高中数学第一章直线多边形圆2.2圆的切线的判定和性质学案北师大版选修42.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22 圆的切线的判定和性质 对应学生用书P15 自主学习 1切线的判定定理 文字语言符号语言图形语言 切线的判定定理 经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直 线是圆的切线 OA是圆O的半径直 线lOA且Al，则 l是圆O的切线 2切线的性质定理及推论 文字语言符号语言图形语言 切线的性质 定理 圆的切线垂直于经过切 点的半径 直线l与圆O相切于点 A，则lOA 推论 1 经过圆心且垂直于切线 的直线经过切点 直线l与圆O相切于点 A.过O作直线ml，则 Am 推论 2 经过切点且垂直于切线 的直线经过圆心 直线l与圆O相切于点A 过A作直线ml，则O m 3切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等 合作探究 怎样求圆的切线长？ 提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长 对应学生用书P16 切线的判定定理的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 1 如图，在ABC中，C90°，BE是角平分线，DEBE交AB于D，O 是BDE的外接圆求证：AC是O的切线 思路点拨 本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证明ACOE即可 精解详析 连接OE. OEOB， OEBOBE. 又BE平分CBD， CBEDBE. OEBCBE. EOCB. C90°，AEO90°，即ACOE. E为O半径OE的外端， AC是O的切线 证明直线与圆相切一般有以下几种方法： (1)直线与圆只有一个公共点； (2)圆心到直线的距离等于圆的半径； (3)切线的判定定理 几何证明问题常用方法(3) 1如图，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的 切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( ) ADEDOBABAC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CCDDBDACOD 解析：选 A 当ABAC时，如图： 连接AD， 因为AB是O的直径， 所以ADBC， 所以CDBD， 因为AOBO， 所以OD是ABC的中位线， 所以ODAC， 因为DEAC，所以DEOD， 所以DE是O的切线所以B 正确 当CDBD时，AOBO， 同 B，所以 C 正确 当ACOD时，因为DEAC， 所以DEOD. 所以DE是O的切线 所以 D 正确 2已知D是ABC的边AC上的一点，ADDC21，C45°，ADB60°， 求证：AB是BCD的外接圆的切线 证明：如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E. DCB是 ? BD 所对的圆周角， BOD是 ? BD 所对的圆心角， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BCD45°，BOD90°. ADB是BCD的一个外角， DBCADBACB 60° 45° 15°， DOC 2DBC30°，从而BOC120°. OBOC，OBCOCB30°. 在OEC中，EOCECO30°， OEEC.在BOE中， BOE90°，EBO30°， BE2OE2EC， CE BE CD DA 1 2， ABOD.ABO90°， 故AB是BCD的外接圆的切线. 切线的性质定理的应用 例 2 如图，已知C90°，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于E， 若BC5，AC12.求O的半径 思路点拨 O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造 RtOAE， 再利用相似三角形的性质，求出O的半径 精解详析 连接OE， AB与O切于点E， OEAB， 即OEA90°. C90°，AA， RtACBRtAEO， OE BC AO AB. BC5，AC 12，AB 13， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OE 5 12OE 13 ，OE 10 3 . 即O的半径为 10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点 的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾 股定理求解，或利用三角形相似求解等 3.如图，AB切O于点B，延长AO交O于点C，连接BC.若A 40°，则C( ) A 20°B25° C40°D50° 解析：选 B 连接OB，因为AB切O于点B， 所以OBAB，即ABO90°， 所以AOB 50°， 又因为点C在AO的延长线上，且在O上， 所以C 1 2 AOB25°. 4AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切 线交AB延长线于点C，若DADC，求证：AB 2BC. 证明：连接OD，则ODDC， 又OAOD，DADC， 所以DAOODADCO， DOCDAOODA2DCO， 所以DCO30°，DOC60°， 所以OC2OD，即OBBCODOA. 所以AB2BC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 3 如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于D，过D作O的 切线交AC于E.求证：DEAC. 思路点拨 本题主要考查切线性质定理的应用解题时由于DE是O的切线，则OD DE，故要证DEAC，只需证明ODAC即可 精解详析 连接OD、AD，如图 AB为O直径，ADBC. ABAC，即ABC为等腰三角形， AD为BC边上的中线， 即BDDC. 又OAOB， OD为ABC的中位线 ODAC. DE切O于D，ODDE. DEAC. 与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系，这是解决圆的切 线问题的一个关键点 5如图，PA，PB是O的切线，A，B是切点，AC是O的直径，BAC20°， 求P的度数 解：如图，连接OB，OAOB，OAAP，OBBP， OAPOBP90°，OABOBA. 又BAC20°， OBA20°，BAP90°BAC70°， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABP90°OBA70°. P180°BAPABP40° . 