高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.4锐角三角函数与射影定理学案新人教B.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.4 锐角三角函数与射影定理 对应学生用书P12 读教材·填要点 1锐角三角函数的定义 含有相等锐角的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比 )为： sin 的对边 斜边 ，cos 的邻边 斜边 ，tan 对边 邻边 . 2射影定理 (1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 (2)符号语言表示：如图若CD是 RtABC的斜边AB上的高，则： AC2AD·AB BC 2 BD·AB CD2AD·BD 小问题·大思维 1线段的正射影还是线段吗？ 提示：不一定当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点 2如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在RtABC中， AB2AC 2 BC 2， (ADDB)2AC2BC2， AD 22· AD·DBDB 2 AC2BC 2， 即 2AD·DBAC2AD 2BC2DB2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AC2AD 2 CD2，BC 2DB2 CD2， 2AD·DB2CD2，即CD2AD·DB. 在 RtACD中，AC2AD 2CD2 AD 2 AD·DB AD(ADDB)AD·AB， 即AC2AD·AB. 在 RtBCD中，BC2CD 2 BD 2 AD·DBBD2 BD(ADDB)BD·AB， 即BC 2 BD·AB. 对应学生用书P13 利用射影定理解决求值问题 例 1 如图，在RtABC中，ACB90°，CD是AB边上的高， 已知BD 4，AB29，试求BC，AC和CD的长度 思路点拨 本题考查射影定理与勾股定理的应用解答本题可由已知条件先求出AD， 然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度 精解详析 BD4，AB29，AD25. 由射影定理得CD2AD·BD25× 4100， CD 10.BC 2 BD·BA4×29. BC229. AC 2 AD·AB25×29，AC529. 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定 理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理 1在 RtACB中，C90°，CDAB于D，若BDAD19，则 tanBCD _. 解析：由射影定理得CD2AD·BD， 又BDAD 19， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令BDx，则AD9x(x0) CD29x2，CD3x. RtCDB中， tanBCD BD CD x 3x 1 3 . 答案： 1 3 利用射影定理解决证明问题 例 2 如图所示，在ABC中，CAB90°，ADBC于D，BE 是ABC的平分线，交AD于F. 求证： DF AF AE EC. 思路点拨 本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证 得 精解详析 由三角形的内角平分线定理得， 在ABD中， DF AF BD AB， 在ABC中， AE EC AB BC， 在 RtABC中，由射影定理知， AB2BD·BC， 即 BD AB AB BC. 由得： DF AF AB BC， 由得： DF AF AE EC. 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的 目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2如图，AD、BE是ABC的高，DFAB于F，交BE于G， FD的延长线交AC的延长线于H， 求证：DF 2 FG·FH. 证明：BEAC， ABEBAE90°. 同理，HHAF90° ABEH.又BFGHFA， BFGHFA. BFHFFGAF. BF·AFFG·FH. RtADB中，DF2BF·AF， DF2FG·FH. 对应学生用书P14 一、选择题 1如图所示， 在 RtABC中，ACB90°，CDAB于点D， CD2，BD3，则AC等于 ( ) A. 5 3 B. 21 3 C. 52 3 D 1 3 解析：由射影定理知， CD2BD·AD，AD 4 3. ABADBD 13 3 . AC2AD·AB 4 3× 13 3 52 9 . AC 52 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： C 2如图所示，在ABC中，ACB 90°，CDAB，D为垂足， 若CD6 cm，ADDB12，则AD的值是 ( ) A 6 cm B32 cm C18 cm D36 cm 解析：ADDB12， 可设ADt，DB2t. 又CD2AD·DB， 36t·2t， 2t 236， t32(cm)，即AD32 cm. 答案： B 3在 RtABC中，BAC90°，ADBC于点D，若 AC AB 3 4 ，则 BD CD( ) A. 3 4 B 4 3 C. 16 9 D 9 16 解析：如图，由射影定理， 得AC2CD·BC，AB 2 BD·BC. AC2 AB2 CD BD 3 4 2.即CD BD 9 16 . BD CD 16 9 . 答案： C 4在ABC中，ACB90°，CDAB于D，ADBD23，则ACD与CBD 周长的相似比为( ) A 23 B49 C.63 D不确定 解析：如图，在RtACB中，CDAB，由射影定理得，CD2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AD·BD，即 CD AD BD CD. 又ADCBDC90°，ACDCBD. 又ADBD23，令AD2x，BD3x(x0)， CD26x2.CD6x. ACD与CBD周长的相似比为 AD CD 2x 6x 6 3 ， 即相似比为63. 答案： C 二、填空题 5如果两条直角边在斜边上的射影分别是4 和 16，则此直角三角形的面积是_ 解析：由题意知， 直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为4×16 8， 所以直角三角形的面积为 1 2 × 20×8 80. 答案： 80 6已知：在ABC中，ACB90°，CD是AB边上的高，BC15 cm，BD3 cm， 则AD的长是 _ 解析：BC2BD·AB， 153AB，AB5(cm) ADABBD532(cm) 答案： 2 cm 7如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD a 2，点 E，F 分别为线段AB，AD的中点，则EF_. 解析：连接DE，可知AED为直角三角形，则EF是 RtDEA 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为 a 2. 答案： a 2 8已知在梯形ABCD中，DCAB，D 90°，ACBC，AB10 cm，AC6 cm， 则此梯形的面积为_ 解析：如图，过C作CEAB于E. 在 RtACB中， AB10 cm，AC6 cm， AC2AE·AB， AE3.6 cm， BEABAE 6.4 cm. 又CE 2AE· BE， CE6.4×3.64.8(cm) 又在梯形ABCD中，CEAB， DCAE3.6 cm. S梯形 ABCD 10 3.6×4.8 2 32.64(cm 2) 答案： 32.64 cm 2 三、解答题 9已知CAB90°，ADCB，ACE，ABF是正三角形，求证：DEDF. 证明：如图，在RtBAC中， AC2CD·CB，AB2BD·BC， AC AB CD BD CD2 CD·BD CD2 AD 2 CD AD AD BD . ACAE，ABBF， AE BF AD BD ，即 AE AD BF BD. 又FBD 60°ABD， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 EAD60°CAD，ABDCAD， FBDEAD. EADFBD.BDFADE. FDEFDAADE FDABDF90°. DEDF. 10如图，在RtABC中，BAC90°，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于 E，试证明： (1)AB·ACBC·AD； (2)AD 3 BC·CF·BE. 证明： (1)RtABC中，ADBC， SABC 1 2AB· AC 1 2BC·AD . AB·ACBC·AD. (2)RtADB中，DEAB， 由射影定理可得BD2BE·AB， 同理CD 2 CF·AC， BD2·CD2BE·AB·CF·AC. 又 RtBAC中，ADBC，AD 2BD·DC， AD 4 BE·AB·CF·AC.又AB·ACBC·AD， 即AD 3BC·CF·BE. 11如图所示，CD为 RtABC斜边AB边上的中线，CECD， CE 10 3 ，连接DE交BC于点F，AC4，BC3.求证： (1)ABCEDC； (2)DFEF. 证明： (1)在 RtABC中，AC4，BC 3，则AB5. D为斜边AB的中点， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ADBDCD 1 2AB2.5. CD CE 2.5 10 3 3 4 BC AC. ABCEDC. (2)由(1)知，BCDF， BDCD，BDCF， CDFDCF. DFCF. 由(1)知，ACEF，ACDDCF90°， ECFDCF 90°， ACDECF.由ADCD，得AACD. ECFCEF， CFEF. 由，知DFEF.