高中数学第一章1.3三角函数的图象与性质1.3.2学案新人教B版必修29.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 预习导航 课程目标学习脉络 1能正确使用“五点法” “图象变换法”作出余弦函 数 ycos x 和 yAcos( x )的图象，并能体会 正弦曲线和余弦曲线的关系 2理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单 调区间及最值，并能利用余弦函数的图象和性质 来解决相关的综合问题 1余弦函数图象的画法 (1)平移作图： 由ycos xsin 2 x(xR)知，余弦函数 ycos x的图象与正弦型函 数ysin 2 x的图象相同 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位长度就可得到余弦函数的 图象 (2)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可以作出余弦函数的图象 (3)几何法：就是利用单位圆中的余弦线来作出余弦函数图象的方法 (4)五点法：函数ycos x在0,2 内的图象的五个关键点是(0,1)，,0 2 ，(， 1)， 3 ,0 2 ，(2， 1)，其中,0 2 ， 3 ,0 2 分别是x轴上的第一个零点，第二个零点； (0,1)， (2， 1)，(， 1)分别是函数图象的第一个最高点，第二个最高点和最低点，描出这五个点 后，根据余弦函数的基本形状用光滑曲线将它们连接起来，即可得到0,2 内的余弦函数图 象 将上述几种作法得到的ycos x，x 0,2 的图象向左、右平移(每次 2个单位)，则可 得到ycos x，x R 的图象，如图所示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2余弦函数的性质 函数ycos x 定义域R 值域1,1 奇偶性偶函数 周期性以 2k为周期(kZ，k 0)， 2为最小正周期 单调性 当x2k， 2k (kZ)时，单调递增； 当x2k， 2k(kZ)时，单调递减 最大值与 最小值 当x2k (kZ)时，最大值为1； 当x2k(kZ)时，最小值为1 知识剖析 (1)由诱导公式cos(x)cos x可知余弦函数为偶函数反映在图象上， 余弦曲 线关于y轴对称 (2)余弦函数ycos x的值域为 1,1，它表明余弦函数ycos x的图象介于直线y1 和y 1 之间 (3)由 cos(2k)cos (kZ)知 2k都是余弦函数ycos x的周期， 2是最小正周期 自主思考 1试比较正弦函数与余弦函数的图象和性质的异同点 提示： 正弦函数余弦函数 奇偶性奇函数偶函数 区 别 递增区间2,2 22 kk(kZ)(2k1)， 2k (kZ) 递减区间 3 2,2 22 kk(kZ)2k， (2k 1) (kZ) 对称中心(k， 0)(kZ),0 2 k(kZ) 对称轴直线xk2(k Z)直线xk (kZ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 联 系 (1)定义域都是R，值域都是 1,1； (2)最小正周期都是2； (3)图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同 3余弦型函数yAcos( x)(A0，0)的性质 函数yAcos( x)(A0，0)可以看成是由余弦函数ycos x复合而成的复合函数， 因此它的性质可由余弦函数ycos x类似地得到 (1)定义域： R (2)值域： A，A (3)单调区间： 求形如yAcos( x)(A0，0)的函数的单调区间可以通过解不等式的 方法解答，即把“ x”视为一个“整体” ，由余弦函数ycos x的单调递增 (减)区间解出 x，即为所求的单调递增(减)区间 特别注意若0A0(A0，0)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周 期为T 2 (6)对称性： 函数yAcos( x)的对称轴由 xk (kZ)解得，对称中心的横坐标由 xk 2 (kZ)解得 自主思考 2设函数f(x)Acos( x)(A0，0)，求： (1)取何值时，f(x)为奇函数； (2)取何值时，f(x)为偶函数 提示： (1)若f(x)是奇函数，且xR，则f(0)0， 即 cos 0，得 2 k，kZ 故当 2 k，kZ 时，f(x)为奇函数 (2)若f(x)是偶函数，则x0 是其对称轴， 即f(0)±A，cos ± 1，得k，kZ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故当k 2 ，kZ 时，f(x)为偶函数