的真子集的个数是( ) A 16 B8 C7 D4 (2)满足 1,2M? 1,2,3,4,5的集合M有_个 解析 (1)Ax|0 x3 且xN 0,1,2 ，集合A的真子集的个数为2317. (2)由题意可得 1,2M? 1,2,3,4,5， 可以确定集合M必含有元素1,2， 且含有元素3,4,5 中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：1,2,3 ，1,2,4 ，1,2,5 ； 含有四个元素：1,2,3,4 ，1,2,3,5 ，1,2,4,5 ； 含有五个元素：1,2,3,4,5 故满足题意的集合M共有 7 个 答案 (1)C (2)7 类题通法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集 (2)含n个元素的集合有(2n1)个真子集 (3)含n个元素的集合有(2n1)个非空子集 (4)含有n个元素的集合有(2n 2)个非空真子集 (5)若集合A有n(n1)个元素，集合C有m(m1)个元素，且A?B?C，则符合条件的 集合B有 2m n 个 活学活用 已知集合AxN| 1x3，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共 有多少个？并用恰当的方法表示这些集合 解：这样的集合共有3 个 xN| 1x30,1,2 ，A0,1,2 且A中至少有一个元素为奇数， 当A中含有 1 个元素时，A可以为 1 ； 当A中含有 2 个元素时，A可以为 0,1 ， 1,2. 集合间关系的应用 例 3 已知集合Ax|x4 ，Bx|2axa3若B?A，求实数a的取 值范围 解 当B? 时，只需2aa3，即a3； 当B? 时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得 a32a， a34， 解得a2 类题通法 利用集合关系求参数应关注三点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合 (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定 数，还要注意验证端点值，做到准确无误一般含“”用实心点表示，不含“”用空心 点表示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集 活学活用 已知集合Ax|10 时，Ax 1 a0， 1 a 1， 2 a 1， a2. 当am6， m6 2， 2m15， 解得 m 5， m4， m3， 故 3m4. m的取值范围是m|3 m 4 多维探究 1本例中，若B?A，求实数m的取值范围 解：当B? 时，m62m1，即m2，即a的取值范围是 a|a2 (2)若B是A的子集，即B?A，则a 2，即a的取值范围是a|a2 (3)若AB，则必有a2. 课时达标检测 一、选择题 1 设集合M x x k 2 1 4， kZ，N x x k 4 1 2， kZ，k Z， 则正确的是 ( ) AMNBMN CMNDM与N的关系不确定 解析： 选 B 集合M中的元素x k 2 1 4 2k1 4 (kZ)，集合N中的元素x k 4 1 2 k2 4 (kZ)，而 2k1 为奇数，k2 为整数，因此MN. 2已知集合Mx| 50 和P(x，y)|x0， x2 时，Bx|m 1x2m1， 因此，要B?A， 则只要 m1 2， 2m15 ? 1m2. 综上所述，知m的取值范围是 m| 1m 2或m 2