6.如图，已知AD为O的直径，B为AD延长线上一点，BC与 O切于C点，A 30°. 求证： (1)BDCD. (2)AOCBDC. 证明： (1)因为AD为O的直径，所以ACD90°， 又因为A30°，OAOCOD， 所以ACO 30°，ODCOCD60°， 又因为BC与O切于C点，所以OCB90°， 所以BCD 30°，所以B30°， 所以BCDB，所以BDCD. (2)因为AACOBCDB30°， 所以ACBC， 在AOC和BDC中， AB， ACBC， ACOBCD， 所以AOCBDC. 本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档 考题印证 如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30°，过点A作圆 O的切线与OC的延长线交于点P，则PA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 命题立意 本题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用 自主尝试 如图，连接OA. 由ABC30°， 得AOC60°， 在直角三角形AOP中，OA 1， 于是PAOAtan 60°3. 答案：3 对应学生用书P18 一、选择题 1矩形的两邻边长分别为2.5 和 5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形中与半圆相切 的边有 ( ) A 1条B2 条 C3 条D0 条 解析：选 C 以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半 圆相切的边有3 条 2.如图，O内切于ABC，切点分别为D，E，F，若ABC 40°，ACB60°，连接OE，OF，则EOF( ) A 30°B45° C100°D 90° 解析：选 C 因为ABC40°，ACB60°，所以A80°，则EOF180° 80° 100°. 3如图，AB是O的直径，点P在AB的延长线上，PC与O 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 相切于点C，PCAC1，则O的半径为 ( ) A 3 3 B 2 3 C 3 5 D 2 5 解析：选 A 连接OC.设PAC.因为PCAC，所以CPA， COP2.又因为PC与O相切于点C， 所以OCPC.所以 390°. 所以30°.设O的半径为r， 在 RtPOC中，rCP· tan30° 1× 3 3 3 3 . 4如图， 在O中，AB为直径，AD为弦， 过B点的切线与AD 的延长线交于C，若ADDC，则 sinACO( ) A 10 10 B 2 10 C 5 5 D 2 4 解析：选 A 连接BD， 则BDAC. ADDC，BABC， BC是O的切线，切点为B， OBC90°，BCA45°. sinBCO OB OC OB 5OB 5 5 ， cosBCO BC OC 2OB 5OB 25 5 . sinACOsin(45°BCO)sin45° cosBCO cos45 ° sinBCO 2 2 × 25 5 2 2 × 5 5 10 10 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二、填空题 5如图，O是边长为2 的等边ABC的内切圆，则O的半径为 解析：设O与BC边的切点为D， 连接OD以及OC，如图，由等边三角形的内切圆的性质可得OD BC，OCD30°，OD即为圆的半径 又由BC2，则CD 1， 所以在 RtOCD中， OD CD tan 30°， 解得OD 3 3 . 答案： 3 3 6如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D， BCAC于C，若BC6，AC8，则AE，AD. 解析：据题意设圆的半径为R，连接OD，由ODBC得： OD BC AO AB? R 6 10R 10 ?R 15 4 ，故AE102R 5 2， 由 AD AC OD BC，得 AD5. 答案： 5 2 5 7已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点，PB1，则圆O的半径R. 解析：ABAP 2 PB 2 3. 由AB2PB·BC， BC3， RtABC中，ACAB2BC 22 3. R3. 答案：3 8如图，O为ABC的内切圆，C 90°，AO的延长线 交BC于点D，AC4，CD1，则O的半径等于 解析：如图所示，设点E为BC与O的切点，连接OE，则OEBC.又C90°， OEAC，CEOEr， DE 1r. DE DC OE AC， 1r 1 r 4 ，解得r 4 5 . 答案： 4 5 三、解答题 9.如图，AC是O的直径，PA是O的切线，A为切点，连接PC交 O于点B，连接AB，且PC10，PA6. 求： (1)O的半径 (2)cosBAC的值 解： (1)因为AC是O的直径，PA是O的切线， 所以CAPA，即PAC90°， 因为PC10，PA6， 所以ACPC 2PA2 8，所以 OA 1 2 AC4， 所以O的半径为4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)因为AC是O的直径，PA是O的切线， 所以ABCPAC90°， 所以PC90°，BACC90°， 所以BACP， 在 RtPAC中， cos P PA PC 6 10 3 5， 所以 cos BAC 3 5 . 10如图，已知PAB是O的割线，AB为O的直径PC为 O的切线，C为切点，BDPC于点D，交O于点E，PAAO OB1. (1)求P的度数； (2)求DE的长 解： (1)C为切点，OCPC，POC为直角三角形 OCOA1， POPAAO2， sinP OC PO 1 2 .P30°. (2)BDPD，在 RtPBD中， 由P30°，PBPAAOOB3，得BD 3 2. 连接AE，则AEB90°，AEPD. EABP30°，BEABsin30° 1， DEBDBE 1 2. 11如图所示，O的外切四边形ABCD是直角梯形，ADBC，A B90° . (1)求证：OCOD. (2)若CD4 cm，BCD60°，求O的半径 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： (1)证明：因为ADBC， 所以BCDADC180°， 由题意知ODC 1 2 ADC， OCD 1 2 BCD， 所以ODCOCD 1 2 ADC 1 2BCD90°， 所以DOC90°，即OCOD. (2)过点D作DEBC于点E， 则四边形ABED是矩形，DE等于O的直径， 在 RtDEC中，DEC90°， ECDBCD60°，CD4 cm， 所以CE 1 2CD2 cm， DE422223 cm， 所以O的半径为3 cm.