高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广优化训练北师大版必修32.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 角的概念的推广 5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前) 1.任意角的形成：角可以看成是_而成的，射线的端点叫做_，旋 转开始的射线叫做_，旋转终止的射线叫做_，按逆时针方向旋转 形成的角叫做 _，按顺时针方向旋转形成的角叫做_，没有作任何 旋转时，这样的角叫做_. 答案：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置角的顶点角的始边角的 终边正角负角零角 2.在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”等说法，像 这种动作名称表示的角是多大？ 解： 如果逆时针转体，分别是360°× 3=1 080°和 360°× 2.5=900°；若顺时针转体，则分 别为 -1 080°和 -900°. 3.在 0° 360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角. （1）908°28；（2）-734°. 解： （1）908° 28=188°28 +2×360°，则 188°28即为所求的角，因为它是第三象限 角，从而908°28也是第三象限的角. （2）-734°=346°-3×360°，则 346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也 是第四象限角 . 4.在-720° 720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S. 解： 与 60°终边相同的角的集合为 | =60°+k·360°,kZ， 令-720° 60°+k·360°720°, 得 k=-2,-1,0,1，相应的角为 -660°,-300°,60° ,420 °， 从而 S=-660 °,-300°,60°,420°. 10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中) 1.下列说法中 ,正确的有（） 第一象限的角一定是锐角终边相同的角一定相等相等的角终边一定相同小 于 90°的角一定是锐角钝角的终边在第二象限 A.1 个B.2 个 C.3个D.4 个 解析： 终边相同的角，有的正有的负，不一定相等；锐角指的是在（0°，90°）内的正角； 小于 90°的角可以是负角，所以二者不同.第一象限的角是指终边落在第一象限的角，它可 正可负，可大可小，故并非仅是锐角，所以不正确；同理，可知均不正确；正确 . 答案： B 2.下列各角中属于第二象限的是（） A.-290°B.585° C.-950°D.182° 解析： 将角写成k·360°+（ kZ） （0°360°） （ kZ）的形式，与它在同一象限. 将超过 -360°， 360° 范围内的角化为在这个范围内即可判断.易知 -290°在第一象限， 182° 在第三象限， 585°=360°+225°，在第三象限，-950°=-720°-230°在第二象限 . 答案： C 3.若 A= | =k ·360°， kZ ，B= | =k ·180°， kZ，C= | =k·90°， kZ，则 下列关系正确的是（） A.ACB B.BAC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C.CBA D.ABC 解析： A 中， =k·360°，的终边落在 x 轴非负半轴上；B 中， =k·180°，则的终边落 在 x 轴上； C 中， =k·90°，则的终边落在坐标轴上.故可判断ABC. 答案： D 4.在 0° 360°范围内，找出与下列各角终边相同的所有角，并判断它们是第几象限的角. （1）-150°；（2）650°；（3）-950°15 . 解： （1）因为 -150°=-360°+210°，所以在0° 360°范围内， 与角 -150°终边相同的角是 210°角，它是第三象限的角. （2） 因为 650°=360° +290°， 所以在 0° 360°范围内， 与角 650°终边相同的角是290° 角，它是第四象限的角. （3）因为 -950°15=-3× 360°+129°45，所以在0° 360°范围内，与角-950°15终 边相同的角是129°45角，它是第二象限的角. 5.（1）写出与15°角终边相同的角的集合； （2）在（ 1）的集合中，将适合不等式-1 080°360°的元素求出来 . 解： （1）与 15°角终边相同的角的集合是M= | =k ·360°+15°， kZ. （2）在 M 中适合 -1 080° 360°的元素是： 取 k=-3 时， -3× 360°+15°=-1 065° 取 k=-2 时， -2× 360°+15°=-705° 取 k=-1 时， -1× 360°+15°=-345° 取 k=0 时， 0×360° +15° =15° , 即元素 -1 065°， -705°， -345°， 15°为所求 . 