高中数学第一章1.2任意角的三角函数1.2.4诱导公式预习导航学案新人教B版必修.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.4 诱导公式 预习导航 课程目标学习脉络 1掌握诱导公式， 并会应用公式求任意角的三 角函数值 2 会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和 恒等式的证明 3通过公式的运用，学会从未知到已知，复杂 到简单的转化方法 1角与k· 2 (k Z)的三角函数间的关系(诱导公式 (一) cos(k·2 )cos_，sin(k·2 ) sin_， tan(k·2 )tan_ 说明：(1)利用公式 (一)，可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到 360°角的三角函 数值 (2)由公式可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一 周，函数值将重复出现说明了角和三角函数值的对应关系是一值对多角的关系，即如果给 定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，如果给定一个三角函数值，却 有无数多个角与之对应 (3)公式 (一 )可概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等 2角与的三角函数间的关系(诱导公式 (二 ) cos() cos_，sin() sin_，tan() tan_ 说明： (1)由公式 (一)和 (二)可得 sin(2) sin ，cos(2)cos ，tan(2) tan (2)利用公式 (二)，可以用任意正角三角函数表示负角三角函数，从公式(二)还可以看出， 余弦函数是偶函数，而正弦函数、正切函数都是奇函数 3角与(2k1) (kZ)的三角函数间的关系(诱导公式 (三) cos(2k1) cos_， sin(2k1) sin_， tan(2k 1) tan_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 特别地， cos() cos_， sin() sin_， tan()tan_ 特别提醒(1)由公式 (一)和(三)可以看出，角与加上的偶数倍的所有三角函数值相 等；角与加上的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角与加上的整数倍的正切值相 等即 sin , sin() sin , an an an 当 为奇数， 当 为偶数； cos , cos() cos , an an an 当 为奇数， 当 为偶数； Tan(a+n )tan a，nz (2)因为任意角都可以化为k (k Z)的形式，并使| 2，所以利用公式 (一 )、(二 )、 (三)，我们可以把任意角的三角函数的求值问题转化为0 到 2之间的角的三角函数的求值问 题 (3)利用诱导公式 (二)和 (三)，可得到角与的三角函数间的关系： sin()sin () sin()sin ， cos()cos () cos() cos 所以 4角与 2 的三角函数间的关系(诱导公式 (四) cos 2 a sin_， sin 2 a cos_ 将上面公式中的用替代，可得到角与 2 的三角函数间的关系 cos 2 a sin_，sin 2 acos_ 由三角函数之间的关系又可得tan 2 a cot_，tan 2 a cot_ 自主思考 1 如何化简sin 3 2 a， cos 3 2 a， tan 3 2 a？ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示： (1)sin 3 2 a cos ，cos 3 2 a sin ，tan 3 2 acot ； (2)sin 3 2 a cos ，cos 3 2 a sin ，tan 3 2 a cot 自主思考 2试推导出 2 3 ， 5 6 ，3 2 ， 2的三角函数值？ 提示： 角的弧度数 2 3 5 6 3 2 2 sin 3 2 1 2 010 cos 1 2 3 2 101 tan 3 3 3 0不存在0 自主思考 3诱导公式的作用与规律性有哪些？ 提示： (1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0° 90°角的三角函数值 (2)诱导公式的规律： 续表 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 说明： 三角函数的诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关 系：诱导公式可以概括为角k· 2 ±(kZ)的各三角函数值与角的三角函数值之间的关系： 当k为偶数时，得的同名三角函数值；当k为奇数时，得的异名三角函数值，然后在前面 加上一个把看作锐角时原函数值的符号 记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇、偶”是指k· 2 ±(kZ)中k的 奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变“符号” 看的应该是诱导公式中，把看成锐角时原函数值的符号，而不是函数值的符号例如： 诱导公式有很多组合， 使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序： 化负角为正角； 大于 360°的角化为 0°， 360°)内的角； 把 90° 360°范围内的角转化为0° 90°范围内的角