高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制学案新人教A版必修18.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1.2 弧 度 制 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉 特殊角的弧度数.(重点、难点 ) 3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点 ) 基础·初探 教材整理1 角度制与弧度制的定义 阅读教材P6P7第三行以上内容，完成下列问题. 1. 角度制与弧度制的定义 角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1 度的角等于周角的 1 360 弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad 表示，读作弧 度，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 2.角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是| l r. 判断 (正确的打“” ，错误的打“×”) (1)1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧.( ) (2)1 弧度是长度为半径的弧.( ) (3)1 弧度是 1 度的弧与1 度的角之和 .( ) (4)1 弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( ) 【解析】根据弧度制的定义知(4)正确 . 【答案】(1)×(2)×(3)×(4) 教材整理2 角度制与弧度制的换算 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 阅读教材P7第四行至P8例 3 以上内容，完成下列问题. 1.角度与弧度的互化 角度化弧度弧度化角度 360° 2rad2rad360° 180° radrad180° 1° 180 rad 0.017 45 rad 1 rad 180 ° 57.30° 2.一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°1°30°45°60°90° 120 ° 135 ° 150 ° 180 ° 270 ° 360 ° 弧 度 0 180 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 将下列角度与弧度进行互化. (1)20° _； (2)15° _； (3) 7 12_； (4) 11 5 _. 【解析】(1)20° 20× 180 9；(2) 15° 15× 180 12；(3) 7 12 7 12 × 180 ° 105°； (4) 11 5 11 5 × 180 ° 396°. 【答案】(1) 9 (2) 12 (3)105°(4)396° 教材整理3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材P8例 3 内容，完成下列问题. 设扇形的半径为R，弧长为l，为其圆心角，则 为度数为弧度数 扇形的弧长l R 180 l R 扇形的面积 S R2 360 S 1 2lR 1 2 R 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 圆心角为 3弧度，半径为 6的扇形的面积为_. 【解析】扇形的面积为 1 2× 6 2× 36 . 【答案】6 小组合作型 角度与弧度的互化与应用 (1)把 157°30化成弧度为 _， 5 12化成度为 _. (2)在0,4 中，与 72°角终边相同的角有_.(用弧度表示 ) 【精彩点拨】在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住rad180°， 1° 180 rad 这一关系 . 【自主解答】(1)157°30 157.5° 315 2 × 180 rad 7 8 rad. 5 12 5 12× 180 ° 75°. (2)因为终边与72°角相同的角为72°k·360°(kZ). 当k0 时，72° 2 5 ； 当k1 时，432° 12 5 ， 所以在 0,4 中与 72°终边相同的角有 2 5， 12 5 . 【答案】(1) 7 8， 75° (2) 2 5， 12 5 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式rad180°是关键； 2方法：度数× 180弧度数；弧度数× 180 °度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 再练一题 1.把 56°15化为弧度是( ) 【导学号： 00680003 】 A. 5 8 B. 5 4 C. 5 6 D. 5 16 【解析】56°15 56.25° 225 4 × 180 rad 5 16 rad. 【答案】D 用弧度数表示角 (1)与角 2 3终边相同的角是 ( ) A. 11 3 B.2k 2 3 (kZ) C.2k 10 3 (kZ) D.(2k1) 2 3 (kZ) (2)若是第三象限的角，则 2是( ) A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 【精彩点拨】(1)可把选择题中角写成2k(kZ，0,2 )形式来判断； (2)可由范围写出 2范围后，根据 k为奇数或偶数来确定 2终边位置 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【自主解答】(1)A 中， 11 3 2 5 3，与角 5 3终边相同，故 A 错； B 中， 2k 2 3， k Z，当k1 时，得 0,2 )之间的角为 4 3，故与 4 3有相同的终边， B 错； C 中， 2k 10 3 ，k Z， 当k2 时，得 0,2 )之间的角为 2 3 ， 与 2 3有相同的终边， 故 C 对；D 中，(2k1) 2 3， k Z， 当k0 时，得 0,2 )之间的角为 5 3 ，故D 错 . (2)因为为第三象限的角，所以有2k 2k 3 2， kZ， k 2 2 k 3 4， kZ， k 3 4 2 k 2， kZ， 故k 4 2 k 2 ，kZ. 当k为偶数时， 2在第一象限； 当k为奇数时， 2在第三象限，故选 B. 