30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后) 1.若是第二象限的角，则180°-是（） A.第一象限的角B.第二象限的角 C.第三象限的角D.第四象限的角 解析： 与 -的终边关于 x 轴对称， 又是第二象限的角， 所以 -是第三象限的角 .而 -与180° -的终边关于原点对称， 180°-为第一象限的角 .或者可以直接由已知得k·360° +90° k·360°+180°（ kZ） ， -k·360°-180° - -k·360°-90°（ k Z）.-k·360° 180°- -k·360°+90°（ kZ）.确定 180°-是第一象限的角 . 答案： A 2.集合 A= | =k ·90°-36°,k Z ，B= |-180 °180°,则 AB 等于（） A.-36 °,54° B.-126°,144° C.-126°,-36°,54°,144° D.-126 °,54° 解析： 在集合 A 中，令 k 取不同的整数，找出既属于A 又属于 B 的角度即可 .k=-2,-1,0,1,2,3， 验证可知 AB=-126 °,-36°,54°,144° . 答案： C 3.如果与 x+45°具有同一条终边，角与x-45°具有同一条终边，那么与间的关系是 （） A. + =0 B. - =0 C. + =k· 360°,kZ D. - =k·360°+90°,kZ 解析： 由题意， =k· 360°+x+45 °,kZ； =n· 360°+x-45 °,nZ.两式相减得 - =(k-n) · 360° +90°,(k-n)Z. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： D 4.在 0° 360°范围内，与-45°角终边相同的角是_. 解析： 由于 -45°是第四象限的角，所以0° 360°之间终边与之相同的角是315°. 答案： 315° 5.时针走过2 小时 40 分，则分针转过的角度是_. 解析：时针走过2 小时 40分钟，则分针走过 3 2 2周， 所以转过的角度为 3 2 2×360° =-960°. 答案： -960° 6.(1)终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为_； (2)终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为_. 解析： （1）终边落在第一象限角的平分线上的角为 | =k·360°+45°,kZ； 终边落在第三象限角的平分线上的角为 | =k·360°+225°,kZ. 所以终边落在第一、三象限角的平分线上的角的集合为 S= | =k·360°+45°,kZ | =k·360°+225°,kZ = | =k ·360°+45°或 =k ·360°+225°,kZ = | =2k·180°+45°或 =(2k+1) ·180°+45°,kZ = | =n·180° +45° ,nZ. （2）同理，推得落在第二、四象限角平分线上的角的集合为 | =n·180°+135°,nZ. 答案： （1） | n·180°+45°,nZ （2） | =n ·180°+45°,nZ 7.射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转270°到达 OB 位置，由OB 位置顺时针旋转一周到达OC 位置，求 AOC 的大小 . 解： 由题意知 AOB=270 °，BOC=-360°，所以 AOC= AOB+ BOC=270° + （-360°） =-90°. 8.已知 A= 锐角 ，B=0 °到 90°的角 ，C= 第一象限角 ，D= 小于 90°的角 .求 AB,A C，CD，AD. 解：因为 A= |0 ° 90°B= |0 °90° ;C= |k ·360° k·360°+90°,kZ; D= | 90°, 所以AB= |0 ° 90°A C= |k·360° k ·360°+90° ,k Z;C D= |k · 360° k· 360°+90°， k 为非正整数 ；AD= | 90° . 9.已知是第一象限角，试确定 2 ，2终边的位置 . 解： (1)由已知 k·360° k ·360° +90° (k Z)得 k·180° 2 k· 180°+45°（ kZ). k 为偶数时， 2 是第一象限角，k 为奇数时， 2 为第三象限角，即 2 为第一或第三象限 角. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图（ 1）中阴影部分. （2）由已知得2k·360°2 2k ·360°+180°(kZ). 故 2的终边在第一或第二象限或y 轴的非负半轴上.如图（ 2）中阴影部分 10.若角的终边经过点P（-1，3） ，写出角的集合 . 解： 如图， AO=1 ，AP=3，所以 AOP=60 °.所以角的集合为 | =240°+k·360°， k Z. 11.有一个小于360°的正角，这个角的6 倍的终边与x 轴的正半轴重合，求这个角. 解： 由题意知 6 =k ·360°， kZ，所以=k·60°， k Z.又因为是小于 360°的正角，所 以满足条件的角的值为60°， 120°， 180°， 240°， 300°.