高中数学第一章1.31.3.1正弦函数的图象与性质第1课时预习导航学案新人教B版必修.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3.1 正弦函数的图象与性质 预习导航 课程目标学习脉络 1了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作 出正弦函数的图象 2理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和 最值，并能利用正弦函数的图象和性质来解决相关的综合 问题 1正弦函数的图象 (1)正弦函数ysin x，xR 的图象叫做正弦曲线我们用“五点法”作出ysin x，x R 的图象如图 其中在x0,2 的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，,1 2 ，(， 0)， 3 ,1 2 ， (2， 0) 注意： (1)五点法是画正弦函数图象的基本方法，与之相关的问题在历年高考中经常出 现，要切实掌握好 (2)作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与之函数值均为实数，在 两个轴上的单位是统一的，作出的图象更加正规、实用 (3)正弦函数的图象沿x轴向左、向右无限延伸，称为正弦曲线 自主思考 1如何由正弦函数ysin x的图象得到ysin(x1)和ysin x 2的图象？ 提示： 将ysin x的图象向左平移一个单位长度即可得到ysin(x1)的图象； 将ysin x的图象向下平移一个单位长度即得到ysin x2 的图象；注意可以利用图象的平移变换： yf(x)yf(x±a)(a0)左“”右“” ；yf(x)yf(x)±k(k0)上“”下 “”得到函数的图象 2正弦函数的性质 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 自主思考 2正弦函数在对称轴和对称中心处的函数值有何特点？ 提示： (1)正弦曲线的对称轴一定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦函数取 最大值或最小值 (2)正弦曲线的对称中心一定是过正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0 自主思考 3 ysin x，x 2 0, 3 的值域是否是1,1? 提示：ysin x，x 2 0, 3 的值域为 0,1，正弦函数的值域是1,1，是指整个正弦曲 线或一个周期内的正弦曲线如果定义域不是全体实数或不在一个周期内，那么正弦函数的 值域就可能不是1,1 3周期函数 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满 足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一 个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它 的最小正周期如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期 归纳总结 (1)一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个， 并不是每一个周期函数都有最小正周期，如，f(x)a(a为常数 )就没有最小正周期；若T是 函数f(x)的一个周期，则kT(k0，且kZ)也是函数f(x)的周期 (2)一般地，函数yAsin( x)(其中A0，0，x R)的周期为T 2 (3)周期函数与周期的定义中，“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”是指定义 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 域内的所有x值，如果存在一个x0，使得f(x0T)f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期例 如，函数f(x)sin x，由 sin 42 sin 4 ，sin 32 sin 3 可知，虽然 2 是非零常 数，但并不是对定义域内的“每一个值”都有sin 2 x sin x，所以 2 不是正弦函数的 周期 自主思考 4如何证明函数yAsin( x)(其中A0，0，xR)的周期为T 2 提示： 设u x，因为ysin u的周期是2，所以 sin(u2 ) sin u，即 sin( x) 2 sin( x)sin x 2 这 说明： 当自变量由x增加到x 2 ，且必须增加 到x 2 时，函数值重复出现因此yAsin( x)的周期T 2 由此可知该函数的周 期仅与自变量的系数有关，公式为T 2 说明：若没有0 这个条件，则周期T 2