【答案】(1)C (2)B 1.弧度制下与角终边相同的角的表示： 在弧度制下， 与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同 的角可以表示成加上 2的整数倍. 2.确定角范围时，k的值的取法： 在表示角或角的范围时，通常会用到k，如 4 2k (kZ)，k 3 k 6， kZ ，在确定角或的范围时，要根据k的系数来取值，如中k的系数为2，则取k的任一 个值如 0，得 4在第一象限 .中 k的系数为，则要分k为奇数、偶数两种情况取值.k为奇 数时，取k1，得 2 3， 5 6，在第二象限； k为偶数时，取k0，得 3， 6 ，在 第四象限，则为第二或第四象限的角. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 再练一题 2.用弧度表示终边落在如图1-1-6 所示阴影部分内(不包括边界 )的角的集合 . 图 1-1-6 【解】因为 30° 6 rad,210° 7 6 rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k 6， kZ，而终 边 在y轴 上 的 角 为k 2 ，k Z ， 从 而 终 边 落 在 阴 影 部 分 内 的 角 的 集 合 为 k 6 k 2 ，kZ. 探究共研型 弧长公式与扇形面积公式的应用 探究 1 用公式 | l r求圆心角时，应注意什么问题？ 【提示】应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正 负. 探究2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需 注意什么问题？ 【提示】若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果 出错 . (1)设扇形的周长为8 cm，面积为 4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导 学号： 70512003】 A.1 rad B.2 rad C.3 rad D.4 rad 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形 的面积最大？最大面积是多少？ 【精彩点拨】(1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2) 可通过建立扇形面积的目标函数来求解. 【自主解答】(1)设扇形半径为r，弧长为l，由题意得 2rl 8， 1 2l· r 4， 解得 l4， r2， 则 圆心角 l r 2 rad. 【答案】B (2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， 则l202r，S 1 2lr 1 2(202r )·rr210r (r5)2 25(0r10)， 当半径r5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm2， 此时 l r 202×5 5 2 rad. 当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时， 扇形面积最大，最大值为25 cm2. 弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，S 1 2 r 2 和S 1 2lr.(这里 必须是弧度制下的 角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. 再练一题 3.已知一扇形的圆心角为，所在圆半径为R，周长为4R，则扇形中所含弓形的面积是 _. 【解析】由周长为4R可知扇形的弧长为2R，面积为S 1 2lR 1 2·2R ·RR2，圆心角 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 弧度数为 | l R 2R R 2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为Rcos 1，底为 2Rsin 1， 所以此三角形面积为S1 1 2· Rcos 1· 2Rsin 1R2sin 1cos 1，从而弓形面积为S2SS1R 2(1 sin 1cos 1). 【答案】R 2(1sin 1cos 1) 1.下列转化结果错误的是( ) A.22° 30化成弧度是 8 B. 10 3 化成度是 600° C.150°化成弧度是 7 6 D. 12化成度是 15° 【解析】对于A,22°30 22.5 × 180 8，正确；对于 B， 10 3 10 3 × 180 ° 600°，正确；对于C， 150° 150× 180 5 6 ，错误；对于D， 12 12× 180 ° 15°，正确 . 【答案】C 2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A. 2k， 2k 2 (kZ) B. k，k 2 (kZ) C. 2 k， 2k 2 (kZ) D.k，k 2 (kZ) 【解析】B 中，k1 时为 ， 3 2，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的 角，故 C， D 均错，只有A 正确 . 【答案】A 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.与 30°角终边相同的角的集合是( ) A.k·360° 6 ，kZ B.| 2k 30°，k Z C.|2k·360° 30°，kZ D.2k 6， kZ 【解析】30° 30× 180 rad 6 rad， 与 30°终边相同的所有角可表示为 2k 6，kZ，故选 D. 【答案】D 4.在半径为10 的圆中， 240°的圆心角所对弧长为( ) 【导学号： 00680004】 A.40 3 B.20 3 C. 200 3 D. 400 3 【解析】240° 240× 180 rad 4 3rad， 弧长l| ·r 4 3× 10 40 3 ，选A. 【答案】A 5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数. 【解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为， 则 2Rl 4. 由扇形的面积公式S 1 2lR，得 1 2lR1. 由得R1，l2， l R 2 rad. 扇形的圆心角为2 rad.